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专题 22.25 二次函数 最值（巩固
篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
2．已知二次函数 ，当 时，y有最小值7，最大值11，
则 的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
3．二次函数 ，当 时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：二次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴
下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线 与新图象有2个交点时， 的
取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
5．当 时，二次函数 的最小值为－1，则a的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2或 D．2或
6．若式子 不论 取任何数总有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
7．已知二次函数 ，当时 ，y的最大值与最小值的差
为6，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或1
9．如图，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论
不正确的是（ ）A．抛物线的对称轴为直线 B．若 ，则
C．y的最大值为1 D．若 轴交抛物线于点D，则
10．二次函数 的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线 对称
C．当 时，y随x的增大而减小
D．x＝1或 是方程 的两个根
11．二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小
于4，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．已知二次函数 （a、b是常数， ）的图象经过点 和 ，
且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知二次函数 的图象经过点 ．（1） 的值为______，图象的顶点坐标为______；
（2）若点 在该二次函数图象上，且点 到 轴的距离小于 ，则 的取值范围
为______．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂
线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
15．如图，四边形 的两条对角线 互相垂直，且 ，则四边形
面积的最大值为_____．
16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x（m），对应的高度记为y（m），y是关于x
的二次函数．已知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x=4时，y＝0．该斜抛物体的所
能达到的最大高度是_______m．
17．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，
CD于E，F两点，连接EF，已知 ， ．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，
若AP＝PF，则△APF的面积最大值为_______
19．平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，
则点P到原点O的距离的最小值为______．
20．已知二次函数 （ 是常数），当 时，函数的最大值是 ，
则 的值为________．
21．如图，已知抛物线 与x轴相交于于点 ， ，与 轴的交于点 ．
点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ．下列结论：
① ；② ；③ ，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的
序号都填上）
22．已知抛物线 ．
（1）当m＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶
点坐标为____．
23．若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______．
24．已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长
不大于2，则代数式 的最小值是________．
三、解答题
25．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线 ，连接 、 ．
(1)用含a的代数式求 ；
(2)若 ，求抛物线的函数表达式：
(3)在（2）的条件下，当 时，y的最小值是-2，求m的值．
26．已知关于 的一元二次方程 ，有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，解这个方程；
(3)若 ， 是方程的两个实数根，设 ，试求 的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
利用二次函数的性质求解即可．
解：∵x+y=12，
∴y=12-x，
∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，
∵-1＜0，
∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．
2．B
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线 ，再分① 和② 两种情况，然后利用二次
函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出 的值，由此即可得．
解：二次函数 的对称轴为直线 ，①当 时，
则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
所以当 时， 取得最小值；当 时， 取得最大值，
所以 ，
解得 ，符合题设，
则此时 ；
②当 时，
则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值；当 时， 取得最小值，
所以 ，
解得 ，符合题设，
则此时 ；
综上， 的值为9，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．C
【分析】
根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当 时， 当 时，
从而可得答案．
解：二次函数 ，
所以函数有最大值，
而 ，
当 时，
当 时，
当 时，
y的取值范围为
故选C
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
4．C
【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对
应点的坐标，上下移动 ，观察 与新图象的交点情况，即可得出答案
解：二次函数 的图象及翻折后的图象如下图如所示，
，
二次函数 图象的顶点C的坐标为 ，
翻折后顶点C对应点 的坐标为 ，
观察图象可知，当 或 时， 与新图象有2个交点，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛
物线顶点翻折后对应点的坐标．
5．A
【分析】
将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．
解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．
∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，
∴4+2a=-1，
∴a=- ，不合题意，舍去．
当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．
∴3-a2=-1．
∴a2=4，∵1<-a<3，
∴a=-2．
当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．
∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．
∴12+6a=-1．
∴a=- ．
∵a≤-3．
∴不合题意，舍去．
综上：a=-2．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
6．D
【分析】
利用根号下的非负性，以及分母不为 进行求解，只需 恒成立，即只需
函数 的最小值大于 ．
解：若 对任意 总有意义，则 恒成立，
的最小值为 ，
，即 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为 ，解决本题的
关键是求出二次函数的最小值．
7．A
【分析】
将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求
解．
解：由 ，可得 ，
∵m＜0，
∴当x=-1时，函数有最大值，且 ，
在 范围内，函数先递增再递减，
则：当x=-3时，y=3+6m，
当x=2时，y=3+16m，
∵m＜0，
∴函数的最小值为： ，∵ ，
∴ ，
∴解得 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数
的解析式配成顶点式是解答本题的关键．
8．A
【分析】
由解析式可知该函数在 时取得最小值1、 时， 随 的增大而增大、当
时， 随 的增大而减小，根据 时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若
， 时， 取得最小值5；②若 ，当 时， 取得最小值5，分别列
出关于 的方程求解即可．
解： 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
①若 ， 时， 取得最小值5，
可得： ，
解得： 或 （舍 ；
②若 ，当 时， 取得最小值5，
可得： ，
解得： 或 （舍 ．
综上， 的值为 或5，
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论
是解题的关键．
9．B
【分析】
从图象得到 、 、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系
数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．
解：A、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，可得出对称轴
，该选项不符合题意；
B、根据抛物线 的对称轴为 ，开口向下可知：
当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小，
所以当 ，无法判断 与 的大小，该选项符合题意；C、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，
可设交点式 ，再根据抛物线与y轴交于点 ，
代值求解得 ，
即抛物线表达式为 ，
当 时， 的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若 轴交抛物线于点D，则 、 关于对称轴 对称，从而得
到 ，则 ，该选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求
表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与
性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】
根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出 、二次函数对称轴为 以
及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
解：观察二次函数图象，发现：
开口向下， ，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为 ，与 轴的一个交
点为 ．
A、 ，
二次函数 的最大值为顶点的纵坐标，即函数 的最大值是4，选项正确，
不符合题意；
B、 二次函数的对称轴为 ，
函数的图象关于直线 对称，选项正确，不符合题意；
C、当 时， 随 的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、 二次函数的图象关于直线 对称，且函数图象与 轴有一个交点 ，
二次函数与 轴的另一个交点为 ．
x＝1或 是方程 的两个根，选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函
数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数
图象以及二次函数的性质求解．
11．D
【分析】
先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y=ax2+2ax+3，
其函数图象的对称轴为x=- =-1，
当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少，
当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值，
∴a×22+2a×2+3<4，
解得：a< ，
∴a的取值范围为 ；
当a<0时，a-1<-1，开口向下，
当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值，
∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，
解得：a>-1，
∴a的取值范围为 ；
综上，a的取值范围为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结
合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．
12．C
【分析】
求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
解： 二次函数 （ 、 是常数， ）的图象经过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，最大值为1，
∵当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，
∴令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的
关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
13．
【分析】
（1）把P（−2，3）代入 中，即可求解；
（2）由|m|＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n的范围．
解：（1）把P（−2，3）代入 中，得： ，
∴a＝2，
∴ ＝（x＋1）2＋2；
∴图象的顶点坐标为（−1，2）；
（2）点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴−2＜m＜2，
∴当m=-1时，y = 2，当m=2时，y = 11，
的最小值 的最大值
∴2≤n＜11．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二
次函数图像的对称轴，是解题的关键．
14． ．【分析】
设P（x，x2−2x−3）（00，
当x=0时，y=-3a，
∴C（0,-3a），∴OC=3a，
∴ ；
(2)解：∵ ，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；
(3)解：①当m-1≥-1时，即m>0，
函数在x= m-1 时，取得最小值，
即 ，
解得 （负值舍去），
∴ ；
②当m-1＜-1时，即m＜0，
当x=-1时，函数取得最小值，
而顶点的纵坐标 ，
故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2；
综上所述， ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小
值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质．
26．(1) (2) (3)
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，然后解不等式即可；
（2）当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，然后利用配方法解方程即可；
（3）根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，则Q=t2-6t+8，配方得到Q=（t-3）
2-1，利用非负数的性质得到当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．
解：(1)根据题意得Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，
解得t＞2，
即t的取值范围为t＞2；
(2)当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，
x2-6x+9=2，
（x-3）2=2，
x-3=±
(3)根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，
Q=mn-2（m+n）+4=t2-2t+4-4t+4
=t2-6t+8
=（t-3）2-1，
∵t＞2，
∴当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与
系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
