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专题 22.25 二次函数 最值（巩固
篇）
（专项练习）
一、单选题
1．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
2．已知二次函数 ，当 时，y有最小值7，最大值11，
则 的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
3．二次函数 ，当 时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：二次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴
下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线 与新图象有2个交点时， 的
取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
5．当 时，二次函数 的最小值为－1，则a的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2或 D．2或
6．若式子 不论 取任何数总有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
7．已知二次函数 ，当时 ，y的最大值与最小值的差
为6，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或1
9．如图，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论
不正确的是（ ）A．抛物线的对称轴为直线 B．若 ，则
C．y的最大值为1 D．若 轴交抛物线于点D，则
10．二次函数 的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最大值为4
B．函数图象关于直线 对称
C．当 时，y随x的增大而减小
D．x＝1或 是方程 的两个根
11．二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小
于4，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
12．已知二次函数 （a、b是常数， ）的图象经过点 和 ，
且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知二次函数 的图象经过点 ．（1） 的值为______，图象的顶点坐标为______；
（2）若点 在该二次函数图象上，且点 到 轴的距离小于 ，则 的取值范围
为______．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂
线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
15．如图，四边形 的两条对角线 互相垂直，且 ，则四边形
面积的最大值为_____．
16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x（m），对应的高度记为y（m），y是关于x
的二次函数．已知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x=4时，y＝0．该斜抛物体的所
能达到的最大高度是_______m．
17．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，
CD于E，F两点，连接EF，已知 ， ．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，
若AP＝PF，则△APF的面积最大值为_______
19．平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数m，n满足 ，
则点P到原点O的距离的最小值为______．
20．已知二次函数 （ 是常数），当 时，函数的最大值是 ，
则 的值为________．
21．如图，已知抛物线 与x轴相交于于点 ， ，与 轴的交于点 ．
点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ．下列结论：
① ；② ；③ ，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的
序号都填上）
22．已知抛物线 ．
（1）当m＝0时，点（2，4） _____（填“在”或“不在”）该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶
点坐标为____．
23．若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______．
24．已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长
不大于2，则代数式 的最小值是________．
三、解答题
25．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线 ，连接 、 ．
(1)用含a的代数式求 ；
(2)若 ，求抛物线的函数表达式：
(3)在（2）的条件下，当 时，y的最小值是-2，求m的值．
26．已知关于 的一元二次方程 ，有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，解这个方程；
(3)若 ， 是方程的两个实数根，设 ，试求 的最小值．
参考答案
1．C
【分析】
利用二次函数的性质求解即可．
解：∵x+y=12，
∴y=12-x，
∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，
∵-1＜0，
∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．
2．B
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线 ，再分① 和② 两种情况，然后利用二次
函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出 的值，由此即可得．
解：二次函数 的对称轴为直线 ，①当 时，
则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
所以当 时， 取得最小值；当 时， 取得最大值，
所以 ，
解得 ，符合题设，
则此时 ；
②当 时，
则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值；当 时， 取得最小值，
所以 ，
解得 ，符合题设，
则此时 ；
综上， 的值为9，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．C
【分析】
根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当 时， 当 时，
从而可得答案．
解：二次函数 ，
所以函数有最大值，
而 ，
当 时，
当 时，
当 时，
y的取值范围为
故选C
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
4．C
【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对
应点的坐标，上下移动 ，观察 与新图象的交点情况，即可得出答案
解：二次函数 的图象及翻折后的图象如下图如所示，
，
二次函数 图象的顶点C的坐标为 ，
翻折后顶点C对应点 的坐标为 ，
观察图象可知，当 或 时， 与新图象有2个交点，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛
物线顶点翻折后对应点的坐标．
5．A
【分析】
将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．
解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．
∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，
∴4+2a=-1，
∴a=- ，不合题意，舍去．
当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．
∴3-a2=-1．
∴a2=4，∵1<-a<3，
∴a=-2．
当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．
∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．
∴12+6a=-1．
∴a=- ．
∵a≤-3．
∴不合题意，舍去．
综上：a=-2．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
6．D
【分析】
利用根号下的非负性，以及分母不为 进行求解，只需 恒成立，即只需
函数 的最小值大于 ．
解：若 对任意 总有意义，则 恒成立，
的最小值为 ，
，即 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为 ，解决本题的
关键是求出二次函数的最小值．
7．A
【分析】
将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求
解．
解：由 ，可得 ，
∵m＜0，
∴当x=-1时，函数有最大值，且 ，
在 范围内，函数先递增再递减，
则：当x=-3时，y=3+6m，
当x=2时，y=3+16m，
∵m＜0，
∴函数的最小值为： ，∵ ，
∴ ，
∴解得 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数
的解析式配成顶点式是解答本题的关键．
8．A
【分析】
由解析式可知该函数在 时取得最小值1、 时， 随 的增大而增大、当
时， 随 的增大而减小，根据 时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若
， 时， 取得最小值5；②若 ，当 时， 取得最小值5，分别列
出关于 的方程求解即可．
解： 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
①若 ， 时， 取得最小值5，
可得： ，
解得： 或 （舍 ；
②若 ，当 时， 取得最小值5，
可得： ，
解得： 或 （舍 ．
综上， 的值为 或5，
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论
是解题的关键．
9．B
【分析】
从图象得到 、 、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系
数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．
解：A、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，可得出对称轴
，该选项不符合题意；
B、根据抛物线 的对称轴为 ，开口向下可知：
当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小，
所以当 ，无法判断 与 的大小，该选项符合题意；C、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，
可设交点式 ，再根据抛物线与y轴交于点 ，
代值求解得 ，
即抛物线表达式为 ，
当 时， 的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若 轴交抛物线于点D，则 、 关于对称轴 对称，从而得
到 ，则 ，该选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求
表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与
性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】
根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出 、二次函数对称轴为 以
及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
解：观察二次函数图象，发现：
开口向下， ，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为 ，与 轴的一个交
点为 ．
A、 ，
二次函数 的最大值为顶点的纵坐标，即函数 的最大值是4，选项正确，
不符合题意；
B、 二次函数的对称轴为 ，
函数的图象关于直线 对称，选项正确，不符合题意；
C、当 时， 随 的增大而增大，选项错误，符合题意；
D、 二次函数的图象关于直线 对称，且函数图象与 轴有一个交点 ，
二次函数与 轴的另一个交点为 ．
x＝1或 是方程 的两个根，选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函
数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数
图象以及二次函数的性质求解．
11．D
【分析】
先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y=ax2+2ax+3，
其函数图象的对称轴为x=- =-1，
当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少，
当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值，
∴a×22+2a×2+3<4，
解得：a< ，
∴a的取值范围为 ；
当a<0时，a-1<-1，开口向下，
当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值，
∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，
解得：a>-1，
∴a的取值范围为 ；
综上，a的取值范围为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结
合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．
12．C
【分析】
求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
解： 二次函数 （ 、 是常数， ）的图象经过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，最大值为1，
∵当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，
∴令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的
关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
13．
【分析】
（1）把P（−2，3）代入 中，即可求解；
（2）由|m|＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n的范围．
解：（1）把P（−2，3）代入 中，得： ，
∴a＝2，
∴ ＝（x＋1）2＋2；
∴图象的顶点坐标为（−1，2）；
（2）点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴−2＜m＜2，
∴当m=-1时，y = 2，当m=2时，y = 11，
的最小值 的最大值
∴2≤n＜11．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二
次函数图像的对称轴，是解题的关键．
14． ．【分析】
设P（x，x2−2x−3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C＝−2 ＋ ．根据
二次函数的性质来求最值即可．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，
解得 x＝-1或x＝3
故设P（x，y），
设P（x，x2﹣2x-3）（0<x<3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2 + ．
∴当x＝ 时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其
解析式．也考查了二次函数的性质．
15．8
【分析】
设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S= ，根据二次函数的
性质即可求得面积的最大值．
解：如图，设AC、BD交于点O
设BD=x，则AC=8－x，其中0<x<8
∵∴
∵
∴当x=4时，S有最大值8
故答案为：8
【点拨】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，
其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关
键．
16．4
【分析】
设二次函数的解析式为 ，根据x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝
3；当x﹣4时，y＝0列方程组，可求出a、b、c的值，可得二次函数解析式，转化为顶点
式即可得答案．
解：设二次函数的解析式为 ，
∵x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x﹣4时，y＝0，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴该斜抛物体的所能达到的最大高度是4m，
故答案为：4
【点拨】本题考查二次函数的最值，利用待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握
二次函数各种形式解析式的转化是解题关键．
17． 1
【分析】
（1）连接AO，DO，证明 ，可得 ，求出
即可求解；
（2）设 ，则 ，由勾股定理可得 ，即可求EF的最
小值．
解：（1）连接AO，DO，∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，O是中心，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：1；
（2）设 ，则 ，
，
在 中， ，
∴当 时，EF有最小值 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练
掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
18．4
【分析】
作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4−x，
根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4−x），由三角形面积公式得出S APF，进而根据
二次函数的性质即可求得结果． △
解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4−x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4−x，
∴AF＝2（4−x），
∵S APF＝ AF•PM，
△
∴S APF＝ ×2（4−x）•x＝−x2＋4x＝−（x−2）2＋4，
△
∴当x＝2时，S APF有最大值4，
故答案为：4 △
【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的
最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．
【分析】
根据 ，可得 ，进而可知 ，由 ，进
而根据两点间距离公式进行求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点P到原点距离为：
，
∴点P到原点O的距离的最小值为： ，
故答案为： ．【点拨】本题考查二次函数的最值问题，点到原点的距离，能够掌握数形结合的思想
是解决本题的关键．
20．3或-6
【分析】
根据题目中的函数解析式和当0≤x≤2时，y的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求
得m的值，本题得以解决．
解：二次函数y=-x2+mx+ =-（x- ）2+ ，
当 时，即m＞4，
在0≤x≤2时，x=2时取得最大值，则2=-22+2m+ ，得 （舍去）；
当 ＜0时，即m＜0，
在0≤x≤2时，x=0时取得最大值，则 ，得 ；
当0≤ ≤2时，即0≤m≤4，
在0≤x≤2时，x= 时取得最大值，则 ，得 ， （舍去），
由上可得，m的值是3或 ．
故答案为：3或 ．
【点拨】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明
确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
21．①②③
【分析】
中令y=0得： ，得A（-1，0），B（3，0），从而判
断①； 中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点 作
轴，交 于点 ，求出BC的函数关系式，得出点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．
解：∵抛物线 与x轴相交于于点 ， ，
∴令y=0得： ，
解得： ，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正确；∵抛物线 与y轴相交于于点C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正确；
过点 作 轴，交 于点 ，如图1所示．
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入 ，
得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
，
当 时， 面积取最大值，最大值为 ．
故③正确，
故答案为：①②③．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，
二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的
关键．
22． 不在 （2，5）
【分析】
（1）将 代入 计算即可；（2）先用m表示出顶点坐标，然后确定顶点坐标纵坐标的最大时m的值，进而确定
顶点坐标即可．
解：（1）∵m＝0，
∴抛物线解析式为
将 代入 可得：
．
∴当m＝0时，点（2，4）不在抛物线上，
故答案为：不在．
（2） 即
∴抛物线的顶点坐标为：（ , ）
∵当顶点移动到最高处时，即纵坐标取最大值
而 ．
∴当m=3时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为（2,5）．
故答案为：（2，5）
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数
的最值等知识点，确定二次函数的顶点坐标成为解答本题的关键．
23．
【分析】
由x＋y＝5得x＝5-y，代入xy＋1得（5-y）y＋1=-y2+5y+1，进而求出最值．
解：由x＋y＝5得x＝5-y，
∴xy＋1=（5-y）y＋1=-y2+5y+1=-（y- ）2+ ，
∵-1<0，
∴当y= 时，xy＋1有最大值，且最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求
最值解决问题的关键．
24．
【分析】
根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段 的长不大于2，求出 的取值范围，再根据 的增减性，求出最小值．
解：∵抛物线 过点 ， 两点，
∴对称轴为： ，
∴顶点为 ，
∴由题意可知 ，
∵线段 的长不大于2，
∴ ，
∴ ，
∵当 时， 随着 的增大而增大．
∴当 时， 有最小值，最小值为 ；
故答案为： .
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出
，求出a的取值范围是解题的关键．
25．(1) (2)y=x2+2x-3(3)
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b、
c用含a的代数式表示，即可解答；
（2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可；
（3）分两种情况讨论，即①当m-1≥-1时，②当m-1＜-1时，分别根据二次函数的性
质，结合最小值为-2，建立关于m的方程求解，即可解答．
(1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-3b+c=0①，
∵函数的对称轴为： ，
∴b=2a②，
将②代入①得c=-3a，
∴抛物线的表达式为：y=ax2+2ax-3a，
设y=ax2+2ax-3a=0，
解得x=1或-3，
∴B的坐标为（1,0），
∴AB=1-(-3)=4，
∵图象的开口向上，
∴a>0，
当x=0时，y=-3a，
∴C（0,-3a），∴OC=3a，
∴ ；
(2)解：∵ ，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；
(3)解：①当m-1≥-1时，即m>0，
函数在x= m-1 时，取得最小值，
即 ，
解得 （负值舍去），
∴ ；
②当m-1＜-1时，即m＜0，
当x=-1时，函数取得最小值，
而顶点的纵坐标 ，
故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2；
综上所述， ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小
值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质．
26．(1) (2) (3)
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，然后解不等式即可；
（2）当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，然后利用配方法解方程即可；
（3）根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，则Q=t2-6t+8，配方得到Q=（t-3）
2-1，利用非负数的性质得到当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．
解：(1)根据题意得Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）＞0，
解得t＞2，
即t的取值范围为t＞2；
(2)当t=3时，方程化为x2-6x+7=0，
x2-6x+9=2，
（x-3）2=2，
x-3=±
(3)根据根与系数的关系得m+n=2t，mn=t2-2t+4，
Q=mn-2（m+n）+4=t2-2t+4-4t+4
=t2-6t+8
=（t-3）2-1，
∵t＞2，
∴当t=3时，Q有最小值，最小值为-1．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根与
系数的关系，二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
