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专题 22.16 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与性质
（培优篇）（专项练习）
1．已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A(1﹣b，m)，B
（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
2．若二次函数y＝x2＋bx＋4配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为( )
A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，0
3．已知抛物线y：y＝4（x﹣3）2+1和抛物线y：y＝﹣4x2﹣16x﹣6，若无论k取何值，
1 2
直线y＝kx﹣km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，则（ ）
A．mn＝ B．mn＝3 C．mn＝ D．mn＝
4．在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为完美点．已知二
次函数 （ 是常数， ）的图象上有且只有一个完美点 ，且当
时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为
A，B．若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当抛物线在点A，B之间的部分与线段AB
所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，可得m的取值范围为（
）
A． ＜m≤ B． ≤m＜ C．0＜m＜ D．0＜m≤
6．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且
AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：
( )A． B．
C． D．
7．已知抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为
，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；② ；③
；④抛物线的顶点坐标为 ；⑤当 时，y随x增大而减小．其中结论正
确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半
轴交于点C，它的对称轴为直线 ．有下列结论：① ；② ；③
；④当 （n为实数）时， ，其中，正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
9．二次函数 ，当 时，对应的y的整数值有4个，则a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
10．二次函数 的图象如图所示，下面结论：① ；②
；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定是方程
的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知二次函数 的图象与一次函数 的图象
交于(x， )和(x， )两点，（ ）
1 2
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 ， D．若 ，则 ，
12．在下列选项中，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴的交点B在
与 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：
① ；②若点 ，点 是函数图象上两点，则 ；③当
时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线
；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
14．已知抛物线 与直线 有且只有一个交点，若c为整
数，则c的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线y＝ x2+7x﹣ 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的
部分记作C 将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B，D，若直线y＝ x+m与C ，C
1 1 2 2 1 2
共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
16．函数y=2x2﹣4x﹣1写成y=a（x﹣h）2+k的形式是_____，它的顶点坐标是_____，
对称轴是_____．
17．已知y关于x的二次函数 （m为常数）的顶点坐标为
（1）k关于h的函数解析式为_______．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在 时，二次函数最小值和最大值和为 ，
则 ______．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx－2mx＋m－2（m＞0）．
（1）抛物线的顶点坐标为_________；
（2）点M（x，y）、N（x，y）（x＜x≤3）是拋物线上的两点，若y＜y，x－x
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1
＝2，则y 的取值范围为_________（用含 m的式子表示）
2
19．已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x，x，且a＞b＞c，a+b+c＝
1 2
0，设 ，则d的取值范围为_____．
20．已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）若 ，则b=______．
（2）若 ， ，抛物线 与线段 没有交点，则b的取值范
围为______．
21．在平面直角坐标系中，二次函数 过点（4，3），若当0≤x≤a 时，
y 有最大值 7， 最小值 3，则 a 的取值范围是_____．22．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点
为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1， 轴，垂足为E，下列结论：
①当 时，y随x增大而减小；② ；③ ；④ ；⑤当 时，
．其中结论正确的有______．（填序号）（多填错填倒扣一分）
23．如图是二次函数 ， ， 是常数， 图像的一部分，与 轴的
交点 在 和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：① ；② ；
③ ；④ 为实数）；⑤当 时， ．其中正确的是__．
（填序号）
24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐
标分别为x，x，其中﹣1＜x＜0，1＜x＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，
1 2 1 2
③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．
25．在平面直角坐标系中，函数 和 的函数图象相交于点P，Q．若P，Q两点都在x轴的上方，则实数a的取值范围是__________．
26．若函数y＝ax2+bx+c的图象经过P（1，0），Q（5，﹣4）当1≤x≤5时，y随x的
增大而减小，则实数a的范围_____．
27．如图，已知抛物线 和直线 ．我们约定：当 任取一值时， 对
应的函数值分别为 ，若 ，取 中的较小值记为 ；若 ，记
．下列判断：①当 时， ；②当 时， 值越大， 值越大；③
使得 大于4的 值不存在；④若 ，则 ．其中正确的说法有__________．（请
填写正确说法的序号）
28．将抛物线 向上平移（ ）个单位长度， ＜k＜ ，平
移后的抛物线与双曲线y＝ （x＞0）交于点P（p，q），M（1＋ ，n），则下列结论
正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
① 0＜p＜1－ ； ② 1－ ＜p＜1； ③ q＜n； ④ q＞2k－ k．
29．若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m+4，0），该函数图像向
下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是________．
30．如图，将函数y＝ (x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其
中点A(1，m)，B(5，n)平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是_______．
三、解答题
31．已知抛物线y=ax2 +bx+ l经过点（1，-2）， （-2，13）.
(1)求a，b的值；
(2)若（5，y），（n，y）是抛物线上不同的两点，且y=12-y，求n的值；
1 2 2 1
(3)将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与
其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．
32．已知抛物线 （ 为常数）．
(1)当 时，求抛物线的对称轴和顶点坐标．
(2)当 时，求抛物线顶点到 轴的最小距离．
(3)当 时，点 为该抛物线上的两点（非 轴上的点），顶点为 ，直线 的
解析式为 ，直线 的解析式为 ，若 ，求直线 与 轴的
交点坐标．
33．如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣ ， ）的抛物线 ．分
别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当 取得最小值时，求点Q的坐标；
(3)当M（m，0），N（0，n）两点满足： ， ，且 时，若符
合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围．
34．如图，在平面直角坐标系中，线段 的两个端点的坐标分别为 、 ．抛物线 交y轴于点C，顶点P在线段 上运动．当顶点P与点A重
合时，点C的坐标为 ．设点P的横坐标为m．
(1)求a的值．
(2)用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出
最小值．
(3)当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
(4)过点P作x轴的垂线交抛物线 于点Q，将线段 绕点P顺时针旋转
得到线段 ，连接 ．当 的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取
值范围．35．如图，直线 ： 与抛物线 ： 相交于点 ， 两点．
(1)求A， 两点的坐标．
(2)将直线 向上移 个单位长度后，直线 与抛物线 仍有公共点，求 的取值
范围．
(3)点 为抛物线上位于直线 上方的一动点，过点 作直线 的垂线段，垂足为
点．当 时，求点 的坐标．参考答案
1．C
【分析】
求出抛物线的对称轴x=b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1 b，m），B
（2b+c，m），也可以得到对称轴为 ，可得b=c+1，求出顶点的坐标代入四
个函数中，如果能求出b的值说明在，反之不在．
解：由抛物线的对称轴 ，抛物线经过不同两点A（1 b，m），B
（2b+c，m），
，即 ，
抛物线的顶点纵坐标为 ，
∴顶点坐标为（b，b2 4b+4），
将顶点坐标代入A得，b2 4b+4=b+2，整理得b2 5b+2=0，∵52 4×2＞0，故顶点
可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2 4b+4=-b+2，整理得b2 3b+2=0，∵32 4×2＞0，故顶点
可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2 4b+4= 2b+1，整理得b2 2b+3=0，∵22 4×3＜0，故顶
点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2 4b+4=2b+1，整理得b2 6b+3=0，∵62 4×3＞0，故顶
点可能在D上；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与系数的关系等知
识，根据两种不同表示顶点横坐标的方法，求出系数b和c的关系式解题的关键．
2．D
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋4配方后是y＝（x－2）2＋k∴a=1， - =2， c=4
∴b=-4
∴ k= =1
故选D.
【点拨】此题主要考查了二次函数的顶点，解决此类问题的关键是掌握形如
y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的对称轴是直线x=- ，顶点坐标是（- ，
）．
3．D
【分析】
根据直线解析式可得直线过定点 ，根据题意可知两个函数的开口大小相等，其
关于 中心对称，进而即可求得 的值
解： 若无论k取何值，直线y＝kx﹣km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等，
y＝kx﹣km+n ，则直线过定点
y＝4（x﹣3）2+1的对称轴为 ，顶点坐标为
y＝﹣4x2﹣16x﹣6 的对称轴为 ,顶点坐标为
且两个函数的开口大小相等，根据对称性可得 关于 ，即
中心对称，即直线经过定点 ，即故选D
【点拨】本题考查了二次函数的性质，直线过定点问题，中心对称的性质，理解题意
中所截线段相等是解题的关键．
4．C
【分析】
把 代入 ，可得到 ，再利用 和 建立
方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．
解：令 ，则
∴
∴由题意可得：
解得：
∴
如图所示：若最小值为 最大值为 ，
结合图像可得：
故答案选：C
【点拨】本题主要考察了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函
数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解
题的关键．
5．A
【分析】
根据抛物线的解析式画出大致的图象，再根据整点的定义确定当有6个整点时函数图
象的形状确定m的范围．
解：如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边
界）恰有6个整点，对称轴x＝1，
∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），
当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝ ，
当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝ ，
∴m的取值范围为 ＜m≤ ．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是根据函数图象的性质求未知数
m的范围．
6．A
解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ,
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S 有最大值；
EFB
△
故选A．
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、矩
形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定、二次函数的顶点坐标公式，依
据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积列出y与x的函
数关系式是解题的关键．
7．C
【分析】
①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论
①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=-4a、c=0，即4a+b+c=0，
结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a-b+c＞0，结论③错误；
④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为
（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴- =2，c=0，
∴b=-4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②错误；
③∵当x=-1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a-b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①④⑤．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数
图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
8．D
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方
程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①正确；求出∴ ，∴ ，则 ，
故②正确；∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，将 代入，即可得 ，故可以判断③；
当x=-n2-3（n为实数）时，
，故④正确．
解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x=-1，所以 ＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，∵ =-1，则
∴b2-4ac＞0得
∴
∵a＞0，c＞0，
∴
∴ ，故②正确；
当x=-1时，a-b+c<0,
∵ ，
∴b=2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∵ ，则
∴ ，故③正确；
当x=-n2-3（n为实数）时，
， 故④正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次
函数与方程的关系是解题的关键．
9．D
【分析】
根据函数解析式确定函数的对称轴，然后分两种情况讨论：当a>0时，开口向上；当
a<0时，开口向下；根据二次函数的增减性质，得出不等式组，然后求解即可．
解：∵
∴对称轴为 ，
当a>0时，开口向上，
当x>3时，y随x的增大而增大，
当x=5时，y=25a-30a-5=-5a-5，当x=6时，y=36a-36a-5=-5，
∴-5a-5≤y≤-5，
∵y的整数值有4个，
∴-9<-5a-5≤-8，
解得： ；
当a<0时，开口向下，
当x>3时，y随x的增大而减小，
当x=5时，y=25a-30a-5=-5a-5，
当x=6时，y=36a-36a-5=-5，
∴-5≤y≤-5a-5，
∵y的整数值有4个，
∴-2<-5a-5≤-1，
解得： ；
综上： 或 ，
故选：D．
【点拨】题目主要考查了二次函数的性质、不等式组的整数问题，解题的关键是掌握
相应的运算法则．
10．D
【分析】
利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图象与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐
项判断即可．
解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且抛物线与y轴交于正
半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且 时， ，
∴ ,∴
∵故①正确；
由抛物线的图象可知当 时， ，故②正确；
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线经过点 ，抛物线的对称轴直线为 ，
∴点C关于对称轴的对称点的坐标为 ，
∴ 一定是方程 的一个根．
故正确的有①②③④,
故选：D.
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．A
【分析】
联立二次函数 与一次函数 化成一元二次方程
一般式，然后根据根与系数的关系即可求得答案．
解：联立 ，得 ，
化简得： ，
∵二次函数 的图象与一次函数 的图象交
于(x， )和(x， )两点，
1 2
∴ 是方程 的解，由根与系数关系得： ，
A.若 ， 时，则 ，
∴ ，
故本选项符合题意；
B. 若 ， ，则 ，
∴ ，
故本选项不符合题意；
C. 若 ，则 ，
∴ ， 或 ， ，
故本选项不符合题意；
D. 若 ，则 ，
∴ ， 或 ， ，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数和一次函数的交点坐标与对应一元二次方程根的关系、
一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数和一次函数图象的交点坐标
与对应一元二次方程根的关系以及熟记根与系数的关系．
12．C
【分析】
根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与 轴的关系即可判断出 ， 的正负，由此
即可得到一次函数经过的象限，再与函数图象对比即可．
解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在 的右侧，
∴ ， ，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，且二次函数的图象交 轴于负半轴一
点，
故选项 错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在 的左侧，∴ ， ，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限，且二次函数的图象交 轴于负半轴
一点，
故选项 错误；
C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在 的右侧，
∴ ， ，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，且二次函数的图象交 轴于负半轴一
点，
故选项 正确；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在 的右侧，
∴ ， ，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，且二次函数的图象交 轴于负半轴
一点，
故选项 错误；
【点拨】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象与系数的关系，根据 ，
的正负来判断一次函数经过的象限是解题的关键．
13．C
【分析】
根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；
根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点 ，再根据二次函数的增减
性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移
规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数
解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据
二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意．
解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a<0， ，c>0．
∴b>0．
∴abc<0．故①符合题意．
∵点 是函数图象上一点，对称轴是直线x=2，
∴二次函数图象经过点 ．
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当 时，y随x的增大而增大．
∵ 函数图象上一点，
∴ ．
故②不符合题意．
∵ ，二次函数图象对称轴是直线x=2，
∴设二次函数解析式为 ．
把点 坐标代入二次函数解析式得 ．
解得 ．
∴二次函数解析式为 ．
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为
．
故③不符合题意．
∵二次函数图象过点 ，二次函数对称轴是直线x=2，
∴二次函数图象过点 ．
把点 和 代入二次函数解析式 中得用a来表示b和c得
∵二次函数图象与y轴的交点B在 与 之间（不包括这两点），
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故④符合题意．
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线x=2，
∴二次函数在x=2时取得最大值．
∴当x=m（ ）时， ，即
．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故⑤符合题意．
故①④⑤符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减
性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的
性质，综合应用这些知识点是解题关键．
14．D
【分析】
由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；
解：∵ ，
对称轴为： ，∴x=0时，y=c；x=-3时，y=c，如图为抛物线与直线关系图，
由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2，
∴当-5≤c＜-2时，直线与抛物线只有一个交点，
∴c为整数时可取-5，-4，-3，
②令 ，则 ， 时 ，解得
c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，
∴c的值为：-5，-4，-3，-1，
故选： D．
【点拨】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键．
15．A
【分析】
首先求出点 和点 的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物
线 相切时 的值以及直线 过点 时 的值，结合图形即可得到答案．
解：将y＝0代入 ，
得： ，
解得： ， ，
抛物线 与 轴交于点 、 ，
， ，
抛物线向左平移4个单位长度，
∵ ，平移后解析式 ，
如图，
当直线 过 点，有2个交点，
，
解得： ，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
整理得： ，
相切，
，
解得： ，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查抛物线与 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答
本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
16． y=2（x﹣1）2﹣3 （1，3） x=1
解：利用配方法把函数解析式化为顶点式y=2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2
﹣3，求得顶点坐标为（1，﹣3），对称轴是x=1，故答案为y=2（x﹣1）2﹣3；（1，3）；x=1．
17． ； ##0.5
【分析】
（1）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意可得二次函数图象与y轴交于点 ，从而得到抛物线的对称轴
，然后分两种情况：当 时，当 时，即可求解．
解：（1）
，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，
∵二次函数 （m为常数）的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴k关于h的函数解析式为 ；
（2）令 ，则 ，
∴二次函数图象与y轴交于点 ，
∵ ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，开口向上，
∵抛物线不经过第三象限，且 ，
∴抛物线的对称轴 ，
当 时，当 时，函数值最大，最大值为 ，
当 时，函数值最小，最小值为 ，
∵在 时，二次函数最小值和最大值和为 ，∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当 时，当 时，函数值最大，最大值
，
当 时，函数值最小，最小值为 ，
∵在 时，二次函数最小值和最大值和为 ，
∴ ，
解得： （舍去），
综上所述， ．
故答案为： ；
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
18． （1，-2）
【分析】
（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，
x+x=2，
1 2
结合x-x=2，可得x=0，x =2，得到当2＜x≤3时，y＜y，再将x=2、x=3代入函数
2 1 1 2 2 1 2
关系式进行求解即可 ．
解：（1）∵ ，
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），故答案为 （1，-2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x+x=2，
1 2
结合x-x=2，可得x=0，x =2，
2 1 1 2
∴当2＜x≤3时，y＜y，
2 1 2
对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，
∴ ．
【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不
等式的关系．
19． ##
【分析】
先根据一元二次方程根与系数的关系求出d2的表达式，再根据二次函数性质求其取值
范围即可．
解：∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x、x，
1 2
∴x+x＝﹣ ，x·x＝ ，
1 2 1 2
∴d2＝|x﹣x|2
1 2
=（x+x）2﹣4x·x
1 2 1 2
＝（﹣ ）2﹣
＝ ﹣
=
=
＝4[（ ）2+ +1]
＝4[（ + ）2+ ]，∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，
解得：﹣2＜ ＜﹣ ，
∵y＝4[（ + ）2+ ]的对称轴为： ＝﹣ ，
∴当﹣2＜ ＜﹣ 时，y随 增大而减小，
∴3＜d2＜12，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值问题等知识点．
掌握 是解题关键．
20．
【分析】
（1）把A(-1,0)代入 ，求解即可；
（2）分三种情况：当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无
交点；当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；
当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；分别求解即可．
解：（1）把A(-1,0)代入 ，得
0= -b-2，解得：b=- ，
故答案为：- ；
（2）抛物线对称轴为：直线x= ，
当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点，∴ -b-2<0，解得：b>- ，
∴- 1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点，
∴ +b-2<0，解得：b< ,
∴10；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，
得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据 ，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据
3a+c=0，得到c=-3a，推出 ；⑤根据抛物线
与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得
到A(-1,0)设抛物线解析式为 ，推出当 时，-3a>2．
解：①当 时，y随x增大而减小，
∵抛物线顶点D的横坐标为1，
∴对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，y随x增大而增大，
∴不正确；
② ，
∵ ，a<0，
∴b=-2a>0，
∴a+b=a-2a=-a>0，
∴不正确；
③ ，∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，
∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,
∵b>0，
∴3a+b+c>0，
∴正确；
④ ，
∵b=-2a，3a+c=0，
∴c=-3a，
，
∴正确；
⑤当 时， ，
∵抛物线 与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称
轴为直线x=1，
∴A(-1,0)
∴设抛物线解析式为 ，
当 时，-3a>2，
∴正确．故答案为，③④⑤．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图
象开口与a的关系，图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交
点特征．
23．①②④
【分析】
由抛物线的开口方向判断 与0的关系，然后再根据对称轴判定 与0的关系，得到
；当 时， ；然后由图像确定当 取何值时， ．
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1
∴
∴
∴ ，
故②正确；
∵a≠0
∴ ，故①正确；
∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间
结合题意，当 时，
∴
故③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，
0）之间
设点A坐标为
当 时，
故⑤错误；
将 代入a+b≥m（am+b）
∴
∴
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下
∴∴
∵ 恒成立
∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确；
故答案为：①②④
【点拨】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像
的性质，从而完成求解．
24．①②③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x= ＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵ ＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：①②③④．【点拨】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、
抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
25． 或
【分析】
由一次函数和二次函数图象及其性质对a的取值范围分类讨论．
解： 的图象是抛物线，开口向上，与x轴的交点为（0，0）和（a，0），
的图象是直线，y随x增大而减小，与y轴交点为3a+2
当a>0时，若P，Q两点都在x轴的上方
当x=a时，
解得a＞-1，
故a>0
当a＜0时，若P，Q两点都在x轴的上方
当x=0时，
解得a＞
故综上所述，a的取值范围为a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数图象及其性质，由一次函数和二次函数的图
象及其性质，得出只要右侧的点的值大于0即可，故对a进行分类讨论是解题的关键．
26． ．
【分析】
由于不知道a的范围，要讨论a的正负零三种情况，当a＝0时，是一次函数，当a≠0
时是二次函数，当a当a＞0时，P， Q两点在对称轴的左边，当a＜0时，P， Q两点在对
称轴的右边，把P，Q代入函数表达式从而可以得到a,b的关系式，从而可以得到两个不
等式，求出a的范围．
解：当a＝0时，b＜0时，y随x的增大而减小，
把P（1，0），Q（5，﹣4）代入解析式得， ，
两式相减得，b＝﹣1﹣6a，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ +3，
当a＞0时， +3≥5，y随x的增大而减小，即0＜a≤ ，
当a＜0时， +3≤1，y随x的增大而减小，即﹣ ≤a＜0，
故答案为：﹣ ．
【点拨】本题主要考察了一次函数，二次函数图像的性质，准确讨论出a的三种情况和a与b的关系式是解题关键．
27．②③
【分析】
首先求得抛物线与直线的交点的横坐标，可知x=0或x=2时，y y，利用图象可得当x
1= 2
＞2时，y＜y，当x＜0时，y1＜y2；当0＜x＜2时，y1＞y2；根据当x任取一值时，x对
1 2
应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；对各说法逐一判断
即可求得答案．
解：当y y 时，-x2+4x=2x，
1= 2
解得：x=0或x=2，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为0和2，
∴由图象可知当x＞2时，y＜y，当x＜0时，y1＜y2；当0＜x＜2时，y1＞y2；
1 2
∵若 ，取 中的较小值记为 ；若 ，记 ．
∴x＞2时，M=y ，故①错误，
1
当x＜0时，M=y =-x2+4x=-(x-2)2+4，
1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，最大值为4，
∵-1＜0，
∴当x＜2时y随x的增大而增大，
∴当 时， 值越大， 值越大；故②正确；
∵抛物线的最大值为4，
∴使得 大于4的 值不存在；故③正确；
当M=y =2x=2时，x=1，
2
当M=y =-x2+4x=2时，
1
解得：x=2+ 或x=2- ，
∵0＜2- ＜2
∴x=2- 时，y＞y，
1 2
∴M=y =-x2+4x=2时，x=2+ ，
1
∴M=2时，x=1或x=2+ ，故④错误；综上所述：正确的说法有②③，
故答案为：②③
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，
注意数形结合思想与方程思想的应用．
28．②④##④②
【分析】
先画出函数图像，判断出当 时抛物线和反比例函数图象上的点的纵坐标的关系，
确定抛物线右支与反比例函数图象的交点个数，再利用抛物线的对称性与反比例函数的图
象与性质直接判断即可．
解：∵抛物线 ,
∴该抛物线对称轴为 ，顶点坐标为(1， )，
将该抛物线向上平移（ ）个单位长度，
则顶点坐标为(1， )，
当 时，反比例函数图象上点的坐标为(1， )，
如图所示，抛物线平移后的顶点纵坐标即为m，反比例函数上横坐标为1的点的
纵坐标即为s，
∴m-s= ，
∵ ＜k＜ ，
∴
∴抛物线的右支与反比例函数图象只有一个交点，且该交点横坐标大于1；
∵平移后的抛物线与双曲线y＝ （x＞0）交于点P（p，q），M（1＋ ，
n），
∴点M为抛物线右支与反比例函数图象的交点，
∴点P为抛物线左支与反比例函数图象的交点，由于反比例函数的图像在第一象限内y随x的增大而减小，且抛物线关于直线
对称
∴1－ ＜p＜1；q＞2k－ k．
∴②④正确；
故答案为：②④．
【点拨】本题考查了抛物线与反比例函数的图像与性质，解题关键是弄清楚这两个交
点分别位于抛物线的左支和右支上，再利用抛物线的轴对称性和反比例函数图像的增减性
进行判断．
29．4
【分析】
设交点式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣4），在把它配成顶点式得到y＝﹣[x﹣
（m+2）]2+4，则抛物线的顶点坐标为（m+2，4），然后利用抛物线的平移可确定n的值．
解：设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣4），
∵y＝﹣[x2﹣2（m+2）x+（m+2）2﹣4]
＝﹣[x﹣（m+2）]2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（m+2，4），
∴该函数图象向下平移4个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只
有一个交点，
即n＝4，
故答案为：4.
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：将求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性
质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．30．y＝ (x﹣2)2 +5
【分析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交
B′B的延长线于点C，则C(5， )，AC＝5﹣1＝4，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的
面积为16(图中的阴影部分)，得出AA′＝4，然后根据平移规律即可求解．
解：∵函数y＝ (x﹣2)2+1的图象过点A(1，m)，B(5，n)，
∴m＝ (1﹣2)2+1＝ ，
∴A(1， )，
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C(5， )，
∴AC＝5﹣1＝4，
连接AB、A′B′，由平移性质可知曲线段AB扫过的面积为16（图中的阴影部分）
等于平行四边形A A′B′B的面积，
∵曲线段AB扫过的面积为16（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝4AA′＝16，
∴AA′＝4，
即将函数y＝ (x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图
象，
∴新图象的函数表达式是y＝ (x﹣2)2 +5．故答案是：y＝ (x﹣2)2 +5．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，
根据已知得出AA′是解题关键．
31．(1)a=1，b=-4(2)n的值为-1(3)m的值为4或6
【分析】
（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x=5代入y=x2-4x+1得到y=6，于是得到y=y，即可得到结论；
1 1 2
（3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可．
(1)解：把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1得， ，
解得： ；
(2)解：由（1）得函数解析式为y=x2-4x+1，
把x=5代入y=x2-4x+1得，y=6，
1
∴y=12- y=6= y
2 1 1，
∵（5，y），（n，y）是抛物线上不同的两点，
1 2
∴（5，y）与（n，y）关于对称轴对称，
1 2
∵对称轴为直线x=2，
∴n=4-5=-1．
(3)解：由（1）得函数解析式为 ，
∵此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，
∴①当向右平移时，平移后的解析式为 ，
∴对称轴为 ，
当 时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当 即 时，对称轴-1≤x≤3的右边，
此时当-1≤x≤3时y随x的增大而减小，
∴当 时，有最小值6，即 ，
解得 ， （舍去）；②当向左平移时，平移后的解析式为 ，
∴对称轴为 ，
当 时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当 ， 时，当-1≤x≤3时y随x的增大而增大，
∴当 时，有最小值6，即 ，
解得 ， （舍去），
综上所述，m的值为4或6.
【点拨】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，
函数的增减性，平移等，注意分类讨论．
32．(1)抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 (2)10(3)
【分析】
（1）将 代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式即可；
（2）将 代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式可得 ，
确定抛物线的顶点坐标为 ，可知抛物线顶点到 轴的距离为 ，由于当
时， 随 的增大而增大，故计算当 时 的值即可；
（3）当 时，抛物线的解析式为 ，可确定D点坐标，进而得到直线
的解析式为 ，直线 的解析式为 ；然后根据点A、B在抛物线上可
设点 、点 ，结合AD、BD两条直线解析式可得 ；再
设直线 的解析式为 ，根据题意可得 、 是方程 的两根，由一
元二次方程根与系数的关系可解得 ，进而得到直线 与 轴的交点坐标．
(1)解：当 时， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；(2)解：由抛物线的解析式 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线顶点到 轴的距离为 ，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 取最小值为 ，
∴抛物线顶点到 轴的最小距离为10；
(3)解：由题意可得，当 时，抛物线的解析式为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴可设 ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
由题可得 、 是方程 的两根，
化简，得 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般式转化为顶点式、抛物线
的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系等知识，
熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键．
33．(1)抛物线的函数表达式为 ；(2)点Q的坐标为 ；(3)n的取值范围为 ．
【分析】
（1）将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，根据对称性可知
A、B两点关于对称轴l对称，连接AC，交对称轴l于点Q，连接BQ，此时 取最
小值，求出直线AC的函数表达式即可求出点Q的坐标；
（3）分别求出 、 、 ，当 时，根据勾股定理可得
，化简可得关于m的一元二次方程，由符合条件的M点的个数有两个可
得 ，解不等式结合已知条件 即可求解．
(1)解：∵点P（﹣ ， ）在抛物线 上，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为： ．
(2)解：∵ ，
∴抛物线的对称轴l为 ，
当 时，
解得 ， ，
∴A（﹣3，2），B（1，0）．
当 时， ，
即点C（0，2）．
∵A，B两点关于对称轴l对称，
∴连接AC，交对称轴l于点Q，此时 取得最小值，即为AC的长．
设直线AC的函数表达式为 ，将A（﹣3，2），点C（0，2）代入，得
∴
解得
∴ ，
当 时， ，
∴点Q的坐标为 ．
(3)解：∵M（m，0），n（0，n）, ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
整理得： ，
∵符合条件的M点的个数有2个，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴n的取值范围为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式、抛物
线的对称性、勾股定理等，解题的关键是用方程的思想解决问题．
34．(1) (2) ，当 时，点C的纵坐标最小，最小值为
(3) (4) 且 或 且
【分析】
（1）先设抛物线的顶点式，再用待定系数法求出a值即可；
（2）先求出直线AB的解析式，再用m表示出抛物线解析式，得到C点纵坐标的函数
关系式，配方求出最值即可；
（3）根据二次函数的增减性，求出m的取值范围即可；
（4）分两种情况讨论，点P在第一象限或第三象限，借助函数图形找到 的边
与坐标轴交点个数的临界位置，分别求出m的范围即可．
(1)解：由题意，设抛物线解析式为： ，
将C(0，0)代入上式，得： ，
解得： ．
(2)解：∵ 、 ，
∴AB所在直线的函数表达式为 ，
∴点P的坐标为（ ， ）， ．∴抛物线解析式为： ．
当 时， .
∵ ，
∴当 时，点C的纵坐标最小，最小值为 ．
(3)解：当 时， ，
解得： ， ．
抛物线 的对称轴为直线 ，
∴当 ，且点C的纵坐标随m的增大而增大时， ．
(4)解：分两种情况讨论：
①P在第三象限时，如图所示，
当Q在x轴上时，有2个交点，此时， ，解得：x= （舍）或x=－
，
∴此时 ，
当 过原点时，此时有3个交点， ，
解得：x= （舍）或x= ，
即 ，且 ．②P在第一象限时，如图所示，
同理可得： 且 ，
综上所述，m的取值范围是： 且 或 且 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、配方法求二次函数最值、二次函
数增减性及二次函数与一元二次方程的关系等的知识点．解题关键是利用函数图象解决问
题，本题综合性较强，体现了数形结合的数学思想．
35．(1)点A的坐标为 ，点 的坐标为
(2) (3)点 的坐标为 或
【分析】
（1）联立直线和抛物线的解析式，解方程组，得到A，B两点的坐标；
（2）联立直线和抛物线的解析式，根据直线与抛物线有公共点，得到根的判别式大于
或等于0，解不等式得到a的取值范围；
（3）作 轴于点 ，交AB于点 ，证明 PQD是等腰直角三角形，根据
△
，得到PD=1，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
推出 ，求出点 的坐标为 或 ．
解：(1) ，，
解得， ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(2)由题意可得 ，
联立 ，
∴ ，
∵直线 与抛物线 仍有公共点．
∴ ，∴ ，
∵a>0，
∴ ；
(3)作 轴于点 ，交 于点 ，
∵点Ａ的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∴在Rt POD中， ，
△∴ ， ，
设点P的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
即 ，解得 ， ，
∴点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、根的判
别式、勾股定理等是解题的关键．
