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专题 22.27 二次函数“将军饮马”问题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图,抛物线 与直线 交于 两点,点 为 轴上点,当
周长最短时;周长的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．已知二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点，如图所示，与 轴交
于点 ，点 是其对称轴上一动点，当 取得最小值时，点 的纵坐标与横坐标之和为
______．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(m﹣4，0)和B(m，0)，与直线y＝﹣x+p
相交于点A和C(2m﹣4，m﹣6)，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，
连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为_____．
4．如图抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称
轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为______．
5．如图，已知点B（3，3）、C（0，6）是抛物线 ( )上两点，A是抛物
线的顶点，P点是 轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标是_____．
6．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物
线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=3；
③抛物线上有两点P（x，y）和Q（x，y），若x＜1＜x，且x+x＞2，则y＞y；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形
EDFG周长的最小值为6 ．
其中真命题的序号是____________．
7．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 、 （点 在点 的右侧）两点，顶点为 ，点 是 轴上一点，且使得 最大，则 的最大值为_________．
8．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，
顶点 关于 轴的对称点为 ．点 为 轴上的一个动点，连接 ，则 的最小值为
__________．
9．如图，抛物线y＝ ﹣4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点，一个动点G从点B出发，
先经过x轴上的点M，再经过物线对称轴上的点N，然后返回到点A，则点G走过的最短路程为
____．
10．如图，过抛物线 上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已
知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结
BD，则线段BD的最小值为______.
11．已知 中，边 的长与 边上的高的和为 ，当 面积最大时，则其周长的
最小值为________（用含 的代数式表示）．
三、解答题
12．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，
0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．13．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴
交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐
标，如果不存在，请说明理由．
14．如图，已知二次函数 图象与x轴交于 ， 两点，与y轴
交于点 ，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的
坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
15．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与
y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的
坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大
值，并求此时E点的坐标．
16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连
接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当 ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．17．如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点
C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使 值最小的点
P的坐标．
18．如图所示，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为
抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小
值；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求 面积的最大值及此时点N的坐标．
19．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B
点的坐标为B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大
值；
20．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4），已知
点A的坐标为（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】
联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在 中的边 的长已经确定，只
需要求出 的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点 ,连接 交y轴于点C，此时
就为 的最小值，所以 周长最短为 的长，求出即可.
解：根据题意联立方程得：
，得出 ，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，
即： , ,
已知在 中的边 的长已经确定，
做B点关于y轴的对称点 ,连接 交y轴于点C,如图所示，
此时 就为 的最小值,
，
,
周长最小为： ;
故选B.【点拨】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意
去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.
2．
【分析】
根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横
坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数 ，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x＝﹣3，x＝1，当x＝0时，y＝2，
1 2
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得 ，
即直线AC的解析式为 ，
∵点P在二次函数 的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标 ，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为： ，故答案为： ．
．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确
题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3．(1，﹣2)
【分析】
把点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直线y=-x+p上得到方程组，求出方程组的解，得
出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a，得出
函数的解析式，找出P的位置，求出AN的解析式，把x=1代入即可．
解：∵点A(m﹣4，0)和C(2m﹣4，m﹣6)在直线y＝﹣x+p上
∴ ，
解得：m＝3，p＝﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(2，﹣3)，
设抛物线y＝ax2+bx+c＝a(x﹣3)(x+1)，
∵C(2，﹣3)，代入得：﹣3＝a(2﹣3)(2+1)，
∴a＝1
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
对称轴EF为x＝1，
当x＝0时y＝﹣3，
即D点的坐标为(0，﹣3)，
作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，
根据对称得N的坐标为(2，﹣3)，
设直线AN的解析式为y＝kx+e，
把A、N的坐标代入得： ，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，
即y＝﹣x﹣1，
把x＝1代入得：y＝﹣2，
即P点的坐标为(1，﹣2)，
故答案为：(1，﹣2)．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，轴对称-最短路
线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
4． ．
【分析】
先确定抛物线的对称轴为直线 ，C（0，﹣6），通过解方程 得 A（﹣
3，0），B（1，0），再根据三角形中位线性质得 ， ，所以
，连接AC交直线 于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时
PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+ DF的最小值．
解：抛物线 可化为：
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当x＝0时， ，则C（0，﹣6），当y＝0时， ，解得 ， ，则A（﹣3，0），B（1，0），
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE和DF都为△PBC的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
连接AC交直线 于P，如图，
∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此时PB+PC的值最小，其最小值为
∴DE+DF的最小值为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短
路径问题．
5．(2.4，0)
【分析】
根据点B（3，3）、C（0，6）是抛物线 （a≠0）上两点，可以求得该抛物线
的解析式，从而可以求得顶点A的坐标，然后即可得到点A关于x轴的对称点的坐标，则点A
关于x轴的对称点的坐标与点B所连直线与x轴的交点即为所求的点P的坐标．解：∵点B(3，3)、C(0，6)是抛物线 (a≠0)上两点，
∴ ，得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴点A的坐标为(2,2)，
点A关于x轴的对称点的坐标为(2,−2)，
则点(2,−2)与点B(3,3)所连直线与x轴的交点即为所求的点P，此时PA+PB最小，
设过点(2,−2)与点B(3,3)的直线解析式为y=kx+b，
，得 ，
即过点(2，−2)与点B(3，3)的直线解析式为y=5x−12，
当y=0时，0=5x−12，得x=2.4，
∴点P的坐标为(2.4,0)，
故答案为：(2.4，0)．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．
6．②③．
【分析】
（1）根据二次函数所过象限，判断出y的符号；
（2）根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；
（3）根据 ，由x＜1＜x，从而得到Q点距离对称轴较远，由图象性质判断出y
1 2 1
＞y；
2
（4）作D关于y轴的对称点 ，E关于x轴的对称点 ，连接 ，DE和 的和即
为四边形EDFG周长的最小值，求出D、E、 、 的坐标即可解答．
解：（1）当x＞0时，函数图象过一、四象限，当00；当x>b时，y<0，故本选
项错误；
（2）二次函数对称轴为x=- =1，点A、B关于x=1对称，当a=-1时，有=1，解得b=3，故本选项正确；
（3）∴x+x＞2，
1 2
∴ ，
又∵x＜1＜x，
1 2
∴Q点距离对称轴较远，
∵函数图象开口向下，
∴y＞y，故本选项正确；
1 2
（4）如图，作D关于x轴的对称点 ，E关于x轴的对称点 ，连接 ， 的和
即为四边形EDFG周长的最小值，
当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则
为（-1，4），C点坐标为（0，3），则E为（2，3）， 为（2，-3）则DE=
， = ，
∴四边形EDFG周长的最小值为 ，
∴四边形EDFG周长的最小值为 ，故本选项错误，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，把二次函数图象与x轴的交点坐标问题转化为解
关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决．
7．5
【分析】
先确定A、B、C的坐标，设P点坐标为（0，a），然后根据两点间的距离公式，建立一个
关于a二次函数，求最大值即可．解：由题意可知：A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4）
设P点坐标为（0，p）
如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PC-PB＜BC,
∴当P、C、B在同一条直线上，PC-PB=BC,即此时PC-PB有最大值BC
∴BC=
故答案为5．
【点拨】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运
用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键．
8．
【分析】
过点 作 ，交AC的延长线与H，交 轴于点P，则点P为所求，
，故 的最小值为： ，即可求解.
解：
令 ，则 ，解得 , 则
令 ，则 ,则
函数的顶点D的坐标为 ，则点连接AC，则 ,
过点 作 ，交AC的延长线与H，交 轴于点P，则点P为所求，如图所示：
故 的最小值为：
∴ ,则直线 的函数表达式为： ，将点 的坐标代入上式子解
得：
∴直线 的函数表达式为：
同理直线 的函数表达式为：
联立解得 ，故点
∴ 的最小值为：
故答案为：
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点，主要考查了函数图像上点的坐标特征，解题的关
键是确定 ，也是这一类题目的一般解题方法.
9．10．
【分析】
作点A关于抛物线y＝ ﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得
AN＝A'N,BM＝B'M,得出点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B',求出抛物线y＝ ﹣4x+4的
对称轴为直线x＝4,点A的坐标为（0,4）,A'的坐标为（8,4）,B的坐标为（0，2），B'的坐标为
（0,﹣2）,得出AB'＝6,AA'＝8,由勾股定理求出A'B'＝ ＝10即可．
解：作点A关于抛物线y＝ ﹣4x+4的对称轴的对称点A',作点B关于x轴的对称点B',连接
A'B',分别交x轴、抛物线对称轴于点M、N,如图所示:
则BM+MN+NA就是点G运动的最短路径,由对称的性质得:AN＝A'N,BM＝B'M,
∴点G运动的最短路径＝BM+MN+NA＝A'B',
∵抛物线y＝ ﹣4x+4＝ （x﹣4）2﹣4,
∴抛物线y＝ ﹣4x+4的对称轴为直线x＝4,
当x＝0时,y＝4,即点A的坐标为（0,4）,
∴点A'的坐标为（8,4）,
∵B是OA的中点,
∴B的坐标为（0,2）,
∴B'的坐标为（0,﹣2）,
∴AB'＝4+2＝6,AA'＝8,
∴A'B'＝ ＝ ＝10,
即点G走过的最短路程为10;
故答案为:10．【点拨】本题考查了点的轨迹,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,
勾股定理,最短路径等知识,熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题的关键．
10．2
【分析】
（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标，当
点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD.
解：（1）把x=-1代入 中，得y=3，
故A（-1，3），C（0，3），
对称轴x=- ，
∵A、B关于对称轴对称，
∴B（4，3），
如图1中，
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，
∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB-OD= -3=2．
故答案为2
【点拨】本题考查抛物线中最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函
数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．
11．
【分析】设BC上的高为x，则BC=a﹣x，△ABC的面积为S，S= x（a﹣x），根据二次函数的顶点
坐标，可得出x的值，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直线l的对称点E，连接CE，交l于
点F，可得△CBE是直角三角形，根据勾股定理求出CE的长，从而得出周长的最小值．
解：设BC上的高为x．
∵边BC的长与BC边上的高的和为a，∴BC=a﹣x，设△ABC的面积为S，∴S= x（a
﹣x）=﹣ x2+ ax．
∵当△ABC面积最大时，∴x= a，∴BC= a，过点A作直线l∥BC，再作出点B关于直
线l的对称点E，连接CE，交l于点F，当点A与点F重合时，△ABC周长的最小值，
∴BG=GE=AD= a，∴BE=a．
∵直线l∥BC，∴∠EBC=∠EGA=90°，∴CE= = a，∴△ABC的最小周长=
a．
故答案为 a．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，是一道二次函数的综合题，还考查了二次函数的
解析式以及顶点的运用，轴对称的应用，正确运用轴对称是解题的关键．
12．(1) (2)【分析】
（1）根据 的坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）先求得点 的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，
三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值．
解：(1) 在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，
解得
抛物线的解析式为
(2)
对称轴为
如图，连接 ，
关于 轴对称
的周长等于 ，
当 三点共线时， 的周长取得最小值，最小值为
由抛物线解析式 ，
令 ，即解得
，
的周长的最小值为
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，
掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
13．(1) (2)点M坐标（1，2）
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1， ），（1， ），（1， ）
【分析】
（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为
M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M
坐标即可；
（3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①
PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点
间的距离公式列出方程求解即可．
(1)解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
(2)解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，
如图，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+m，
则 ，解得 ，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴M（1，2）．
(3)解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴D（1，0）．
设点P的坐标为（1，t），
∵C（0，3），
∴CD2=12+32=10．
分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：
①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6，
所以点P的坐标为（1，6）；
②若PD=CD，则t2=10，解得t=± ，
所以点P的坐标为（1， ）或（1，- ）；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD，则1+（t-3）2=t2，解得：t= ，
所以点P的坐标为（1， ）；
综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1， ））或（1，- ）或（1，
）．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、
二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨
论的思想．
14．(1) (2)存在， (3)MN取得最大值为 ，
【分析】
（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；
（2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴
于P点，此时的PA+PC即为最小值；
（3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，
得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可．
解：(1)将 ， ， 代入 得：
解得：
二次函数的解析式为： ；
(2)存在点P，使△PAC的周长最小
连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：，
由 得抛物线对称轴是
， 关于抛物线对称轴对称
而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，
因 ，故此时△PAC的周长最小
设直线BC为 ，将 ， 代入得：
解得：
直线BC解析式为：
令x＝1时，得y＝－2
(3)如图：设 ， ，
该函数为开口向下的二次函数，且在 时取得最大值
又Q在OB上，
∴
∴m可取的值包括了
时，
MN取得最大值为 ，
当x= 时，y=
故M点坐标为： ．
【点拨】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的
将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键．
15．(1) ．(2)存在Q（﹣1，2），理由见分析．
(3)四边形BOCE面积的最大值为 ，此时E点的坐标为 ．
【分析】
（1）将 和 代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可．（2）由已易得抛物线的对称轴为直线 ，由题意可知点A、B关于直线 对对称，连
接BC交直线x=1于点Q，则此时△QAC的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，
把 代入所求解析式中求得对应的 值，即可得到点Q的坐标．
（3）过点E作 轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），根据割补法可找
出S EFOC = S BEF + S EFOC之间的关系，在利用配方法将函数关系式化为顶点式即
四边形 四边形
△
可完成解题．
(1)解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴ ，
解得： ，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
(2)解：存在Q（﹣1，2），理由如下：
连接BC交对称轴于Q，如图：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴C（0，3），
而A（1，0），
∴AC＝ ，
要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝
QB，
∴只需QC+QB最小即可，
∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小，设直线BC解析式为y＝kx+t，则 ，
解得 ，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝2，
∴Q（﹣1，2）．
(3)解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图：
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
则F（a，0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，
∴S BEF＝ BF•EF＝ （a+3）（﹣a2﹣2a+3），S EFOC＝ （OC+EF）•OF＝
四边形
△
（﹣a2﹣2a+3+3）•（﹣a），
∴S BOCE＝S BEF+S EFOC
四边形 四边形
△
＝ ，
＝ ，
，
∴当 时，S BOCE最大，且最大值为 ，
四边形
此时﹣a2﹣2a+3＝ ，
∴点E坐标为 ．【点拨】本题是二次函数综合运用，涉及利用待定系数法求二次函数的解析式、解一次函数
解析式、由抛物线的对称性解求最短路径问题、将二次函数解析式化为顶点式解析式等知识，是
重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
16．(1) (2)
【分析】
（1）根据OA＝2，OC＝6，求得 的坐标，进而待定系数法求解析式即可；
（2）先由抛物线解析式求得对称轴，根据抛物线的对称性可得 关于对称轴对称，求得
点 的坐标，设 与抛物线对称轴的交点为 ，根据 ACD的周长为
，则点 与 重合时， ACD的周长最小,根
据 的坐标求直线 的解析式，进而根据 与抛物线对称轴交点即可求得点 的坐标
(1)解：∵OA＝2，OC＝6，
∴ ，代入y＝x2+bx+c
解得
抛物线的解析式为
(2)由抛物线的解析式为 ，对称轴为
关于 对称，
设 与抛物线对称轴的交点为 ，
ACD的周长为 ，
则点 与 重合时， ACD的周长最小,设直线 的解析式为 ,
则
解得
为 与 的交点，
令 ，
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称
性是解题的关键．
17．（1） ；（2）
【分析】
（1）先根据解析式求得 点的坐标，设抛物线解析式为 ，将 代入，
再待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）的结论求得抛物线的对称轴为 ，再根据题意，求得 为 与直线
的交点，进而求得直线 的解析式即可求得点P的坐标．解：（1）抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C，
令 ，则 ，即
设抛物线解析式为 ，将 代入，得
解得
（2）
抛物线的对称轴为
根据对称性， 关于 对称，
连接 ，交 于点
则
当 三点共线时， 值最小，此时 为 与直线 的交点
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入，得：
解得
直线 的解析式为
在 上，则当 时，【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，根据轴对称的性质求线
段和的最值问题，理解题意掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；（2）点P的坐标为（1，－4），
的最小值为 ；（3） 面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．
【分析】
（1）令抛物线解析式中 即可求出 点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出
顶点 坐标；
（2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出
解析式，由此再求出点P坐标即可；
（3）过 点作 轴的垂线交直线 于Q点，设 ，进而得到 点坐标，最后
根据 求解即可．
解：（1）将 代入 ，得： ，
∴点 的坐标为 ，
，
抛物线的顶点 的坐标为 ；
（2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP，
根据轴对称的性质可得： ，
∴ ，∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
设直线BC的解析式为 ，
将 ， 代入，
得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∵顶点 的坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
将 代入 ，得 ，
∴点P的坐标为（1，－4）；
故此时 的最小值为 ．
（3）过 点作 轴的垂线交直线 于 点，连接 ， ，如图1所示：设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，其中 ，
∴ ，
∴
，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值为 ，
将 代入 ，得： ，
∴ BCN面积的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．
【点拨】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解
析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数
的方法求解几何问题是解决本题的关键．19．（1）抛物线解析式为 ，抛物线对称轴为直线 ；（2）当P点坐标为
（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3）
【分析】
（1）把B（6，0）代入抛物线中求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴；
（2）连接PC，PA，PB，先求出点C的坐标为（0，3），由A、B关于直线 对称，得到
PA=PB，则△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，故要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，
则当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在 位置，，求出直线BC的解析式为
，令x=2，则 ，即可得到 的坐标为（2，2），则当P点坐标为（2，2）时，使
得△PAC的周长最小；
（3）设M点坐标为（m， ），由MN∥y轴，且N在直线BC上，得到N点坐标
为（m， ），则 ，然后利用二次函数的性质求解即可．
解：（1）∵抛物线 经过B（6，0），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ；
（2）如图所示，连接PC，PA，PB，
∵点C是抛物线 与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，3），
∵A、B是抛物线与x轴的交点，
∴A、B关于直线 对称，∴PA=PB，
∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，
∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，
∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在 位置，
设直线BC解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为 ，
令x=2，则 ，
∴ 的坐标为（2，2），
∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；
（3）如图所示，设M点坐标为（m， ），
∵MN∥y轴，且N在直线BC上，
∴N点坐标为（m， ），
∴，
∵ ，
∴当 时，MN有最大值 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数对
称性—最短路径问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
20．（1） ；（2） ；（3）存在，点Q的坐标分别为Q ，Q
1 2
，Q ，
3
【分析】
（1）将点 代入抛物线解析式，求解系数即可；
（2）令 求得点 坐标，再根据三角形三边关系，确定点 的位置，求解即可；
（3）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
解：（1）将点 代入抛物线解析式得，
，解得
∴抛物线的解析式为 ，（2）令y=0，即 ，
解得 ， ，即B（8，0），且抛物线的对称轴为直线x=3，
由对称性可知， ，
△PAC的周长为
所以，当 最小时，△PAC的周长最小，
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时， ，此
时△PAC的周长最小
设直线BC的解析式为 ，代入 得
，解得
直线BC的解析式为 ，
当 时， ，即点P的坐标（3， ）；
（3）依题意，抛物线的对称轴为直线x=3，
可设点
则 ，
分三种情况讨论：
①若AQ＝CQ，则有AQ2＝Q2，即25+ t2=9+ (t-4)2解得t＝0，∴Q（3，0）
②若AC＝AQ，则有AC2＝AD2，即25+ t2=20解得t2＝-5，∴此方程没有实数根，∴此
时不能构成等腰三角形；③若AC＝CQ，则有AC2＝CQ2，即9+ (t-4)2=20解得 ，
∴Q ，Q
综上所述，当△ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标分别为Q（3，0），Q
1 2
，Q
3
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求
一次函数解析式，轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
