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专题 22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交负半轴于点C，△ABC
的面积为15，则该抛物线的对称轴为（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣ C．直线x＝ D．直线x＝
2．四位同学在研究函数 （b，c是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；
乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当 时， ，已
知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知抛物线 与抛物线： 关于直线 对称，则抛物线
V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．21 D．42
类型二：由函数值求自变量的值
4．三个方程 的正根分别记为 ，
则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实
数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
6．已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示，则方
程 的根是（ ）… …
… …
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
7．如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于x的不等式或
方程，结论正确的是（ ）
A． 的解集是
B． 的解集是
C． 的解集是
D． 的解是 或
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．有
下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两
个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1．其中正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2A．1 B．2 C．3 D．4
9．如下表给出了二次函数 中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程
的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
…… 2 2.1 2.2 2.3 2.4 ……
…… －1 －0.39 0.24 0.89 1.56 ……
A．2 B．2.1 C．2.2 D．2.3
类型四：图象法解一元二次不等式
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为
4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜
4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；②关于
的不等式 的解集为 ；③ ；④ ．其中正确结论的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．412．已知二次函数 图像上的两点 和 ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
13．下列命题正确的是（ ）
A．若分式方程 有增根，则它的增根是
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．已知抛物线 ，当 时，
14．已知二次函数 的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc＞0；②a
＋c＞b；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④3b＞2c；⑤ （其中m为实数，且
m≠1），其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．③④⑤ D．①②③④
15．已知抛物线 ， 过 ，且对称轴是直线 ，则当 时，自
变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
类型六：根据交点确定不等式的解集16．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；
③ ；④不等式 的解集为 ，正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
17．点A（ ， ），B（ ， ）在抛物线 上，已知： ，存在一个
正数m，当 时，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
18．如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．下列
结论：① ；②当 时，y随x的增大而增大；③ ；④ ．⑤b＝4a
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型七：抛物线与x轴交点问题
19．已知关于 的二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）A．对任意实数 ，该函数图象与 轴都有两个不同的交点
B．对任意实数 ，该函数图象都经过点
C．对任意实数 ，当 时，函数 的值都随 的增大而增大
D．对任意实数 ，该函数图象的顶点在二次函数 的图象上运动
20．已知二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜-1时，y随x的
增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则-1＜a＜0；
③若（-2021，y），（2021，y）是函数图象上的两点，则y＜y；
1 2 1 2
④若图象上两点( ，y)，( +n，y)对一切正数n，总有y＞y，则 ≤m＜2．
1 2 1 2
A．①② B．①③ C．③④ D．①③④
21．如图，是二次函数 的图象，则下列结论正确的个数有（ ）
① ；② ；③二次函数最小值为 ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
22．若三个方程 ， ， 的正根分别记
为 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）A． B． C． D．
23．如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．下列
结论：① ；②当 时，y随x的增大而增大；③3b＝2c；④抛物线顶点坐标为 ，
则关于x的方程 有实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线
．
关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲： ；
乙：方程 的解为 和3；
丙： ．
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
类型九：求抛物线与x轴截线长25．已知二次函数 的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为
C，若 ，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
26．已知：抛物线 与x轴交于A、B两点，且 ，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
27．对于每个非零的自然数 ，抛物线 与 轴交于 、 两点，
以 表示这两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．已知二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标是 ，则它与 轴的另一个
交点坐标是______．
29．如图是抛物线 的部分图象，则方程 的两个根是____________．
30．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向
左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____．
类型二：由函数值求自变量的值
31．如图，一段抛物线 与x轴交于点O， ；将 向右平移得到第2段抛物线 ，交x轴于点 ， ；再将 向右平移得到第3段抛物线 ，交x轴于点 ，
；又将 向右平移得到第4段抛物线 ，交x轴于点 ， ；若点 在 上，则m的
值为______．
32．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）．
（1）n=______；
（2）己知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的
取值范围是______．
33．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛
物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为 _____．
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线
x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3
之间，正确的有_______（填序号）．35．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ______．
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ______．
36．二次函数 的图象如图所示，若方程 的一个近似根是
，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）
类型四：图象法解一元二次不等式
37．抛物线 的顶点在第四象限，则 的取值范围是______．
38．如图，直线 与抛物线 交于点 和点 ，若，则x的取值范围是______．
39．抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为______．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．已知二次函数 的图像与一次函数 图像中的每一
条都至多有一个公共点，则 的最大值是__________．
41．已知函数y＝﹣2x2＋8x﹣6，当0≤x≤3时，y的取值范围____．
42．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 5 2 1 2 ……
若A（m，y），B（m+6，y）两点都在该函数图象上，当y＞y 时，m的取值范围是 ___．
1 2 1 2
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，当 时，x的取
值范围是__________．44．如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式
的解集是_____________．
45．二此函数y＝ax2+bx+c中，x与y的部分对应关系如表：
x ﹣2 ﹣1 0 2
y m n 2 n
（其中m＜0，n＞0）．下列结论：①a+b+c＝2；②不等式ax2+bx+c＞n的解集是﹣1＜x＜
2；③若（t，y）、（2﹣t，y）是抛物线上不重合的两个点，则y＞y；④关于x的一元二次方
1 2 1 2
程a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）＝m﹣2的两个实数根为x＝﹣2，x＝3．其中正确的（序号）是
1 2
_____．
类型七：抛物线与x轴交点问题
46．已知抛物线 与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线
与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是 ，则点B的坐标是
______．47．函数 与 轴的交点至少有一个在 轴的左侧，则 的范围是
__________．
48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （m为常数，且 ）与直
线y＝2交于A、B两点．若AB＝2，则m的值为______．
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知抛物线 与直线 的两个不同交点分别为 ， ．
若 和 均为整数，则实数k的值为_________．
50．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（x，0），B（x，0）两点，且2＜x＜3，
1 2 2
x+x＝2，则下列结论：①b2＜4ac；②若（﹣ ，y）（ ，y）是抛物线上的点，则y＜y；
1 2 1 2 1 2
③a﹣at2≤bt﹣b（t为任意实数）；④若c＝﹣2，则a＞ ，其中正确的结论是__________（填写
序号）．
51．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛
物线的顶点为点P，当 为直角三角形时，m的值为________．类型九：求抛物线与x轴截线长
52．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．若顶
点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为______．
53．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(-3，0)，则线段
AB的长为_______________．
54．抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），且 ，
那么 的值是______.
三、解答题
55．如图，抛物线 与x轴交于 ，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点 ，连接AC，过点C作 交抛物线于点D．
(1)试确定a，b的数量关系；
(2)当抛物线对称轴在y轴的左侧时，试确定a的取值范围；(3)若 ，试求点B的坐标．
56．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴
交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式．
(2)求C，D两点坐标及△BCD的面积．
(3)若点P在x轴下方的抛物线上．满足 ，求点P的坐标．
57．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题(1)写出方程 的两个根；
(2)写出不等式 的解集
58．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）59．设二次函数 （a，b是常数， ），部分对应值如下表：
… …
… …
(1)试判断该函数图象的开口方向；
(2)当 时，求函数y的值；
(3)根据你的解题经验，直接写出 的解．
60．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于点
和B．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若D为抛物线上一点，且在点A和点B之间（不包括点A和点B），求点D的纵坐标
的取值范围；
(3)已知M是直线 上一点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段 与抛物线只有一个交点，直接写出点M的横坐标 的取值范围．
61．在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴是直线 ．
(1)直接写出抛物线与 轴的交点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(3)若抛物线与 轴相交于 两点，且 ，求 的取值范围．
62．如图， 二次函数 的图象与 轴分别交于点 （点 在点 的左
侧）， 且经过点 ， 与 轴交于点 ．
（1） 求 的值．
（2） 将线段 平移， 平移后对应点 和 都落在拋物线上， 求点 的坐标．参考答案
1．A
【分析】
先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据a的取值范围求出AB，OC，根据三角形的面积求
出a的值，再求出对称轴即可．
解：令y=0，则x2﹣2ax﹣2a﹣1=0，即 ，
解得 ，
∴A（-1，0）B（2a+1，0）
令x=0，y=-2a-1，
∴C（0，-2a-1）
∵点C与y轴交于负半轴，
∴-2a-1＜0
∴a＞ ，
∴AB=2a+1-(-1)=2a+2，
OC=2a+1，
∴ ，
解得 （舍去），∴ ，
∴对称轴为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交
点坐标．
2．B
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，
即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐
标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论是正确的，则 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
乙的结论是错的；
当 时， ，
丁的结论是正确的；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特
征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
3．D
【分析】
先求出抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），再根据轴对称的性质求出抛物线V的顶点坐标为（5，-4），则抛物线V的解析式为 ，再求出抛物线V与坐标轴的交点，即可得到
答案．
解：∵抛物线M的解析式为 ，
∴抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），
∵抛物线V与抛物线M关于直线x=2对称，
∴抛物线V的顶点坐标为（5，-4），
∴抛物线V的解析式为 ，
∴抛物线V与x轴的交点坐标为（3，0），（7，0），与y轴的坐标为（0，21），
∴抛物线V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，正确求出抛物线V的
解析式是解题的关键．
4．A
【分析】
分别设： ， ， ，三个方程的根即
为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
解：设 ， ， ，
将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：
则三个方程 的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标，
则由图可知： ．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函
数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．
5．D
【分析】
根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一
元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，
﹣4≤t≤12，进而求解；
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∴b＝﹣4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x，
∴顶点坐标为（2，-4），
∵﹣1＜x≤6，
∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12，
∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∴﹣4≤t≤12，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二
次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】
根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为 ，对称轴为 ，
根据抛物线经过点 ，得到抛物线也经过点 ，将方程 变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出 的根．
解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，
∴抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），
∴抛物线对称轴为 ，
∵抛物线经过点 ，
∴抛物线也经过点 ，
方程 变形为 ，
∴方程 的根可以理解为二次函数 的函数值为1时所对应的
的自变量的取值，
所以方程 的根为 ．
故选：D
【点拨】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根
据题意得抛物线经过点 ，并能将方程 变形为 是解题的关键．
7．D
【分析】
根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；方
程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ．据此即可求解．
解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；
故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
8．C
【分析】
利用顶点式得到 ，根据抛物线的开口向上得到 ，则 ， ，于
是可对①进行判断；解方程 得抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，利用
时， 可对②进行判断；把 ， 代入 中可对③进行判断；根据抛物
线 与直线 有两个交点，交点的横坐标分别为 和 ，则可对④进行判断．
解： 抛物线的顶点坐标为 ，
，
抛物线的开口向上，
，
， ，
，所以①正确；
当 时， ，解得 或 ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，
时， ，
，所以②正确；
，
而 ，
，所以③错误；
方程 有两个根 和 ，
抛物线 与直线 有两个交点，交点的横坐标分别为 和 ，
，所以④正确；
综上：正确的个数为3个，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数
，二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置．当 与
同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，对称轴在 轴右．常数项
决定抛物线与 轴交点位置：抛物线与 轴交于 ．抛物线与 轴交点个数由△决定：△
时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△
时，抛物线与 轴没有交点．
9．C
【分析】
由表格信息可得：当 时， 当 时， 再判断点
哪个点离 轴最近，从而可得答案.
解：由表格信息可得：当 时，
当 时，
而
所以一元二次方程 的一个近似解：
故选C
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与 轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用
数形结合的方法解题是关键.
10．C
【分析】
①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判
定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论；
解：将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，
∴y=-x2-2x+3，
①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；
②代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确；
③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误；
④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解
析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2．
故选：C．【点拨】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．
11．B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根
据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由函数图象可得：对称轴为直线 ，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，①正确；
②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称，
∴与x轴的另一个交点为（3,0），
∴ 的解集为： ，②错误；
③当x=2时，y=4a+2b+c，
由②可得当 时，y<0，
∴4a+2b+c<0，③正确；
④当x=-1时，a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴c=-3a，
∴8a+c=8a-3a=5a，
∵开口向上，
∴a>0，
∴8a+c>0，④错误；
综上可得：①③正确，
故选B．
【点拨】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b
的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键．
12．D
【分析】
根据二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)，可求得抛物线的对称轴为直线 ，继而求得(6，y)
2
关于对称轴的对称点为(－4，y)，然后根据二次项系数a<0时图像的性质即可求得结果．
2
解：二次函数y=－2ax2＋4ax＋c(a>0)，∴函数对称轴为：直线 ，
∴(6，y)关于对称轴的对称点为(－4，y)，
2 2
∵a>0，
∴－2a<0，
∴该函数开口向下，
∵两点分别为(x，y)，(6，y)，y> y ，
1 1 2 1 2
∴－4 0，
∴抛物线开口向上，∵抛物线经过点(-1， 0)，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线经过点(3， 0)，
∴当y>0时，x<-1或x>3.
故选： D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关
系，掌握二次函数的性质.
16．C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴
及抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：抛物线开口向上，则a＞0，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误；
由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，
ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确；
点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下
方，则ax2+（b-1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确；
故答案为：C．
【点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由
抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
17．D
【分析】
先根据二次函数的对称性可知，当满足 时， ，即只要 的范围不在此范围即
可．
解：∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为 ，由二次函数的对称性可知，
当 和 时，函数值y相等，
当 和 时，函数值y相等，
即当满足 和 的函数值相同，
当 ，存在一个正数m，当 时，都有 ，∴ 或 ，解得 或 ；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的大小判断，根据函数的对称性，准确找到函数值与自变量之间
的关系是解题的关键．
18．B
【分析】
把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y=ax2-
2ax-3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；
由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x=1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确
性．
解：把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，c=-3a＞0，
∴ac＜0，3a+c=0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x=- =1，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；
∴当x=1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
∵对称轴为直线：x=- =1，
∴b=-2a，⑤错误，
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，
抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称
轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴
交于（0，c）．19．C
【分析】
根据二次函数图象及性质逐项判断可得答案．
解：∵△=（2k+1）2-4k=4k2+1≥1＞0，
∴二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象与x轴都有两个不同的交点，
故A正确，不符合题意；
∵y=x2+(2k+1)x+k =x2+2kx+x+k=（2x+1）k+x2+x，
∴当2x+1=0，即x=- 时，y=- ，
∴二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象都经过点（- ，- ），
故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴x=- ，
∴x≥- 时，函数y的值都随x的增大而增大，
故C不正确，符合题意；
∵二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象的顶点为（- ，-k2- ），
把（- ，-k2- ）代入 ，
y=-（- ）2-（- ）=-k2- ，
∴函数y=x2+(2k+1)x+k图象的顶点在抛物线 上运动，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象性质及点坐标特征，解题的关键是掌握并能熟练应用抛物
线相关的性质．
20．B
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可
以解答本题．
解：∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴x=-1，x=m，x＜x，
1 2 1 2
又∵当x＜-1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x 时，y随x的增大而减小，故①正确；
2
又∵对称轴为直线x= ，1＜m＜2，
∴0＜ ＜ ，
∴若（-2021，y），（2021，y）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y＜
1 2 1
y，故③正确；
2
若图象上两点（ ，y），（ +n，y）对一切正数n，总有y＞y，1＜m＜2，
1 2 1 2
∴该函数与x轴的两个交点为（-1，0），（m，0），
∴0＜ ≤ ，
解得1＜m≤ ，故④错误；
∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜-1时，y随x的增
大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1=a（0+1）（0-m），得1=-am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴-1＜a＜- ，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确
题意，利用二次函数的性质解答．
21．A
【分析】
根据抛物线与x轴的交点得到方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，根据根与系数的关系可对
①进行判断；由于x=-2时，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入计算，则可对②进行判断；
由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴方程为x=1可对③进行判断；根据x=-1时，y=a-b+c=0，以及b=-2a，计算可对④进行判断．
解：∵二次函数 的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，
∴ -1×3=-3<0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- = =1，
∴b=-2a，
∵x=-2，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴8a+c＞0，故②不正确；
∵二次函数 的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为y= a(1+1)(1-3)=-4a，故③不正确；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c=0，
而b=-2a，即a=- b，
∴- b-b+c=0，
整理得2c-3b=0，故④不正确；
综上，只有①正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟知二
次函数的图象与系数的关系．
22．A
【分析】
先把原方程分别化为 ， ， ，令
，再画函数的简易图象，结合函数图象可得答案．解： 三个方程 ， ， ，
， ， ，
令 ，如图，
结合图象可得：
故选A
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，二次函数的性质，掌握“数形结合的方法解题”
是解本题的关键．
23．A
【分析】
由抛物线经过A（-1，0），B（3，0）可求抛物线对称轴，由抛物线开口方向，抛物线与y
轴交点位置以及对称轴的位置可判断①；根据二次函数的增减性可判断②；由x=-1时，y=0可判
断③；由抛物线最高点为 ，则可得 无交点，即可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x=1，∴ ，
∴
∴ ，
故①错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴x＜1时，y随x增大而增大，
故②错误；
∵ ，
∴ ，
∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，即3b=2c，
故③正确；
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线 与直线 无交点，
∴ 无解，
∴关于x的方程 无实数根，
故④错误，
故正确有③．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次
函数与方程及不等式的关系．
24．D
【分析】
甲：把 ， 代入函数关系式即可求得 ；根据对称轴为 ，即可求出；
乙：根据对称轴为 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），可以得出抛物线与x轴
的另外一个交点坐标为（3，0），即可得出方程 的解为-1和3；
丙：根据与y轴交于点(0，2)，得出 ，根据抛物线开口向下，可以得出 ，即可得出
结果．
解：∵函数图象与x轴交于点（-1，0），
，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
，故甲正确；
∵抛物线的对称轴为 ，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴方程 的解为-1和3，故乙正确；
∵抛物线与y轴交于点(0，2)，
∴ ，
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ，故丙正确；
综上分析可知，甲、乙、丙都对，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数图象和性质，对称轴公
式 ，是解题的关键．
25．A
【分析】
求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得AB的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对
称性，△ABC是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即可求得a的值．解：令 ，
解得： ， （ ），
则 ，
∵ ，
∴顶点C的坐标为 ，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，且 ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴顶点C到x轴的距离等于AB的一半，
即 ，
解得：a=3或a=4（舍去），
经检验是方程的解且符合题意，
即a=3．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的
性质等知识，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键．
26．C
【分析】
设A、B两点的横坐标为 、 ，由题意知 ， ， ，由
，可得 ，计算求解即可．
解：设A、B两点的横坐标为 、 ，
由题意知： ， ， ，∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的
关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于 ，利用
求解．
27．D
【分析】
根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是 ,另一个是 ，，根据x轴上
两点间的距离公式，得AB = － ，再代入计算即可．
n n
解：令 时， ，
解得： ，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是 和 ，
∴AB = －
n n
∴ ＝ ．
故选D．
【点拨】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个
实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
28．
【分析】
用待定系数法求得c，再令二次函数解析式的y=0，求得相应交点坐标．解：将 代入 中，得，
，解得 ，即 ，
令 ，则 ，解得， ， ，
∵图象与 轴的一个交点坐标是 ，
∴它与 轴的另一个交点坐标是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，
此题还可以运用韦达定理求解．
29．x=-1，x=3
1 2
【分析】
由图象得，抛物线 的图象与x轴的一个交点为(-1,0)，对称轴为x=1，再由抛物
线的对称性质交点为(-1,0)，对称轴为直线x=1，利用抛物线的对称性质求出抛物线与x轴另一交
点坐标是(3,0)，即可由二次函数与一元二次方程的联系得出答案．
解：由图象得，抛物线 的图象与x轴的一个交点为(-1,0)，对称轴为直线x=1，
∴(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0)，
∴ax2+bx+c=0的两个根是x=-1，x=3，
1 2
故答案为：x=-1，x=3．
1 2
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象，二次函数图象与x轴
交点、对称轴，能从二次函数图象得出图象与x轴的一个交点为(-1,0)，对称轴为x=1，利用抛物
线的对称性质，求出与x轴另一交点坐标是解题的关键．
30．（-1，-4）
【分析】
先利用对称性得到抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），利用交点
式写出抛物线解析式为y=x2-2x，利用配方法得到抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标为（1，-1），利用
点平移的坐标变换规律得到平移后抛物线的顶点坐标．
解：∵抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x=1，∴抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线解析式为y=x（x-2），即y=x2-2x；
∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标为（1，-1），
∵点（1，-1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（-1，-
4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为 （-1，-4）．
故答案为（-1，-4）．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
31．3
【分析】
根据平移得出 、 的坐标，由 、 的坐标，得出抛物线的关系式，把点P(15，m)代入
抛物线关系式，得出m的值即可．
解：把 代入y=−x(x−4)得： ，
解得： ， ，
点的坐标为（4，0）
∴ ，
∴根据平移可知： ，
，
∴ 、 的坐标为：（12，0），（16，0），
的函数关系式为： ，
把 代入 得：
．故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式
，是解题的关键．
32． -1
【分析】
（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m即可求得答案；
（2）y=-mx2+x+m，当y=1时，可得解得： ，然后根据m＜0，P（-3，1），Q
（0，1），二次函数图象与线段PQ有交点，即可求得m的取值范围.
解：（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m，
得：n=-m-1+m，
解得：n=-1；
故答案为：-1.
（2）二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0），
当y=1时，得：-mx2+x+m=1，
因式分解的： ，
解得： ，
∵m＜0，
∴ ，
∵ ，P（-3，1），Q（0，1），
∴当二次函数图象与线段PQ有交点时，
得： ，
即： ，
解得： .∴m的取值范围是 .
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质、因式分解法解一元二次方程、解分式不等
式，熟练掌握二次函数的性质和应用数形结合思想是解题的关键.
33．4
【分析】
先求得点C的坐标，然后由OA＝2OC得到点A的坐标，进而得到点B的坐标，最后将点B
的坐标代入函数解析式求得m的值，即可得到矩形的周长．
解：当x＝0时，y＝m﹣2，
∴点C（0，m﹣2），
∴OC＝m﹣2，
∴m≠2，
∵OA＝2OC，
∴OA＝2m﹣4，
∴A（2m﹣4，0），
∴B（2m﹣4，m﹣2），
将点B的坐标代入函数解析式得，﹣2（2m﹣4）2+m（2m﹣4）+m﹣2＝m﹣2，
解得：m＝2（舍）或m＝ ，
∴OC＝ ，OA＝ ，
∴矩形OABC的周长为2×（ + ）＝4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了已知二次函数的函数值求自变量的值，二次函数与坐标轴交点问题，矩
形的性质，根据点 的坐标求得点 的坐标是解题的关键．
34．①②④
【分析】
由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称
轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，
即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时， ，即可判断③．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c=3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，即 ，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵当x=-1时， ，
∴ 即 ，故③错误，
故答案为：①②④．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像
的性质．
35． 4 m＝0或m>4
【分析】
将方程转化为 与y＝|x2﹣4|的交点问题，进而根据函数图像分析即可求得答案．
解：由y＝|x2﹣4|
令 ，
与 轴的交点为 ,
设
根据函数图像可知，当 时， 与y＝|x2﹣4|有3个交点，即方程|x2﹣4|＝m，恰有3个不相等的实数根，
当 与y＝|x2﹣4|有2个交点时， 或者
故答案为：4；m＝0或m>4
【点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，将方程转化为两个函数的交点问题，数形
结合是解题的关键．
36．0.2．
【分析】
利用抛物线的对称性进行求解即可．
解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程 的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1 2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2． ×
【点拨】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
37．
【分析】
根据抛物线顶点坐标公式，用m表示出抛物线的顶点坐标，再由已知条件得出，抛物线顶点
横坐标大于0，纵坐标小于0，从而解得m的取值范围．
解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
又∵抛物线 ，
∴ ， ， ，
∴抛物线 的顶点为 ．
∵抛物线 的顶点在第四象限，∴ ，
化简得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，以及平面直角坐标系中具体象限的点坐标的特
征，一元二次不等式的解法，正确运用上述基础知识是解题的关键．
38．
【分析】
设 与 轴交于点 ，根据题意，当 时，结合函数图像，求得 的横坐标即可解
决问题．
解：如图，设 与 轴交于点 ，
直线 与抛物线 交于点 和点 ，
，
解得 ，
，
令 ，得 ，
即 ，根据题意，当 时，结合函数图像，可知 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，求不等式
组的解集，数形结合是解题的关键．
39．x＜-3或x＞1
【分析】
先由抛物线的对称轴及已知交点（1，0）的坐标得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，则根
据二次函数与不等式的关系可得答案．
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）
又∵抛物线开口向上
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1．
故答案为：x＜-3或x＞1．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数的相关性质及二次函数与不等
式的关系是解题的关键．
40．5
【分析】
由二次函数 的图像与一次函数 图像中的每一条都至
多有一个公共点，根据判别式 得 ， ，进而可得 ，
根据二次函数的性质求解即可
解： 二次函数 一次函数 图像中至多有一个公共点，
由二次函数 一次函数 图像中至多有一个公共点，即
解得 或
，
则 的最大值是5
故答案为：5
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的性质求自变量范围，掌
握二次函数的性质是解题的关键．
41．
【分析】
把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即
可得解；
解：二次函数为
时取得最大值 ，
时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，
当 时，当 时， 有最小值
当 时，当 时， 有最小值
当0≤x≤3时，y的取值范围为
故答案为：【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
42．
【分析】
先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将点 的坐标代入可得 的值，然后根
据 可得一个关于 的一元一次不等式，解不等式即可得．
解：由题意，将点 代入 得： ，
解得 ，
则二次函数的解析式是 ，
将点 代入得： ，
当 时，则 ，
整理得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
43．
【分析】
先根据二次函数的对称性求出其与 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．
解：由图象可知，抛物线的对称轴为 ，
∵与 轴的一个交点坐标为 ，
则其与x轴的另一个交点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，则 在 轴上方，
结合图象得：当 时， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是
解题关键．
44．-2＜x＜1
【分析】
作直线y=mx+n关于y轴的对称直线CD：y=-mx+n，点C、D是两个函数图象的交点，根据
点的的对称性，点C（1，p），D（-2，q），观察图象即可求解．
解：作直线y=mx+n关于y轴的对称直线CD：y=-mx+n，
点C、D是两个函数图象的交点，根据点的的对称性，点C（1，p），D（-2，q），
由图象可以看出，ax2+c＞n-mx的解集即不等式 的解集为：-2＜x＜1，
故答案为：-2＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，要非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表
的意义、图象上点的坐标特征等．作直线AB关于y轴的对称直线CD是问题的关键与难点，注
意数形结合．
45．①②④
【分析】
根据关系表可知对称轴，即可得出 ，再将点 代入函数解析式即可得出判断①；由题意可知二次函数开口向下，画出大致图象即可判断②；
取特殊值 即可判断③；
由 ，将 展开将值代入即可得出 ，再利用关系表及对
称点的关系即可判断④．
解：由x与y的部分对应关系表可知，二此函数y＝ax2+bx+c的对称轴为
当 时， ，即
，故①正确；
m＜0，n＞0，且对称轴为 ，
二次函数开口向下，
二次函数图象大致图如下：
ax2+bx+c＞n的解集取-1到2之间，
即﹣1＜x＜2，故②正确；
当 时， ，
即函数取得最大值，此时不满足y＞y，故③错误；
1 2
由表知 ， 即 ，故④正确；故答案为：①②④
【点拨】本题考查了二次函数的性质，根据图表得出对称轴是解题的关键．
46．( -6，0)
【分析】
由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．
解： 抛物线 与x轴的两个交点的横坐标分别是1和-3，
抛物线对称轴为直线x=- 1，
抛物线 是由抛物线 向上移动m个单
位，抛物线对称轴为直线x=-l，
A， B关于对称轴对称， A坐标为( 4， 0)，
点B坐标为( -6，0)，
故答案为( -6，0)．
【点拨】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
47．
【分析】
求出函数与 轴的交点的坐标，由此即可得出答案．
解：方程 可变形为 ，
解得 或 ，
函数 与 轴的交点坐标为 和 ，
函数 与 轴的交点至少有一个在 轴的左侧，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是
解题关键．
48．
【分析】设A（x，2），B（x，2），抛物线 中，令y=2，得 ，
1 2
利用根与系数关系求得AB，可建立关于m的方程并解出即可．
解：设A（x，2），B（x，2），
1 2
抛物线 中，令y=2，得：
，
即：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象
上点的坐标特征，熟练掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．
49．2
【分析】
先联立两个函数的解析式可得 ，再根据一元二次方程的根与系数的关
系可得 ， ，从而可得 ，然后根据 和 均为整数可
求出 和 的值，由此即可得．
解：联立 ，
整理得： ，抛物线 与直线 的两个不同交点分别为 ， ，
和 是一元二次方程 的两个不相等的根．
由根与系数的关系可知， ， ，
则 ，即 ，
和 均为整数，
和 均为整数，
不妨设 ，
则 ，
解得 ，
所以 ，即 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握抛
物线与一元二次方程的联系是解题关键．
50．②③④
【分析】
利用二次函数与x轴交点的个数倒推根的判别式 ，判断①；由x+x＝2推出抛物线y＝
1 2
ax2+bx+c的对称轴，抛物线开口向上，因此距离对称轴越远的点，纵坐标越大，判断②；推出b
与a的关系，取特殊值x＝1， x＝﹣1判断③④．
解：由抛物线与x轴有两个不同的交点可知，b2﹣4ac＞0，
∴①错误；
∵x x＝2，
1+ 2
∴对称轴为x＝1，
∵1﹣（﹣ ）＜ ﹣1，又抛物线的开口向上，
∴y＜y，
1 2∴②正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c取得最小值，
∴at2+bt+c≥a+b+c，
∴a﹣at2≤bt﹣b，
∴③正确；
∵对称轴为x＝1，
∴ ，
∴ ，
∵c＝﹣2，x＝3时，y＞0，
，
∴当x＝﹣1时，y＝3a﹣2＞0，
∴a＞ ，
∴④正确．
故答案为②③④．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、二次函数对称轴与系数的关系、二次函数图象
上点的特征等，掌握二次函数的基本性质并能熟练运用数形结合思想是解题的关键．
51．2
【分析】
设点A（x，y），B（x，y），则AB=｜x-x｜，求出点P（m，-（m-1）2），由抛物线的
1 1 2 2 2 1
对称性知△ABP为等腰直角三角形，建立方程｜x-x｜=2（m-1）2，根据根与系数关系可求得m
2 1
值．
解：设点A（x，y），B（x，y），则AB=｜x-x｜，
1 1 2 2 2 1
令y=0得 ，
∴x+x=2m，x·x=2m-1，则｜x-x｜2=4m2-8m+4=4（m-1）2，
1 2 1 2 2 1
由抛物线 =（x-m）2－（m-1）2得顶点坐标为P（m，-（m-1）2），
抛物线的对称性知△ABP为等腰直角三角形，
∴｜x-x｜=2（m-1）2，
2 1
即4（m-1）2=4（m-1）4，
解得：m=2或m=0或m=1，∵抛物线 与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴2m＞0且m≠1且2m-1＞0，即m＞ 且m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、
解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
52．2
【分析】
先确定抛物线的解析式，令 ，得到A，B两点的坐标，即可得到结果；
解：∵抛物线y＝－2x2＋bx＋c顶点C到x轴的距离为6，
∴化二次函数解析式为顶点式为： ，
∴令 ，得 ，
解得： ， ，
∵抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，
∴ ， ，
∴ ；
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的
关键．
53．8
【分析】
直接利用抛物线的对称性求得点B的坐标，然后求线段AB的长度即可．
解：∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点A（－3，0），
∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为：x＝－3，∵抛物线的对称轴为：直线x＝－ ＝1，
∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为：（5，0），
∴线段AB的长为：5－（－3）＝8．
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是求出B点的坐标，此题
难度不大．
54． ，1或4
【分析】
当y=0时，求得 ，然后分情况讨论，求得m的值.
解：当y=0时，
解得：
由题意 且点 在点 的左侧
当-m＜-2时，可得： ，解得：m=4
当-2<-m<0时，可得： ，解得：m=1
当-m>0时，可得： ，解得：m=-1
故答案为： ，1或4
【点拨】本题考查二次函数与x轴的交点及数轴上两点之间的距离，准确计算利用数形结合
思想解题并注意分类讨论是本题的解题关键.
55．(1) (2) (3)
【分析】
（1）将点 、 的坐标代入 ，即可得 与 的数量关系；
（2）抛物线的对称轴为 ，故只需 ，结合 即可求得 的取值范围；
（3）过 作 于 ，证明 ，由此可求得点 的坐标，将点 的坐标
代入抛物线的表达式中，可求出其解析式，令 ，解出 的值，即可知点 坐标．(1)解： 抛物线 经过点 ， ，
，
．
(2)解： 抛物线 的对称轴在 轴的左侧，
，
又 抛物线开口向上，
， ，
，
，
，
．
(3)解：过 作 于 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，
将点 代入 ，
得 ，即 ，解得 ，
，
，
当 时，即 ，解得 ， ，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，不等式的应用，
全等三角形，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
56．(1) (2)C(-1，0)；D(3，0)；6(3) 或
【分析】
（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点
P的坐标．
(1)解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的表达式为 ，
把点 代入，得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ．
(2)由（1）知抛物线的表达式为 ，令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(3)由（2）知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P在x轴下方的抛物线上，
∴点P的纵坐标为 ，
∵抛物线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
57．(1) (2)-2
