文档内容
专题 22.32 实际问题与二次函数（知识讲解）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学
的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个
有效的数学模型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二
次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么
找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是
二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、
抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出
相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所
求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
特别说明：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利
用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究
问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一：图形问题1．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，
中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的
长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（ ）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
【答案】(1)y＝﹣2x2＋18x(2) m2
【分析】
（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（ ），则
，根据矩形的面积公式求解即可；
（2）根据顶点坐标公式计算即可求解
(1)解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（ ），则
，
根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；
(2)解：二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），
∵a＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
且当x＝﹣ ＝ 时，y取得最大值，
最大值为y＝ ×（18﹣2× ）＝ （m2）；
【点拨】本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出 是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花
园AB边的长为 m，面积为ym2．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）当 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）（1） .（ ）；（2）当x为 时，小花园的面积最
大，最大面积是
【分析】
（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB边长为x m，可得BC=(40-2x)m，然后根据矩形面
积即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长25m，即可求得自变量的x的范围；
（2）用配方法求最大值解答问题．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=x m，
∴BC=(40-2x)m，
∴花园的面积为：y=AB•BC=x•(40-2x)=-2x2+40x，
∵40-2x≤25，x+x<40，
∴x 7.5，x<20，
∴7.5≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；
（2）∵ ，( )
∴ 当 时， ．
答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【点拨】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出
函数解析式．
【变式2】 某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P﹣ABC，已知三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且棱PB与PC的和为6米，PB＝2PA．现要给该模型的三个侧面
（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为
60元/升．
（1）设PA的长为x米，三个侧面的面积之和为y平方米，试求y（平方米）关于x（米）的
函数关系式；
（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时
费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？
【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预
算．
【分析】
（1）先根据PA的长为x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然
后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；
（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算
出最大费用，然后与410比较即可．
解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，
∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，
由题意，得：y= PA•PB+ PA•PC+ PB•PC
= x•2x+ x（6-2x）+ ×2x（6-2x）
=x2+3x-x2+6x-2x2
=-2x2+9x，
∴y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；
（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x- ）2+ ，∵-2＜0，
∴当x= 时，y有最大值，最大值 ，
当y取得最大值时，需要总费用为： ×（0.5×60+10）=405（元），
∵405＜410，
∴完成该模型的油漆工作不会超出预算．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．
类型二：图形运动问题
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时
出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度
的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函
数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】（1）①2；②一次函数；（2）① ；② ，面积最大为
【分析】
（1）①根据 运动速度，以及 、 的长度，即可求解；②求得 与 的关系式，即
可求解；
（2）①求得线段 、 的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）①运动停止时， 分别到达终点 点和B点，
故答案为
②由题意可得： ， ，即 ，∴y与t满足一次函数的
关系
故答案为一次函数
（2）①由题意可得： ，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得： ，开口向下，对称轴为
∴当 时， 取得最大值，最大值为
【点拨】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，
解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．
举一反三：
【变式1】 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB
向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q
两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为ts，
（1）BP=_________cm；BQ=_________cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2?
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）12-2t，4t；（2）当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【分析】
（1）根据题意得出即可；
（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．
解：（1）根据题意得：AP=2tcm，BQ=4tcm，
所以BP=（12-2t）cm，
故答案为：12-2t，4t；
（2）△PBQ的面积S= ×BP×BQ
= ×（12-2t）×4t
=-4t2+24t=32，
解得：t=2或4，
即当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）由题意得：S=-4t2+24t
=-4（t-3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【点拨】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式
是解此题的关键．
【变式2】 如图（单位： ），等腰直角三角形 以 的速度沿直线l向正方形移动，
直到 与 重合．设 时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当 ，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？【答案】（1） ；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形
移动了5s．
【分析】
（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，据
此可得出y、x的函数关系式；
（2）可将x的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y的值；
（3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x的值．（其实此时AB
与DC重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m，因此x=5）
解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x，
所以y= ×2x×2x=2x2；
（2）在y=2x2中，
当x=2时，y=8；
当x=3.5时，y=24.5；
（3）在y=2x2中，
因为当y=50时，2x2=50，
所以x2=25，
解得x=5s（负值舍去）．
即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质以及函数关
系式等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，求
出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
类型三：拱挢问题
3、某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 ，涵洞顶部到底面的最大
高度为 在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式．【答案】 ．
【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为 ，根据 ，涵洞顶点
到水面的距离为 ，那么A点坐标应该是 ，利用待定系数法即可求解．
解：设此抛物线所对应的函数表达式为： ，
，涵洞顶点 到水面的距离为 ，
点坐标应该是 ，
把A点代入得： ，
解得： ，
故涵洞所在抛物线的函数表达式 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于结合题意列出式子求出解析式．
举一反三：
【变式1】 如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚
好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥
拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【答案】(1)y=- x2+2x （0≤x≤8）；(2)不会碰到头，理由见分析
【分析】
（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y=a（x-4）
2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即
可．
(1)解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a=- ，
∴二次函数的表达式为y=- （x-4）2+4，
即y=- x2+2x （0≤x≤8）；
(2)解：工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2=1，
∴将x=1代入y=- x2+2x，
解得：y= =1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
【变式2】 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如
长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x
轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米
【分析】
（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横
坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，
即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴ ，
解得 ，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）解：∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
【点拨】此题考查二次函数的性质和最值问题，熟练掌握，即可解题.类型四：销售问题
4、为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，
某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调
查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足如下关系式： ，
设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的
销售单价为多少元？
(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木
耳获得的最大利润是多少元？
【答案】(1) ；(2)黑木耳的销售单价为65元；
(3)每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元
【分析】
（1）根据题意，可以写出w与x之间的函数关系式；
（2）根据“每天的销售利润为2500元”列出一元二次方程，求解即可；
（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，
可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．
(1)解：由题意可得，
w与x之间的函数关系式为：w=y（x-60）
=（-20x+1800）（x-60）
=-20x2+3000x-108000，
即w与x之间的函数关系式是w=-20x2+3000x-108000；
(2)解：令-20x2+3000x-108000=2500，
解得x=85，x=65，
1 2
∵要最大程度的减少库存，
∴x=65．
答：黑木耳的销售单价为65元；
(3)解：∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240千克的销售任务，∴ ，即 ．
解得76≤x≤78，
由（1）得，w=-20x2+3000x-108000=-20（x-75）2+4500，
∴当x=76时，w取得最大值，此时w=4480，
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．
【点拨】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关
键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
举一反三：
【变式1】 商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千
克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨
价后的销专单价为x（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．
(1)该商品的购进价格是每千克多少元？
(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？
(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．
【答案】(1)该商品的进价为20元；(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；
(3)x＝32时，W有最大值960元．
【分析】
（1）设进价为a元，根据题意列出一元一次方程，故可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；
（3）根据题意列出二次函数，根据函数的性质即可求解．
(1)解：设进价为a元，
∵利润率为50%，
∴a（1+50%）＝30，
解得：a＝20，
所以该商品的进价为20元；
(2)解：∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．
∴12≤x﹣20≤18
∴x的取值为32≤x≤38
根据题意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750
∴（400﹣10x）（x﹣20）＝750，解得：x＝35，x＝25（不合题意，舍去），
1 2
∴x＝35，
∴商店某天的利润为750元，求售价为35元；
(3)解：设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x
﹣30）2+1000，
∵12≤x﹣20≤18，
∴32≤x≤38，
∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，
∴x＝32时，W有最大值960元．
【点拨】此题主要考查二次函数、一元二次方程及一元一次方程的应用，解题的关键是根据
题意列出函数或方程．
【变式2】 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒
便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商
家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设
猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）．
(1)猪肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为 元和 元；
(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？
(3)若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润．
【答案】(1)40；30(2)55元(3)1750元
【分析】
（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，根据商家用8000元购进的猪
肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润×销售量＝1350列出方程，解方程即可；
（3）列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性
质及x的取值范围求利润的最大值．
(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，
则 ，
解得a＝40，
经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，故答案为：40，30；
(2)解：∵每盒利润率不超过50%，
∴40≤x≤60，
由题意得，（x−40）[100−2（x−50）]＝1350，
整理得，x2−140x＋4675＝0，
解得x＝85（舍去），x＝55．
1 2
答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；
(3)解：设商家的利润为y元，
∴y＝x[100−2（x−50）]−40×[100−2（x−50）]＝−2x2＋280x−8000，
配方得：y＝−2（x−70）2＋1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为1750．
答：最大利润为1750元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪
肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
类型五：掷球问题
5、图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是
一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之
间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度 （单位： ）关于飞行时间 （单位： ）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理
由．
【答案】(1) (2) (3)不能，理由见分析
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令h=0即可求解；
（3）令 ，得到方程无解即可判断．
(1)解：由题意可设 关于 的二次函数关系式为 ，
因为当 ，2时， ，20，
∴ ，
解得： ．
∴ 关于 的二次函数关系式为 ．
(2)解：当 ， ，解得： ， ．
∴小球从飞出到落地所用的时间为 ．
(3)解：小球的飞行高度不能达到 ．
理由如下：
当 时， ，方程即为 ，
∵ ，
∴此方程无实数根．
即小球飞行的高度不能达到 ．
【点拨】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函
数解析式，再根据题意进行解答．
举一反三：
【变式1】 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离
不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图
所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
(1)当 时，求这条抛物线的解析式．
(2)当 时，求运动员落水点与点 的距离．
(3)图中 米， 米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训
练要求，求k的取值范围．
【答案】(1)y=-（x-3）2+4(2)5米(3)
【分析】
（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，将点A（2，
3）代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x-3）
2+k，中，当 米，y>0，当 时，y=0，解不等式，即可求解．
(1)解：如图，
根据题意得：抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+4，
∴3=a（2-3）2+4，解得：a=-1，
∴抛物线解析式为：y=-（x-3）2+4；
(2)解：由题意可得：当y=0时， 0=-（x-3）2+4，
解得：x=1，x=5，
1 2∴抛物线与x轴交点为：（5，0），
∴当k=4时，运动员落水点与点C的距离为5米；
(3)解：根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）2+k，
将点A（2，3）代入得：
a+k=3，即a=3-k，
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
当 时， ，即 ，
∴ ，解得： ，
当 时， ，即 ，
∴ ，解得： ，
∴跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，k的取值范围为
．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题
基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
【变式2】 如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上
表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物
线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高
度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
(2)当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
【答案】(1)16(2)y＝﹣（x﹣4 ）（x﹣4 4）
【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时
求出解析式即可．
(1)解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴函数最大值为16，
∴弹球第一次弹出的最大高度为16；
(2)解：当y＝0时，则﹣x2﹣8x＝0，
解得：x＝0，x＝﹣8，
1 2
∴第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣b），
当x 时，y＝16 8，
∴ （ ）＝8，
解得b＝4 或b＝﹣4 （舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4 ），
∴第二次相邻两落点之间的距离为4 ，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4 ）（x﹣c），
当x 时，y＝16 4，
解得c＝4 4或c＝4 4（舍去），∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4 ）（x﹣4 4），
∴第三次相邻两落点之间的距离为|4 4﹣4 |＝4，
∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4 ）（x
﹣4 4）．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
类型六：喷水问题
6、如图，从某建筑物的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在
平面与墙面垂直），点A离地面的高度为6米，抛物线的最高点P到墙的垂直距离为2米，到地
面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水落地离墙的最远距离OB．
【答案】(1) (2)6米
【分析】
（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A（0，6），即可设抛物线的解析式为
，再将A（0，6）代入，求出a即可；
（2）对于该抛物线解析式，令y=0，求出x的值即可．(1)解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A（0，6），
∴设抛物线的解析式为 ，
把A（0，6）代入得 ，
解得： ，
∴ ．
(2)解：令 ，得 ，
解得： ， （舍去），
∴水落地离墙的最远距离为6米．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题
的关键．
举一反三：
【变式1】如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在
水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落
下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x
（m）之间的关系式可以用 表示，且抛物线经过点 ， ．请根据以
上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】(1)喷水装置OA的高度为 米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是 米；(3)水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外
【分析】
（1）将点B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可得解析式，令x＝0可得
y的值，即喷水装置OA的高度；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；
（3）令y＝0可得对应x的值．
(1)解：根据题意，将点B（ ， ），C（2， ）代入y＝﹣x2+bx+c，
得： ，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴喷水装置OA的高度为 米；
(2)解：∵y＝﹣x2+2x+ ＝﹣（x﹣1）2+ ，
∴当x＝1时，y取得最大值 ，
故喷出的水流距水面的最大高度是 米；
(3)解：当y＝0时，﹣x2+2x+ ＝0，
解得：x＝1﹣ ，x＝1+ ，
1 2
∵x＝1﹣ ＜0，不合题意，舍去，
1∴x＝1+ ，
2
答：水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点拨】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际意义
是解题的关键．
【变式2】 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为
抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，
x轴上点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为 ．
（1）求雕塑高OA和落水点C，D之间的距离；
（2）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， ， ， ，请通过计
算说明顶部F是否会碰到水柱?
【答案】（1） ，CD＝22m；（2）不会
【分析】
（1）求雕塑高 ,直接令 ，代入 求解可得；
（2）可先求出 的距离，再根据对称性求 的长；再利用 ，计算出
的函数值 ，再与 的长进行比较可得结论．
解：（1）由题意得，A点在图象上．
当 时，
．∵D点在图象上．
∴令 ，得 ．
解得： （不合题意，舍去）．
（2）由题意得：
当 时， ，
，
∴不会碰到水柱．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于 轴对称问题，解题的关键是：掌握
二次函数的图像与性质．
类型七：增长率问题
7、某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产
量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎
样表示？
【答案】 ，y是x的函数
【分析】
根据题意可得一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是 ，由此求解
即可．
解：这种产品的原产量是 ，一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是
，即两年后的产量 ，即 ①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个
对应值，即y是x的函数．
【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍
是原来的（x+1）倍．
举一反三：
【变式1】 为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方
案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求
该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000
元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投
入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】
（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
【变式2】 为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩
的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩
需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求
A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【分析】
(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，
列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩 个，所需资金为 万元，列不等式，
求出a的范围，再求出 的函数解析式，进而可求出答案.
解：（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得： ，
解得: ， （舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩 个，所需资金为 万元.
根据题意，得: ，
解得: ，
，
∵ ，
∴ 随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当 时， 最小，最小值为 （万元）.
此时， .答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点拨】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，
列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.
类型八：其他问题
8、如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．连
接 ， ，点 在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 在第四象限，点 在 的延长线上，当 时，求点 的坐标；
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式的方法即可求得答案．
（2）根据勾股定理的逆定理即可判断 为直角三角形，从而利用等量代换即可求得
，在 轴上取点 ，连接 ，易证得 ，结合直线 的解析式即可
求得直线 的解析式，根据交点的含义联立方程组，解方程组即可求得答案．
(1)解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，∴抛物线的解析式是 ．
解：(2)令 ，则 ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
为直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 轴上取点 ，连接 ，如图，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把点 代入，可得 ，
∴直线 的解析式为 ，
解方程组 ，得 或 ，
∴点 的坐标是 ．【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理的应用、
利用平行线表达式的关系求直线的表达式，运用待定系数法正确求出函数解析式，能根据
，利用直线 的解析式求出直线 的解析式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在
甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到
最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点
建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果身高为1.4米的嘉嘉站在OD之间，当绳子甩到最高处时，求嘉嘉站在距点O的水平
距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？
(3)如果参与跳大绳的同学有12人，两人负责甩绳子，剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩
到最高点且超过他们头顶时，问剩下的同学是否可以在OD之间一起跳大绳．（12个同学身高与
嘉嘉相同，且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不少于0.5米就可以一起玩）
【答案】(1)抛物线的解析式是
(2)当绳子甩到最高点时，嘉嘉站在距点O的水平距离为为 或 米处，此时绳子刚好通过她
的头顶
(3)剩下的 个同学不能在OD之间一起跳大绳
【分析】
（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点 ， 坐标
代入即可；（2）嘉嘉站在 之间，将 代入解析式求出 的值，根据题意求解即可得出答案；
（3）求出 时 的值，算出10个同学一起玩时脚跟之间的距离，即可得出答案．
(1)解：由题意的点 ， ，
代入 得， ，解得 ，
抛物线的解析式是 ；
(2)解：当 时， ，即 ，解得： ，
，
当绳子甩到最高点时，嘉嘉站在距点O的水平距离为 或 米处，此时绳子刚好通过她
的头顶；
(3)解：当 时， ，
解得 ， ，
，
根据12个同学身高与嘉嘉相同，每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不少于0.5米就可以
一起玩，去掉 人负责甩绳子，还剩下 人，当剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩到最高点且
超过他们头顶时，
，不符合一起玩时每个同学同方向站立的脚跟之间距离不少于0.5米，
剩下的 个同学不能在OD之间一起跳大绳．
【点拨】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是
注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
【变式2】 路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，
减速后甲车行驶的路程 （单位：m）、速度 （单位：m/s）与时间 （单位：s）的关系分别可
以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示．(1)当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车以9m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】(1) 米，详见分析(2)6秒时，两车相距最近，最近距离为2米
【分析】
（1）设二次函数解析式为s=at2+nt，a≠0，一次函数解析式为v=kt+m，k≠0，利用待定系数
法求出各系数，再将v=10代入解析式求值即可；
（2）乙车行驶的路程为9t，设两车之间的距离为h，则h=20+9t－s，利用配方法求出h最小
值即可．
(1)解：设二次函数解析式为s=at2+nt，a≠0，
由题意得： ，
解得： ，
即二次函数解析式为： ；
设一次函数解析式为v=kt+m，k≠0，
同理， ，
解得： ，
即一次函数解析式为： ，
当v=10时，t=15－v=5，
此时， ，当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是 米．
(2)解：由题意知，乙车行驶路程为9t，设甲、乙之间的距离为h（单位：米），
则 = = ，
∴当t=6秒时，两车之间的距离h取最小值，即两车最近，最近距离为2米．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方
法求二次函数最值是解题关键．
