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专题 21.4 一元二次方程解法-直接开平方法（知识讲
解）
【学习目标】
1. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开
x2 √a
平方。一般地，对于形如 =a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x=
1
−√a
,x= .
2
（2） 直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，
就可以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根
有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的
式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
【典型例题】
【知识点一】用直接开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方
程是 ，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直接开平方法可以解答本题．
解：∵（x+1）2=16，
∴x+1=±4，
∴x+1=4或x+1=-4，
故选：D．
【点拨】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．
举一反三：
【变式1】若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
【答案】C
【分析】先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可．
解：∵（a2+b2﹣3）2＝25，
∴a2+b2﹣3＝±5，
∴a2+b2＝3±5，
∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2
∵a2+b2≥0
∴a2+b2＝8．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法
解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．
【变式2】方程 的根是（ ）
A．5和 B．2和 C．8和 D．3和
【答案】C
【分析】利用直接开平方法解方程即可得答案．
解：
(x-3)2=25，
∴x-3=±5，
∴x=8或x=-2，
故选：C．
【点拨】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、
配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
2.已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为______．
【答案】5
【分析】根据直接开平方解得 ，再根据 计算即可；
解：∵（x2+y2﹣1）2＝16，
∴ ，∴ 或 ，
∵ ，
∴ ；
故答案是5．
【点拨】本题主要考查了直接开平方法解方程，准确计算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】方程 的实数解为__________．
【答案】 ；
【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出 ，舍去负值后进一步开平方即可．
解：移项后可得：
或 （舍）
故答案为： ．
【点拨】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将
方程逐步转化为 (n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，
注意解题过程中不符合条件的值舍去即可．
【变式2】已知 ，则 _________．
【答案】8
【分析】将等号两边同时开平方，解出 的值，再根据 的非负性进行取舍
即可．
解： ，，
=8或－10，
≥0，
=8．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如
的形式，那么可得 ，需要注意的是两数平方的和的非负性．
3.解下列方程：
（1）(x－1)2＝9； （2） ．
【答案】（1）x＝4，x＝-2； （2）x = 2
1 2
【分析】
（1）根据直接开平方法求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据立方根的性质求解，即可得到答案．
解：（1）∵(x－1)2＝9
∴x－1＝±3
∴x＝4，x＝-2．
1 2
（2）移项，得
∴ ∴x = 2．
【点拨】本题考查了一元二次方程、立方根的知识；解题的关键是熟练掌握直接开平
方法求解一元二次方程、立方根的性质，从而完成求解．
举一反三：
【变式1】解方程：
【答案】x=1或x= -3
【分析】移项，利用直接开平方法，求解即可．解：∵ ，
∴ ，
∴x+1=2或x+1=-2，
解得x=1或x= -3．
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解
题的关键．
【变式2】解方程： ．
【答案】 ，
【分析】方程整理后，用开平方法进行解方程．
解：
整理得：
两边开平方得：
即 或
所以 ，
【点拨】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的特点选择合适的方法是提高
解题效率的关键．
【知识点二】用直接开平方法解一元二次方程的应用
4.给出一种运算：对于函数 ，规定 ．例如：若函数 ，则有
．若函数 ，求方程 的解．
【答案】 ，
【分析】根据题中新定义的运算，先求出 ，代入已知条件，然后求解一元二次方程
即可．解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ， ，
∴ 的解为： ， ．
【点拨】题目主要考查求一元二次方程的解，理解新运算的计算方法，并结合一元二
次方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 的方程，
叫做一元二次方程．
如 ．．．都是一元二次方程．根据平方根的特征，可
以将形如 的一元二次方程转化为一元一次方程求解．
如：解方程 的思路是：由 可得 ．
解决问题：
解方程
解：
，或
解方程：
【答案】（1） ；（2）【分析】
（1）将 化简即可得到两个根，再分别解一元一次方程求出方程的解即可；
（2）根据例题的解答方法求解即可.
解：（1）
，或 -2，
0，
故答案为：-2,0；
（2） ，
，
或
.
【点拨】此题考查解一元二次方程的方法，运用平方根的特征将一元二次方程直接开
方化为一元一次方程，正确理解题目中解方程的方法是解题的关键.
【变式2】如图，用两个边长为5 cm的小正方形拼成一个大的正方形．
(1)求大正方形的边长？
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为
3：2且面积为60cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明理由．
【答案】(1)10cm (2)能，理由见分析
【分析】
（1）根据已知正方形的边长即可求出大正方形的边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．解：（1）大正方形的边长 ；
（2）设长方形纸片的长为 ，宽为 ，
则 ，
解得： ，
，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比
为 ，且面积为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理，解一元二次方程，能根据题意列出算式
是解此题的关键．
