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专题 21.1 一元二次方程（知识讲解）
【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；
2．会把一元二次方程化为一般形式；
3．会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方
程，叫做一元二次方程．
特别说明：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）
未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx是一次
项，b是一次项系数；c是常数项．
特别说明：
(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时
注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次
方程的根.
4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解。【典型例题】
类型一、一元二次方程的定义
1． 已知关于 的方程 是一元二次方程，求 的值．
【答案】 ．
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数
不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
解：由关于 的方程 是一元二次方程，得
．解得 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先
要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
举一反三：
【变式1】 若方程 是关于 的一元二次方程，求m的值．
【答案】 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m2=2， 再求出答案即可．
解：根据题意得 解得
所以当方程 是关于 的一元二次方程时， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知
数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
【变式2】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．
求：（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解．
【答案】（1）k≠1且k≠2；（2）k=2， x=﹣5．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k-1）（k-2）≠0，由此求得k的值；
（2）根一元一次方程的定义得到k-2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可．
解：（1）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）≠0，解得k≠1且k≠2；
（2）依题意，得（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，解得k=2.
此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5．
【点拨】考查了一元一次方程、一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高
次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意
a≠0的条件．
类型二、一元二次方程的一般形式
2．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系
数和常数项．
； ；
； ．
【分析】（1）移项得 ，根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义
求解即可；（2）移项得 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义
求解即可；（3）原方程整理为 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数
项的定义求解即可；（4）原方程整理为 ，然后根据二次项系数、一次项系数
和常数项的定义求解即可．
解： 由原方程得到： ，
所以二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为： ；
由原方程得到： ，
所以二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为： ；
由原方程得到： ，所以二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为： ；
由原方程得到： ，
所以二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程一般式：ax2+bx+c=0（a≠0），a叫二次项系数，b
叫一次项系数，c叫常数项．
举一反三：
【变式1】已知关于 的一元二次方程 ．
求 的取值范围；
已知 是该方程的一个根，求 的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项
系数、一次项系数和常数项．
【答案】（1） ；（2）二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可；
（2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可．
解： ∵方程 是一元二次方程，
∴ ，
即 ；
把 代入方程 得： ，
解得： ，
代入方程得： ，
即 ，
故二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【点拨】考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解以及一元二次方程的一般形式，
一元二次方程 （ 是常数且a≠0）的 分别是二次项系数、一次
项系数、常数项．
【变式2】 把关于 的方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.
【答案】 二次项 ，二次项系数2；一次项 ，一次项系数 ；常
数项
【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可.
解：原方程整理得
∴
各项与各项的系数分别为：二次项 ，二次项系数2；一次项 ，一次项系数 ；
∴
常数项 .
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此
题的关键，注意：说系数带着前面的符号．
类型三、中考热点（一元二次方程的解和整体思想应用）
3、若 是方程 的一个根，求 的值．
【答案】 ．
【分析】把 代入原方程，得到关于 的一元二次方程， 2-5 +1=0，化简得到 +
=5,代入直接求值即可．
解：由题意得， ，则 ．
两边同除以 ，得 ，
所以 ，两边同时平方，得 ，
所以 ，所以 ．
【点拨】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设
中获取代数式 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
举一反三：
【变式1】已知关于 的一元二次方程 ．若方程有一个根的平方等于9，求 的值．
【答案】1或-5
【分析】根据题意，该方程的根可能是 或 ，分类讨论，把x的值代入原方程求出
m的值．
解：∵方程有一个根的平方等于9，
∴这个根可能是 或 ，
当 ，则 ，解得 ，
当 ，则 ，解得 ，
综上：m的值是1或-5．
【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．
【变式2】先化简，再求值： ，其中a是方程x2－x=6的根．
【答案】 ，
解：原式=
．
∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6．
∴原式= ．
先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，
代入原式进行计算即可（本题整体代入）．
类型四、知识拓展
5、已知m是方程x2−x−2=0的一个实数根，求代数式 的值．
【答案】4
解：∵m是方程x2−x−2=0的根，
∴m2−m−2=0，即m2−m=2，m2 −2=m．∴ ．
13．已知等腰直角 中， ， ，点 为 边上动点，连接 ，
过点 作 ，交 于点 ，拖动点 ．
（1）若 ，垂足为点 ，求证：
（2）若 且 ，求 的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据 ，结合题意，得到 ，从而得 ；
再结合等腰直角 中， ，得 ，从而得到 ，结
合勾股定理，即可完成证明；
（2）过D作 交AC于点G，结合题意，推导出等腰直角 ,得DG和AB
的关系式；通过 ，得 ，通过 外角性质，计算得
，从而得到 ，根据直角三角形 角所对直角边是斜边的一半，得
AD和AB的关系式，通过 中勾股定理计算，即可得到答案．
解：（1）∵
∴
∵
∴
∴
∵等腰直角 中，
∴
∵∴
∴ ，
∴
∴ ；
（2）如图，过D作 交AC于点G
设
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，即∴
∴
∵
∴
∴ 或 （舍去）
∴ 的长度为 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知识；解
题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性质，从而完成
求解．
举一反三：
【变式1】如图，在 中， ，从点 为圆心， 长为半径画弧交线段
于点 ，以点 为圆心 长为半径画弧交线段 于点 ，连结 ．
(1)若 ，求 的度数：
(2)设 ．
①请用含 的代数式表示 与 的长；
② 与 的长能同时是方程 的根吗？说明理由．
【答案】（1） ；（2）① ， ；②是，
理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，
即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即
可得到结论．解：（1）∵ ，
，
又 ，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又 ，
．
②∵
∴线段 的长是方程 的一个根．
若 与 的长同时是方程 的根，则 ，
即 ，
，
，
∴当 时， 与 的长同时是方程 的根．
【点拨】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角
形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
【变式2】若关于 的一元二次方程 有一个根为 ,且,求 的值.
【答案】0
解：试题分析：根据二次根式有意义的条件，可求出 的值，进而求出 的值，再将
与 的值代入一元二次方程，可求出 的值，最后将 的值代入代数式
即可.
解 ：根据二次根式有意义的条件，可得 ，解得 ，那么
.将 代入方程可得 ，所以 ，则将 的值代入可得
.
故本题的正确答案为0.
