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专题21.23 实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方
向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面
积的 ？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
2．在平面直角坐标系中，一次函数 的图像上有一点P，过点P分别向坐标
轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
3．如图，在 中， ，点 从点 开始沿 边向
点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
4．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳
螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时， MNB的面积恰好为24 cm2，
由题意可列方程( ) △
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
5．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的
速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到
达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
6．如图①，在矩形 中， ，对角线 、 相交于点 ，动点 由点
出发，沿 运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数关
系图像如图②所示，则 边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 ，两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C
以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从
A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的 ．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
9．如图，在 中， ， ， ，点P从点A开始沿AC 边
向点C以 的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以 的速度沿着射线CB匀
速移动，当 的面积等于 运动时间为
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
10．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD
方向平移，得到 A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等
于( ) △A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
二、填空题
11．如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点
后， 、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s
的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q
同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为
3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以
1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S DPQ＝28cm2．
△14．如图，在 中， ， ， ，现有动点P从点A
出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果
点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点
时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 ____s时， 的面积为16cm2
15．如图所示，在 中， ， ， ，点 从点 开
始沿 边向点 以 的速度运动，同时，另一点 从点 开始以 的速度沿 边
向点 运动______秒钟后， 的面积是 面积的 ．
16．如图，在等腰 中， ，动点P从点A出发沿折线
向点终B以 的速度运动， 于点Q．设运动时间为 ，当
_______s时， 的面积为 ．
17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以
1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当 MNB的面积为24cm2时运动的时间t为
______秒． △
18．如图，在 中， 点P、Q同时由A、B两点出
发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后 PCQ的面积
等于 ABC的一半？ △
△
19．如图，在Rt ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，
沿CA方向运动，速度△是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则
经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
20．一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系
式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为
________m.
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B
以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(08
2
∴t＝5不符合题意，舍去
2
所以运动1秒后，△PCQ的面积等于5cm2；
（2）根据题意可得：
，
解得 （舍去），所以运动 秒时△PCQ中PQ=6 cm；
（3）根据题意可得：
×（6−t）×2t＝10，
整理得： ，
，
∴方程无实数根，
即△PCQ的面积不能等于10cm2．
【点拨】本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是
解题的关键．
27．9秒或12秒
【分析】
设运动时间为 秒时，计算CQ，CP两点间的距离，结合勾股定理列一元二次方程，
解方程即可，最后作答．
解：设运动时间为 秒时， ， 两点相距 ，
根据题意，得 ，
解得 ， ，
答：运动时间为9秒或12秒时， ， 两点相距 ．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的解法，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
28．存在，2秒或4秒时面积为28cm2．
【分析】
可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出
几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设x秒后△PDQ面积为28cm2，
即S ﹣S ﹣S ﹣S =12×6﹣ ×12x﹣ （6﹣x）•2x﹣ ×6×（12﹣
ABCD ADP PBQ DCQ
△ △ △2x）=28，
解得x=2，x=4，
1 2
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题时，利用了“分割法”来求△PDQ的
面积的．
