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专题21.23 实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方
向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面
积的 ？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
2．在平面直角坐标系中，一次函数 的图像上有一点P，过点P分别向坐标
轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
3．如图，在 中， ，点 从点 开始沿 边向
点 以 的速度匀速移动，同时另一点 由 点开始以 的速度沿着射线 匀速
移动，当 的面积等于 时运动时间为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒或 秒
4．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳
螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时， MNB的面积恰好为24 cm2，
由题意可列方程( ) △
A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
5．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的
速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到
达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s
6．如图①，在矩形 中， ，对角线 、 相交于点 ，动点 由点
出发，沿 运动，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数关
系图像如图②所示，则 边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 ，两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C
以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从
A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的 ．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
9．如图，在 中， ， ， ，点P从点A开始沿AC 边
向点C以 的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以 的速度沿着射线CB匀
速移动，当 的面积等于 运动时间为
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
10．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD
方向平移，得到 A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等
于( ) △A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
二、填空题
11．如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 以
的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点
后， 、 两点同时停止运动，则__秒时， 的面积是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s
的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q
同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为
3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以
1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S DPQ＝28cm2．
△14．如图，在 中， ， ， ，现有动点P从点A
出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果
点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点
时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 ____s时， 的面积为16cm2
15．如图所示，在 中， ， ， ，点 从点 开
始沿 边向点 以 的速度运动，同时，另一点 从点 开始以 的速度沿 边
向点 运动______秒钟后， 的面积是 面积的 ．
16．如图，在等腰 中， ，动点P从点A出发沿折线
向点终B以 的速度运动， 于点Q．设运动时间为 ，当
_______s时， 的面积为 ．
17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以
1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当 MNB的面积为24cm2时运动的时间t为
______秒． △
18．如图，在 中， 点P、Q同时由A、B两点出
发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后 PCQ的面积
等于 ABC的一半？ △
△
19．如图，在Rt ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，
沿CA方向运动，速度△是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则
经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
20．一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系
式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为
________m.
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B
以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，
Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2?22．如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s
的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一
点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边
以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B
移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ？24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的
速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间
为xs．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 的值．
25．如图， 中， ，一动点P从C出发沿着 边
以 的速度运动，另一动点Q从A出发沿着 边以 的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 ．当t为几秒时， 的面积是 面积的 ？
26．如图， 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以每
秒1cm的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，当Q到
达点B时，点P同时停止运动．
（1）运动几秒时 的面积为5cm2？
（2）运动几秒时 中PQ=6 cm？
（3） 的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
27．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 方向运动，同时动点 从点 出发，沿 方向运动，点 ，点 的运动速度均为
．当运动时间为多少秒时，两点相距 ？
28．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以
1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间
为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S =28cm2？若存在，
DPQ
△
请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案
1．B
【分析】
根据题意，求得 的长，进而求得 ，根据 的面积是 面积的 ，
列出方程，解方程即可解决问题．
解： ，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴ ，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2 ， ， ，
的面积是 面积的 ，
，整理得 ，
解得 ，
当 s时， 的面积是 面积的 ．
故选择B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，
根据三角形面积列出方程是解题的关键．
2．A
【分析】
设点P的坐标为（ ， ），根据题意列出方程组，再根据 的取值不同，分 、
、 三种情况进行讨论，即可求解．
解：设点P的坐标为（ ， ），根据题意得： ，
∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论：
①当 时，则 ，
则 ，解得： ， （舍去）；
②当 时， ，
则 ，即 ，此时 ，此方程
无解；
③当 时， ，
则 ，即 ，解得： （舍去）， ；
故符合条件的P点坐标有2个，分别是（ ， ）、（ ， ）．
【点拨】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，
再分情况讨论是顺利解题的关键．
3．D
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
解：由题意 ， ，
，，
，
解得 或5，
或 时， 的面积为 ．
故选D．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把
问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
4．D
解：设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24,
(10－2x)(8－x)＝48,选D.
5．D
【分析】
设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，
DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时
AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x=2，x= ，
1 2
答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的
一元二次方程是解题的关键．
6．D
【分析】
由图②可知，当点 到达点 时， 的面积为6，此时 的高为 ，则，解得 ，而 ，由此即可求解．
解：由图②可知：当点 到达点 时， 的面积为6，此时 的高为 ，
∴ 的面积 ，
解得 ①，
而从图②还可知： ②，
由②得： ③，
将③代入①，得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
故选：D．
【点拨】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，
图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
7．C
【分析】
先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的
关系以及 ，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，
∵ ,
∴ ,
即 ,
∵
∴ ,
∵点 为 的中点，∴ ,
故选：C．
【点拨】本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次
方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，
能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
8．A
【分析】
由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S
四边
=S -S ，因此当四边形APQB是△ABC面积的 时，△PCQ是△ABC面积的 ，
形APQB ABC PCQ
△ △
即S = S ．
PCQ ABC
△ △
解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC＝ ＝6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的 ，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t ．
根据题意，知S ＝ S ，
PCQ ABC
△ △
∴ CQ×PC＝ × AC×BC，
即 （6﹣t）（8﹣2t）＝ × ×8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
【点拨】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，
锻炼了学生对所学知识的运用能力．
9．C
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．解：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴ •PC•CQ=300，∴ •（50﹣2t）•3t=300，解
得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是
把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
10．D
解：
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，
AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵ A′B′C′由 ABC沿着AD方向平移得到，
∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，△∴A′F∥EC△，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF
为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.
【点拨】遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是
何图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图
形，则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解.
11．2或3##3或2
【分析】
设t秒后 的面积是 ，则 ， ，列方程即可求解．
解：设运动时间为 秒，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
或3秒时， 的面积是 ．故答案为：2或3．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的
等量关系，列出方程．
12．1
【分析】
设P、Q运动的时间是 秒，根据已知条件得到 cm， cm ，则
cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
解：设P、Q运动的时间是 秒，则 cm， cm ， cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴ ，即 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题
意是解题的关键．
13．2或4
【分析】
由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-
2t）cm，根据S DPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案．
△
解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）
cm，
依题意得：12×6- ×12t- ×6（12-2t）- ×2t•（6-t）=28，
整理得：t2-6t+8=0，
解得：t=2，t=4．
1 2
故答案为：2或4．
【点拨】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出
一元二次方程是解题的关键．14．1或4##4或1
【分析】
若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列
出方程，解方程即可求解．
解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，
依题意得： （20-4t）×2t=16，
整理得：t2-5t+4=0，
解得： ，
答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2．
故答案为：1或4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
15．5
【分析】
由 得出 ，通过勾股定理计算得出BC，从而求解出 面积；同
理，求得 面积；最后通过 和 的比值关系，计算得到答案．
解：∵
∴
∵
∴
∴ ．
设 秒后 的面积是 面积的
∴
依题意得∴
∴ 或 （舍去）
∴ 秒后 的面积是 面积的 ．
故答案为：5
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
16． 或
【分析】
利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为 秒，分 和 两种情况结
合三角形面积分别计算．
解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ， ， ．
∵ 于点 ．
∴设当时间为 秒时， 的面积为 ．
当 时， ， ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）．
当 时， ， ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）．
综上所述：当 或 秒时， 的面积为 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二
次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
17．2【分析】
根据题意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根据面积公式得到方程即可求
解．
解：根据题意可知CN=t，AM=2t，
∴BN=8-t,BM=12-2t,
∵△MNB的面积为24cm2
∴ ×（12-2t）×（8-t）=24
解得x=2,x=12(舍去)
1 2
故答案为：2．
【点拨】此题只要一元二次方程的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式列出方
程求解．
18．2
【分析】
设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）
cm，此时△PCQ的面积为 ×（8−x）（6−x），令该式＝ ×AC×BC，得到方程即可求解.
解：设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝
（8−x）cm，
S ＝ ×AC•BC＝ ×6×8＝24，
ABC
△
即： ×（8−x）×（6−x）＝ ×24，
x2−14x＋24＝0，
（x−2）（x−12）＝0，
x＝12，x＝2；
1 2
∵x＜6，∴x＝12舍去，
1
所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．
故填：2.
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出
等量关系求解．
19．10【分析】
设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式
解答即可.
解：设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，
4x2-50x+x2=0，
5x(x-10)=0，
x=0 (舍去), x=10 (秒).
1 2
∴10秒后P、Q两点相距25cm.
故答案为10.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程
是解题的关键.
20． 1或2
【分析】
把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度.
解：当h=10m时,
10=15t－5t2，
∴t=1或t=2;
∵h＝15t－5t2= 可看出当 时,h最大为 .
故答案为:1或2; .
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用及对题意的理解能力,解析式有了,代入已知的
h就能求出t.给解析式配方就能求出最大值.
21．当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【分析】
当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结
合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，
依题意得 ×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，
解得t＝2，t＝4，
1 2
∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
22．运动时间为2s
【分析】
根据题意可知 cm， cm， cm， cm，根据
计算求出满足题意的解即可．
解：根据题意可知 cm， cm，
∴ cm， cm，
∵△MNB的面积为24cm2，
∴ ，
整理得： ，
解得：t＝2，t＝12（不合题意，舍去）
1 2
∴运动的时间为2s．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于表示出线段BN、BM的长
度．
23．5秒
【分析】
设x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ，在 ABC中，∠C=90°，根据面积关系，
△ △ △
可得方程，解方程即可求出答案．
解：设x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ，则CP=4xcm，CQ=3xcm，
△ △
由题意得： ×3x×4x= ×30×40× ，
解得：x=5，x=-5（不符合题意，舍去），
1 2答：5秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ．
△ △
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据 PCQ与 ABC的面积关系列出方程
是解决问题的关键． △ △
24．（1）x的值为2或 ；（2）当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【分析】
（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；
（2）直接利用S DPQ=S ABCD-S ADP-S CDQ-S BPQ，代入求出答案．
矩形
△ △ △ △
解：（1）由题意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm， BQ=2x(cm)，
∵ ,
∴ ，
解得： ，
∴x的值为2或 ；
（2）由题意可得：S DPQ=S ABCD-S ADP-S CDQ-S BPQ
矩形
△ △ △ △
=AB•BC- AD•AP- CD•CQ- BP•BQ
=6×12- ×12x- ×6（12-2x）- （6-x）•2x
=x2-6x+36=31，
解得：x=1，x=5，
1 2
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正确表示出三角形的各边
长是解题关键．
25．2
【分析】
根据题意，求得 的长，进而求得 ，根据 的面积是 面积的 ，
列出方程，解方程即可解决问题．
解：依题意，
的面积是 面积的
解得
答：当 s时， 的面积是 面积的 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键．
26．（1）1；（2） ；（3）不能，理由见分析．
【分析】
（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，根据题意可直接列出方程进行求解；
（2）由（1）及三角形面积可直接列方程进行求解即可；
（3）根据题意列出方程，然后由一元二次方程根的判别式进行求解即可．
解：（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，
根据题意得：
CP＝6−t，QC＝2t，
则△PCQ的面积是： CQ•CP＝ ×（6−t）×2t＝5，
解得t＝1，t＝5，
1 2
∵当t＝5时，QC=2×5=10>8
2
∴t＝5不符合题意，舍去
2
所以运动1秒后，△PCQ的面积等于5cm2；
（2）根据题意可得：
，
解得 （舍去），所以运动 秒时△PCQ中PQ=6 cm；
（3）根据题意可得：
×（6−t）×2t＝10，
整理得： ，
，
∴方程无实数根，
即△PCQ的面积不能等于10cm2．
【点拨】本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是
解题的关键．
27．9秒或12秒
【分析】
设运动时间为 秒时，计算CQ，CP两点间的距离，结合勾股定理列一元二次方程，
解方程即可，最后作答．
解：设运动时间为 秒时， ， 两点相距 ，
根据题意，得 ，
解得 ， ，
答：运动时间为9秒或12秒时， ， 两点相距 ．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的解法，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
28．存在，2秒或4秒时面积为28cm2．
【分析】
可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出
几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设x秒后△PDQ面积为28cm2，
即S ﹣S ﹣S ﹣S =12×6﹣ ×12x﹣ （6﹣x）•2x﹣ ×6×（12﹣
ABCD ADP PBQ DCQ
△ △ △2x）=28，
解得x=2，x=4，
1 2
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题时，利用了“分割法”来求△PDQ的
面积的．
