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专题 22.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标；
2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观
察得到函数的性质；
【要点梳理】
【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实
际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物
线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象
（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对
称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描
出的图象越精准。通常情况下，画图一般选取 9个点，草图通常取5或7个点，但必须画
出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几
个点，一般选7个点，再进行描点。连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，
不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
【知识点2】 二次函数y=ax2(a≠0)的性质
（1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。我们把二次函数y=ax2（a≠0）的
图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。
（2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0) 的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴
上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；
当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在 x轴下方
（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减
大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；
当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，
函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。（5）当a的绝对值越大，图象越靠近y轴，抛物线开口越窄；
当a的绝对值越小，图象越远离y轴，抛物线开口越宽。
【知识点3】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质列表如下：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0
x增大而增大； 时，
x<0时，y随 y =0
最小
x增大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0
x增大而减小； 时，
x<0时，y随 y =0
最大
x增大而增大.
【典型例题】
类型一、
1．通过列表、描点、连线的方法画函数y= 的图象．
【答案】见分析
【分析】
首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．
解：列表得：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
描点、连线．【点拨】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图
像的基本步骤，是求解本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
【答案】（1）函数图象见分析；（2） ；1；大；0．
【分析】
（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光
滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
解：（1）根据图象的作法，找出 ， ， 三个点坐标，对称轴为 ，
顶点坐标为： ，用光滑的曲线连接即可；（2）根据函数图象可得：当 时，y随x增大而减小；
当 时， ，即当 时，y有最大值，最大值为0，
故答案为： ；1；大；0．
【点拨】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的
基本性质是解题关键．
【变式2】 画出二次函数y＝x2的图象．
【答案】图像见分析.
【分析】
建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．
解：函数y＝x2的图象如图所示：
【点拨】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握
并灵活运用．
类型二、
2．一个二次函数 ．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？
【答案】（1）k=2；（2）14【分析】
（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．
解：（1）依题意有 ，
解得：k=2，
∴k的值为2；
（2）把k=2代入函数解析式中得： ，
当x=3时，y=14，
∴y的值为14．
【点拨】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数
的基本定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知 是 关于 的二次函数，且函数的图象经过
点 ，试确定 的值．
【答案】 ．
【分析】把 代入二次函数 求得 即可．
解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
整理得： ，
解得： ， ，
，
解得： ，
．
【点拨】此题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，二次函数图象
上的点都适合解析式，反之也是成立的， 熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义是解题关键．
【变式2】已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求m的值；
（2）画出函数的图象．
【答案】（1）m=1；（2）见分析
【分析】
（1）根据二次函数的定义以及性质，求解即可；
（2）描点法画出函数的图像即可．
解：（1）∵ 为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴
∴
（2）由（1）得这个二次函数解析式为 ，自变量x的取值范围是全体实数，
自变量
描点连线，如图所示．
【点拨】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌
握二次函数的定义以及性质．
类型三、3、分别写出抛物线 与 的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】抛物线y＝5x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，0）；抛物线y＝－
x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）．
【分析】利用二次函数的性质，得出开口方向，对称轴和顶点坐标即可．
解：抛物线y＝5x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是（0，0）；抛物线y＝－ x2的
开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛
物线的顶点式：y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k）．
举一反三：
【变式1】函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）a=b=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见分析
试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a
的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开
口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
解：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：【变式2】函数y =ax²(a≠0)与直线y =2x－3的图像交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y =ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【答案】(1) a=-1，b=-1；（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
解：（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3中可求b，再代入y=ax2中可求a；
（2）根据a的符号判断y=ax2开口方向，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵y=-x2中，a=-1，抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
【点拨】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的图象；3．二次函数的性质．
类型四、
4、根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增
大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线 的形状相同；
（4）函数 的图象是开口向上的抛物线．
【答案】（1）a＜2；（2） ；（3） ， ；（4）a＝1
【分析】
（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y
随x增大而增大，可得答案；（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反
数；
（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
(2)由题意得，3a-2＜0，解得 ；
(3)由题意得， ，解得 ， ；
(4)由题意得， ，
解得a＝-2，a＝1，但a＞0，
1 2
∴a＝1．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最
小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.
举一反三：
【变式1】（1）画出函数 的图象．
（2）从图象中观察，当 时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当
时呢？
【答案】（1）见分析；（2） ，y随x增大而减小； ，y随x增大而增大
【分析】
(1)根据画函数图象的方法可以得到函数y=x2的图象；
(2)由(1) 中的函数图象可以得到，当x<0时和x<0时，y随x如何变化．
解：（1）图象如下图：（2）根据图象可知： ，y随x增大而减小； ，y随x增大而增大．
【点拨】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确画函数的图象的方法，利用数
形结合的思想解答问题．
【变式2】已知函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的
增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的
增大而减小？
【答案】（1） ；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增
大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】
（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k
的值；
（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满
足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；
（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数
单调区间．
解：（1）∵函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，
∴k满足 ，且k﹣2≠0，
∴解得： ；
（2）∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，
∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，
∴图象开口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二
次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析
式，熟练掌握二次函数图像的性质．
类型五、
5、如图，过点 的直线 与抛物线 交于 ，
两点．
（1）求b值； （2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据已知条件 ，可得结果；
（2）把一次函数与二次函数联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理计
算即可；
解：（1）∵直线 过点 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴直线的解析式为 ，
由 得 ，∴ ．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数的结合，利用韦达定理进行计算是解题
的关键．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，若抛物线 与直线 交于点 和点
，其中 ，点 为原点，求 的面积.
【答案】 .
【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线 与y轴的交点坐标，再根据
三角形的面积公式即可得出答案．
解：由题意得：
解得： 或
∵点 和点 ，其中
∴ ，
直线 与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
【点拨】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．
