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专题 22.9 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、
1．已知二次函数 ，如果当 时， ，则下列说
法正确的是（ ）
A． 有最大值，也有最小值 B． 有最大值，没有最小值
C． 没有最大值，有最小值 D． 没有最大值，也没有最小值
2．二次函数 在 内的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．－29 D．－30
3．若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，则它们
（ ）
A．都关于 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
4．函数 与 的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
类型二、
5．下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
6．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．有最低点 D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
7．抛物线y＝ ，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是（ ）A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．都有最低点
8．下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是( )
A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为(－1，2)
C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D．在对称轴的左侧，y随x的增大而增
大
类型三、
9．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点
E．设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
B．C． D．
12．抛物线y=x2+1的图象大致是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
类型四、
13．若一条抛物线与 的形状相同且开口向下，顶点坐标为 ，则这条抛
物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．二次函数 的图象与 的图象形状相同,开口方向相反,且经过点,则该二次函数的解析式为( )
A． B． C． D．
15．与抛物线 顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函
数是（ ）
A． B． C． D．
16．与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数
表达式为（ ）
A．y=﹣x2 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2+1
类型五、
17．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
18．如图，已知抛物线y=﹣2x2+2，直线y=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值
1 2
分别为y、y．若y≠y，取y、y 中的较小值记为M；若y=y，记M=y =y．例如：当
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x=1时，y=0，y=4，y＜y，此时M=0．下列判断：
1 2 1 2
①当x＞0时，y＞y； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
1 2
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是 或 ．
其中正确的是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．③④
19．关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．顶点是坐标原点 B．对称轴是直线x=2
C．有最高点 D．经过坐标原点
20．如图所示是二次函数y= 的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x
轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A．4 B． C．2π D．8
二、填空题
类型一、
21．二次函数y＝ 的图象开口向上，则k＝___．
22．二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____．
23．二次函数y=3x2+3的最小值是__________．
24．二次函数 的图象的对称轴为________．
类型二、
25．已知二次函数 ，如果 随 的增大而增大，那么 的取值范围是
__________．
26．从抛物线y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____．27．设A（﹣1，y），B（0，y），C（2，y）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则
1 2 3
y，y，y 由小到大关系为_____．
1 2 3
28．记实数 ，中的最小值为 ，例如 ，当 取任意实数时，
则 的最大值为___________．
类型三、
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平
行的直线交抛物线 于点B，C，则BC的长为________．
30．抛物线 经过点 ，那么 ________．
31．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛
物线交于A、B两点，则 AOB的面积为____.
△
32．我们把横、纵坐标都为整数的点称为格点
（1）如图，直线 上的格点坐标为_______；
（2）若抛物线 与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，则
c的取值范围是_______________．类型四、
33．已知一条抛物线经过点 ，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达
式可以是_________（写出一个即可）．
34．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结
AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的
运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________.
35．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个
二次函数的解析式可以是______．
36．某同学用描点法y=ax2+bx+c的图象时，列出了表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的y值是_______．
类型五、
37．如图，已知P是函数y 1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x
轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
38．在线段 上取点 ，分别以 、 为边在 的同一侧构造正方形 和
正方形 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最
小值为______．
39．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别
是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，则图中
CD的长为__________．
40．如图，已知抛物线 ，直线 ，当 任取一值时， 对应的函
数值分别 为 ，若 ，取 中的较小值记为 ；若 ，记 ，例
如：当 时， ，此时 ，下列判断：
①当 时， ；
②当 时， 值越大， 值越小；③使得 大于2的 值不存在；
④使得 的 值是 或 ．
其中正确的是_______________________．
三、解答题
41．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
， ， ．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标．
42．探究函数 的图象与性质
(1)函数 的自变量x的取值范围是___；
(2)下列四个函数图象中,函数 的图象大致是___；A． B．
C． D．
(3)对于函数 ，求当 时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵x>0
∴
=
∵
∴y=____.
【拓展应用】
(4)若函数 ，求y的取值范围.参考答案
1．C
【分析】
根据二次函数的性质，表示出 、 的值，即可求解．
解： 二次函数 ．
开口向上，对称轴为 ，
当 时， 随 增大而增大．
．
．即 是 的一次函数．
，
一次函数上升趋势．
．
有最小值，没有最大值．
故选：C．【点拨】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出 的代数值，
从而转化为一次函数的性质．比较综合．
2．C
【分析】
根据图象，直接代入计算即可解答
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y =-2×16+3=-29．
最小值
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种
方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
3．A
解：因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，
所以都关于 轴对称，故选项A正确；
抛物线 ， 的图象开口向上，抛物线 的图象开口向
下，故选项B错误；
抛物线 ， 的图象不经过原点，故选项C错误；
因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通
过平移其它二次函数的图象，故D选项错误；
故选A.
4．C
【分析】
根据二次函数的性质得出，a决定开口大小以及方向，再利用顶点坐标位置得出不同．
解：y= x2+1与y= x2的图象顶点坐标为：(0,1)，(0,0)，故图象的不同之处是顶点坐标位置.
故答案选：C.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
5．B
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，从
而可以解答本题．
解：∵二次函数y=x2-1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴是y轴，故选项B正确；
当x=0时，y=-1，故选项C错误；
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特
征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，
从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x )2+ ，
∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝ ，故选项B错误；
当x＝ 时取得最大值 ，该函数有最高点，故选项C错误；
在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关
键．
7．B
【分析】根据二次函数 的性质逐个判断即可.
解：抛物线y＝ ，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是对称轴都是y轴，
故选项B正确；
y＝ 的开口向上，y＝﹣2018x2+2019的开口向下，y＝2018x2的开口向上，
故选项A错误；
在y＝ 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，在y＝﹣2018x2+2019中，当
x＞0时，y随x的增大而减小，在y＝2018x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项
C错误；
抛物线y＝ 和y＝2018x2有最低点，抛物线y＝﹣2018x2+2019有最高点，
故选项D错误；
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．
8．D
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
解：∵y=−x2+2，
∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2)，在对称轴的右侧，y随x的增
大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴A、B、C都不正确，D正确，
故选D.
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质.
9．D
【分析】
先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出
结论．
解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐
标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点拨】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象
的性质是解此题的关键．
10．C
【分析】
利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的
位置进行判断．
解：若函数y=mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口
向上，对称轴x=- ＞0，在y轴的右侧；
若函数y=mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y=mx2-nx的图象开口
向下，对称轴x=- ＜0，在y轴的左侧；
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
11．D
【分析】
根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又
PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，又因为BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，分别
用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一个关于x和y的
关系式，化简即可．
解：连接DE，△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；
又因为PE为∠BPC′的角平分线，
可推知∠EPD=90°，
已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，
即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；
在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，
在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，
即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，
化简得：y=- x2+ x(0 )，图象是一段开口向下的抛物线；
结合题意，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解
题的关键．
12．C
解：∵a=1>0，∴抛物线开口向上.
∵二次函数表达式为y=x2+1，∴顶点坐标为（0，1），对称轴是直线x=0，即y
轴.
故选C.
【点拨】此题考查了二次函数的图象，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象是顶点坐标为
（0，c），对称轴是y轴的抛物线，a>时，开口向上，a<0时，开口向下.据此判断即可.
13．C
【分析】
根据抛物线与 的形状相同且开口向下，可知 ；再由顶点坐标为（0，-
2）可得抛物线解析式为 .解：∵抛物线与 的形状相同且开口向下，
∴
∵顶点坐标为（0，-2）
∴抛物线解析式为
故答案是：C.
【点拨】本题考查了 中a的意义及根据顶点坐标来写解析式，熟练掌
握相关性质是解题的关键.
14．D
【分析】
根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把
点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.
解：∵二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，
∴a=−2，
∴二次函数是y=−2x2+c，
∵二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，
∴1=−2+c，
∴c=3，
∴抛该二次函数的解析式为y=−2x2+3；
故选D.
【点拨】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解.
15．B
【分析】
与抛物线y＝− x2−1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物
线y＝− x2−1只有二次项系数不同．
解：与抛物线y＝− x2−1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝− x2−1只有二次项系数不同．
即y= x2-1．
故选B．
【点拨】考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是运用了二次项系数确定
函数开口方向．
16．D
【分析】
与抛物线y=-x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y=-
x2+1只有二次项系数互为相反数．
解：与抛物线y=-x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物
线y=-x2+1只有二次项系数互为相反数．
即y=x2+1，
故选D．
【点拨】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方
向．
17．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的
对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
解：①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x=1，x=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和
1 2
点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴 =0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
18．D解：∵①当x＞0时，利用函数图象可以得出y＞y；∴此选项错误；
2 1
∵抛物线y=﹣2x2+2，直线y=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为
1 2
y、y．若y≠y，取y、y 中的较小值记为M；
1 2 1 2 1 2
∴②当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴此选项错误；
∵抛物线y=﹣2x2+2，直线y=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，
1 2
M=2，抛物线y=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
1
∴③使得M大于2的x值不存在，此选项正确；
∵使得M=1时，可能是y=﹣2x2+2=1，解得：x= ，x=﹣ ，
1 1 2
当y=2x+2=1，解得：x=﹣ ，
2
由图象可得出：当x= ＞0，此时对应y=M，
2
∵抛物线y=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
1
∴当﹣1＜x＜0，此时对应y=M，
1
故M=1时，x= ，x=﹣ ，
1
故④使得M=1的x值是﹣ 或 ．此选项正确；
故正确的有：③④．
故选D．
19．D
解：∵ ，
，
，
∴顶点坐标是：（1，-1），对称轴是直线x=1，
∵a=1＞0，∴开口向上，
有最小值，∵当x=0时， ，
∴图象经过坐标原点，
故选D．
【点拨】先用配方法把二次函数化成顶点式，就能判断选项A、B的正确与否，由a
的正负判断有最大值和最小值，由（0，0）是否满足 判断D的正确与否．
20．B
解：函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点构成
的三角形面积S=4，则以半径为2的半圆的面积为S=π× ×22=2π，则阴影部分的面积S有：
1 2
4＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选 B
21．
【分析】
由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得 ，由此求解即可．
解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得 ，
∵图像的开口向上，
∴ 即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，
a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键．
22．-2
【分析】
根据二次函数的性质即可求得最值
解：由于二次函数y=-3x2-2的图象是抛物线，开口向下，对称轴为y轴， 所以当x=0
时，函数取得最大值为-2，故答案为-2.
【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解
题的关键．
23．3．
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．
解：∵y=3x2+3=3（x+0）2+3，
∴顶点坐标为（0，3）．
∴该函数的最小值是3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关
键．
24． 轴或直线
【分析】
根据 计算即可；
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为 ；
故答案是： 轴或直线 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数对称轴的求解，准确计算是解题的关键．
25．
【分析】
由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a
有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
26．﹣3≤y≤5解：试题分析：可先求得二次函数的对称轴为x=0，在对称轴两侧分别求其最值，可
求得答案．
解：∵y=2x2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x=0时，
y有最小值，最小值为﹣3，
当﹣1≤x＜0时，可知当x=﹣1时，y有最大值，最大值为﹣1，
当0≤x≤2时，可知当x=2时，y有最大值，最大值为5，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5，
故答案为﹣3≤y≤5．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
27．y＜y＜y
3 1 2
【分析】
先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通
过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵而B（0，y）在对称轴上，A（﹣1，y）到对称轴的距离比C（2，y）近，
2 1 3
∴y＜y＜y．
3 1 2
故答案为：y＜y＜y．
3 1 2
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
28．3
【分析】
在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大
值．
解：画出函数 和 的图象，如图：由图可知：当x＝1时，函数有最大值，最大值为3，
所以 的最大值为3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结
合容易求解．
29．6
解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时， ，解得x=±3．
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．
∴BC=3﹣（﹣3）=6．
30．1
【分析】
把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可．
解：∵抛物线 经过点 ，
∴6=4a+2，
解得a=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式
是解题的关键．
31．2
解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S = ×2×2=2，
OAB
△
故答案为2．
32．
【分析】
（1）令 即可求出格点坐标；
（2）画出抛物线 的大致图像，求出取值范围即可得出答案．
解：（1） 横、纵坐标都为整数的点称为格点，
由图可知，当 时， ，
直线 上的格点坐标为 ，
故答案为： ；
（2） 抛物线 与x轴所围成的封闭图形（不含边界）中仅有一个格点，
如图所示：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数性质以及二次函数性质，掌握格点的定义是解决本题的关
键．
33．y=-x2+1
【分析】首先根据在对称轴右侧部分是下降确定其开口方向，然后根据经过的点的坐标确定解
析式即可．
解：∵在对称轴右侧部分是下降，
∴设抛物线的解析式可以为y=-x2+b，
∵经过点（0，1），
∴解析式可以是y=-x2+1，
故答案为：y=-x2+1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解
题的关键，即根据增减性可以确定出开口方向进而确定出a的符号．
34． 抛物线 y= x2+1
【分析】
当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形AOBC
是矩形，由 P在AB的垂直平分线上可得PA=PB，进而可用y的代数式表示出PC、AP，
在Rt APC中根据勾股定理即可得出y与x的关系式；当点B在x轴的负半轴上时，用同
样的方△法求解即可.
解：当点B在x轴的正半轴上时，如图1，连接PA，作AC⊥PB于点C， 则四边形
AOBC是矩形，
∴AC=OB=x，BC=OA=2，
∵P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=y，
在Rt APC中，AC2+PC2=AP2，∴x2+(y−2)2=y2，整理得y= x2+1；
△
当点B在x轴的负半轴上时，如图2，同理可得y ，x满足的关系式是：y=
x2+1，
∴y ，x满足的关系式是：y= x2+1.
故答案为：抛物线、y= x2+1.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和求解图形中的二次函数关系
式，难度不大，构建直角三角形、熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题关键.
35． （答案不唯一）
【分析】
根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.
解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是
解题的关键.
36．﹣5．
根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得， ，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故答案为﹣5．【点拨】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．
37．2
【分析】
设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，因点P在x轴上方，所以 x2-1>0，由勾股
定理求得OP= x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
解：设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0,
∴PH=| x2-1|= x2-1，
在Rt OHP中，由勾股定理，得
△
OP2=OH2+PH2=x2+( x2-1)2=( x2+1)2，
∴OP= x2+1，
∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是
解题的关键．
38．4
【分析】
过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x
的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ= = = ，则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是
表示出PQ的长．
39．
【分析】
根据二次函数的解析式可知对称轴为y轴，分别令x=0，y=0，可得出A、B、D的坐
标，可得OD、OA、OB的长，根据AB为直径，可求出OC的长，进而可求出CD的长，
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为y轴，
当x=0时，y= ，
当y=0时， =0，
解得：x=1，x=-1，
1 2
∴A（-1，0），B（1，0），D（0， ），
∴OA=OB=1，OD= ，
∵AB为直径，y轴为对称轴，
∴原点O为圆心，
∴OC=OA=1，
∴CD=OC+OD=1+ = ．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数图象与坐标轴交点问题，正确求出A、B、D三点坐标是解题关键．
40．③④
【分析】
根据二次函数和一次函数的图像与性质即可得出答案.
解：由题可得，函数图像如图所示
∴当-10时，y>0，
当x<0时，y<0，故选项B. D错误，
∵x≠0，
∴选项A错误，
故选C；
(3)∵x>0
∴
∵ ，
∴y 2，
故答⩾案为2，2；
(4) =x+5+ =(x+ )+5 7，
⩾
故答案为y 7.
【点拨】此⩾题考查二次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象，
解题关键在于掌握运算法则利用二次函数的性质进行解答.
