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专题 22.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（巩固篇)
（专项练习）
一、单选题
1．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（
）
A． B． C． D．
2．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥－1 B．a≤－1 C．a>－1 D．a<－1
3．抛物线 与y轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
4．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象
上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
5．已知二次函数 有最小值，则有（ ）
A．a < 0 B．a > 0 C．a <-2 D．a > -2
6．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小
值为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
7．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），
若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．已知 是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝( )
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
9．抛物线 ， ， 的图象开口最大的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝ x2；③y＝ x2的
图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③
11．如图，正方形三个顶点的坐标依次为 ， ， ．若抛物线 的图象
与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；
④ ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
13．抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
14．关于二次函数 图象，下列叙述正确的有（ ）
①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；
③它的图象经过 ； ④它的图象开口向上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，则它们
（ ）
A．都关于 轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
16．下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线 的顶点是原点 B．抛物线 的开口向下
C．抛物线 的开口向上 D．抛物线 的顶点是抛物线的最低点17．已知： ，且点 都在函数 的图像上，那
么 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
18．已知某函数经过点 ， ， ，且 ，则这个函数的
表达式可以是（ ）
A． B． C． D．
19．已知二次函数y=(m+2) ，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为
（ ）
A． B． C． D．2
20．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞
10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该
抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线 ，与二次函数 ，
分别交于A、B和C、D，若 ，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．22．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横
坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
23．如图，分别过点P(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数 (x＞0)
n
的图象于点A，交直线 (x＞0)于点B ，则 的值为（ ）
n n
A． B．2 C． D．
24．如图，菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，垂直于AB的直线l从
点A出发，以1cm/s的速度向右移动到点C停止若直线l的移动时间为x（s），直线l扫过
菱形ABCD的面积为y（cm2），则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
25．抛物线 的图像一定经过__________象限．
26．已知点 在二次函数 的图象上，那么n的值为______．
27．抛物线y＝ax2经过点（2，﹣3），则a＝___．
28．若抛物线y=ax2经过点A ( ，－9)，则其解析式为_______________．
29．若 是二次函数，且图象的开囗向下，则m的值为______．
30．二次函数 的图象与 轴交于（2，0），则b=_________．
31．如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线
与线段AB有交点，则 的取值范围是______.32．若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
33．在同一个平面直角坐标系 中，二次函数 ， ， 的图象
如图所示，则 的大小关系为___________（用“ ”连接）．
34．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝
cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．
35．抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是
________．
36．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a，a，a，a 的大小关系是_____．
1 2 3 4
（请用“＞”连接排序）37．抛物线 沿着 轴正方向看，在 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下
降”）
38．若二次函数 有最小值，则m=________.
39．若抛物线 的开口向下，则 ________，对称轴是________．
40．函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.
41．在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，如果二次函数 的
图象与线段 有交点，那么a的取值范围为__________．
42．已知 ，二次函数 的图象上有三个点 ，请比
较 的大小：___________．（用“＜”连接）
43．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x，y），N（x，y）两
1 1 2 2
点，若﹣4＜x＜﹣2，0＜x＜2，则y ______y ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
1 2 1 2
44．若点 、 、 都在二次函数 的图象上，则 、
、 从小到大的关系是__________．（用“ ”表示）.
45．如图，在平面直角坐标系中，点A( ，2)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂
线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上．以CD为边在抛物线内作正方形CDFE，点E，F分别在抛物线上，则线段CD的长为_______．
46．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y＝x2（x≥0）与y＝ （x≥0）于B、
1 2
C两点，过点C作y轴的平行线交y 于点D，直线DE∥AC，交y 于点E，则 ＝
1 2
_______________．
47．如图，点 是 轴正半轴上一点，直线 平行于 轴，分别交抛物线
与 于 两点，过点 作 轴的平行线交 的图像于点 ，直
线 ，交 的图像于点 ，则 _____．
48．如图，正方形OABC的边长为 ，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛
物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为__．三、解答题
49．如图，直线l过x轴上一点 ，且与抛物线 相交于B、C两点．B点坐
标为 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 ，求点D的坐标．
50．如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，与 轴于点 ，其中点
的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 于点 ， ．试说明点 在抛物线上．51．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增
大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线 的形状相同；
（4）函数 的图象是开口向上的抛物线．
52．已知函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的
增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的
增大而减小？参考答案
1．C
【分析】
本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相
比较看是否一致．
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点
（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点
（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握
二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．
2．C
【分析】
解：∵若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，
∴其图象开口应该向上，
∴a+1>0
，解得a>-1.
故选C.
3．C
【分析】
令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．
解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函
数与坐标轴的交点是解题的关键．
4．B
【分析】
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离对称轴的远近
得到a、b、c的大小关系．
解：∵二次函数y＝mx2（m＞0）
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
而抛物线开口向上，
∴b＜a＜c；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，找到对称轴，熟悉函数的增减性是解决本题的关
键.
5．D
【分析】
根据二次函数有最小值可知抛物线开口向上，根据二次函数的性质列不等式求出a的
取值范围即可得答案.
解：∵二次函数 有最小值，
∴图象的开口向上，
∴a+2>0，
解得：a>-2，
故选D.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数y=ax2+bx+x+c(a≠0)，当a>0时，
图象的开口向上，y有最小值，当a<0时，图象的开口向下，y有最大值.熟练掌握二次函数
的性质是解题关键.
6．D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得
出t的取值范围，根据根与系数的关系可得出a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，将其代入（a+2）
（b+2）＝ab+2（a+b）+4中可用含t的代数式表示出（a+2）（b+2），再利用二次函数的
性质即可解决最值问题.
解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有实数根，
∴△＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）≥0，
∴t≥2.
∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，
∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，
∴（a+2）（b+2）＝ab+2a+2b+4＝ab+2（a+b）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝
（t+1）2+7.
∵1＞0，t≥2，
∴当t≥2时，（a+2）（b+2）的值随t的增大而增大，
∴当t＝2时，（a+2）（b+2）取得最小值，最小值＝（2+1）2+7＝16.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了根的判别式、二次函数的性质、根与系数的关系，准确计算
是解题的关键．
7．A
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a= ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．A
【分析】
根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可
能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解
题的关键．
9．A
【分析】
先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．
解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，-3），（1，1），
∵| |＜|1|＜|-3|，
∴抛物线 开口最大．
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的
绝对值越小，函数图象的开口越大．
10．B
【分析】
抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
解：∵3> > ,
∴开口最大对应函数是②，其次是③，开口最小对应函数是①,即从里到外的依次
是①③②.
故选B.
【点拨】考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开
口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
11．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解
决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3，
当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a= ，
观察图象可知： ，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．A
解：由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，
图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
【点拨】（1）二次函数 的图象的开口方向由“ 的符号”确定，当
时，图象的开口向上，当 时，图象的开口向下；（2）二次函数 的
图象的开口大小由 的大小确定，当 越大时，图象的开口越小.
13．B
【分析】
根据二次函数的性质即可判断．
解：抛物线 的开口向上，对称轴为 轴，有最低点；
抛物线 开口向下，对称轴为 轴，有最高点；
故抛物线 与 相同的性质是对称轴都是 轴，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14．A【分析】
根据二次函数的图象和性质逐个判断即可．
解：二次函数 图象是抛物线；①正确；
函数 的图像有最低点；②正确；
函数 的图像经过点（0，0）；③正确；
函数 的图像开口向上；④正确；
∴正确的选项有4个；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数的最值等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
15．A
解：因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，
所以都关于 轴对称，故选项A正确；
抛物线 ， 的图象开口向上，抛物线 的图象开口向
下，故选项B错误；
抛物线 ， 的图象不经过原点，故选项C错误；
因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通
过平移其它二次函数的图象，故D选项错误；
故选A.
16．A
【分析】
根据二次函数的性质直接作出选择．
解：A.抛物线 的顶点是原点，正确；
B.抛物线 的开口不确定，因为a不知是正是负；C.抛物线 的开口不确定，因为a不知是正是负；
D.抛物线 的顶点不确定，因为a不知是正是负，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及
开口方向等知识，此题难度不大．
17．B
【分析】
计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可．
解：∵点 都在函数 的图像上，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0，
∴ ＞0， ＜0，
∴ ， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关
键．
18．B
【分析】
先假设选取各函数，代入自变量求出 的值，比较大小即可得出答案．
解： A. 这个函数的表达式可以是 时， ，
∴ ，故选项A不合题意；
B. 这个函数的表达式可以是 时， ，∴ ，故选项B合题意；
C. 这个函数的表达式可以是 时， ，
∴ ，故选项C不合题意；
D. 这个函数的表达式可以是 时， ，
∴ ，故选项D不合题意．
故选择B．
【点拨】本题考查利用函数值的大小变化选取函数，函数的性质，掌握函数值的大小
变化和函数的性质是解题关键．
19．A
【分析】
根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m值．
解：根据题意可知， ，
解得， ，
∵二次函数y=(m+2) ，当x<0时，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2，
综上，m= ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方
程，依据增减性确定二次项系数的符号．
20．C
【分析】
直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>10时，y随x的增大而减少，故该项正确；③当-10，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
【点拨】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题
关键.
33． ．【分析】
抛物线的开口方向由a的符号决定，开口大小由 的绝对值决定，绝对值越大，开口
越小．
解：∵二次函数y=ax2的开口最大，二次函数y=ax2的开口最小，
1 1 3 3
而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值
决定是解题的关键．
34．a＞b＞d＞c
【分析】
设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，
d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点拨】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
35．a＞b＞c
解：抛物线图象开口方向由a得正负决定，a为正开口向上，a为负开口向下.抛物线图
象开口的大小由 决定， 越大，开口越小， 越小，开口越大.所以根据图象可以判断
a 0，b 0,c 0, ,所以b c.故答案为a＞b＞c.
> < < < >
36．a＞a＞a＞a
1 2 3 4
【分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝ax2的开口小于②y＝ax2的开口，则a＞a＞0，
1 2 1 2
③y＝ax2的开口大于④y＝ax2的开口，开口向下，则a＜a＜0，
3 4 4 3
故a＞a＞a＞a．
1 2 3 4
故答案是：a＞a＞a＞a
1 2 3 4.
【点拨】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．37．上升
【分析】
根据二次函数的增减性即可解答．
解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大
∴在 轴的左侧部分是上升的．
故填：上升．
【点拨】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的
关键．
38．1
【分析】
根据二次函数的性质和定义，即可求出m的值.
解：由 是二次函数，且函数有最小值，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故答案为1.
【点拨】本题考查了二次函数的性质和定义，解题的关键是掌握性质，正确求出m.
39． -1, y轴
【分析】
抛物线的解析式是二次函数，故m2-m=2，又抛物线开口向下，故二次项系数m-2＜
0，由此可求m的值，并且根据二次函数的性质求出对称轴．
解：依题意，得m2-m=2，
解得：m=-1或2，
∵抛物线开口向下，
∴二次项系数m-2＜0，
即m=-1，
∴y=-3x2，对称轴为y轴．
故答案是：-1，y轴．
【点拨】考查了二次函数的定义及性质，图象的开口方向与二次项系数符号的关系，
需要熟练掌握．40． y轴 （0，0）
解：函数 的对称轴是“y轴”，顶点坐标是：（0，0）.
41．
【分析】
线段PQ在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，
当 经过点 求出a的最小值；当 经过点 求出a的最大值．
解：由题意可知：线段PQ在第一象限，当a＜0时开口向下，显然 的图象与线
段 没有交点；
当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知：
当 经过点 时，a有最小值，此时 ，解出 ，
当 经过点 时，a有最大值，此时 ，解出 ，
故a的取值范围为： ．
【点拨】本题考查抛物线的性质：a的正负决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的
开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．
42． y< y < y
2 1 3
【分析】
二次函数的抛物线开口向上，对称轴为y轴，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判
断点的纵坐标的大小．
解：∵二次函数 （a＜0），
∴-a>0，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．
∵ 为二次函数y=ax2-3ax+c（a＜0）的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴y轴的距离远近顺序为：（3，y）、（-2，y）、（1，y），
3 1 2
∴三点纵坐标的大小关系为：y< y < y ．
2 1 3
故答案为：y< y < y ．
2 1 3【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判
断点的纵坐标的大小．
43．＞
【分析】
根据二次函数的性质即可求解．
解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵-4＜x＜-2，0＜x＜2，
1 2
∴2＜-x＜4，
1
∴y＞y．
1 2
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，
开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大
而减小；
44．
【分析】
先根据 判断出二次函数 的对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性
解答．
解：∵二次函数 的对称轴为y轴，开口向下，且关于y轴对称，
∴当x=8时和x=-8时对应的y值是相等的，
∵x＜0时，y随x的增大而增大，
∵-8＜-2＜-1，
∴y＜y＜y．
3 1 2
故答案为y＜y＜y．
3 1 2
【点拨】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，关键是要掌握二次函数的对称性和增减性，比较简单．
45．
【分析】
通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD=CE=2m，从而得出
点E坐标为（m，2-2m），将点坐标代入解析式求解．
解：把A( ，2)代入y=ax2中得2= a，
解得a=1，
∴y=x2，
设点C横坐标为m，
∵四边形CDFE为正方形，
∴CD=CE=2m，
∴点E坐标为（m，2-2m），
∴m2=2-2m，
解得m=-1- （舍）或m=-1+ ．
∴CD=2m=-2+2 ．
答：线段CD的长是-2+2 ．
故答案为：-2+2 ．
【点拨】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形
的性质．
46．5﹣ ##
【分析】
设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长
度，再根据CD∥y轴，利用y 的解析式求出D点的坐标，然后利用y 求出点E的坐标，从
1 2
而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．
解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝ ，∴点B（ ，a），
∴AB＝ ．
∵ ＝a，
则x＝ ，
∴点C（ ，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为 ，
∴y＝（ ）2＝5a，
1
∴点D的坐标为（ ，5a）．
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为5a，
∴ ＝5a，
∴x＝5 ，
∴点E的坐标为（5 ，5a），
∴DE＝5 ﹣ ，
∴ ＝ ＝5﹣ ．
故答案是：5﹣ ．
【点拨】本题是二次函数的综合，考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于
x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是关键．
47． ##
【分析】
设 再分别求解 从而可得答案.
解：设
轴，
，
则
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数
图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键.
48．
【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴
于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得
OD＝ OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛
物线解析式求解即可．
解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为 的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝ OB＝1，
∴BD＝ ，
∴点B的坐标为（ ，1），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，
∴a（ ）2＝1，
解得a＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，结合正方形的性质和直角三角形的性质计
算是解题的关键．49．(1)抛物线解析式为 (2)
【分析】
(1)把B(1,1)代入 得 ，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求
出C
的坐标，然后求出 ，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设 ，
利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
解：(1)把 代入 得： ，
∴抛物线解析式为 ；
(2)设直线AB的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ， ，
∴直线AB的解析式为 ，
将 与 联立得：
或 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （舍），∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数
关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考
查了待定系数法求一次函数解析式．
50．(1) ， (2)见分析
【分析】
（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的
性质求出点D的坐标，可得结论．
解：(1)把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
把点A（-4，8）代入 ，得：
∴ ；
(2)如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=- x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y= ×22=2，
∴点D在抛物线y= x2上．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
51．（1）a＜2；（2） ；（3） ， ；（4）a＝1
【分析】
（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y
随x增大而增大，可得答案；
（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反
数；
（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
(2)由题意得，3a-2＜0，解得 ；
(3)由题意得， ，解得 ， ；
(4)由题意得， ，
解得a＝-2，a＝1，但a＞0，
1 2
∴a＝1．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最
小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.
52．（1） ；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【分析】
（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k
的值；
（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满
足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；
（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数
单调区间．
解：（1）∵函数y＝（k﹣2） 是关于x的二次函数，
∴k满足 ，且k﹣2≠0，
∴解得： ；
（2）∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，
∴k＝1，
∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．
（3）∵函数有最小值，
∴图象开口向上，即k﹣2＞0，
∴k＝3，
∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二
次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析
式，熟练掌握二次函数图像的性质．
