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专题 22.5 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（基础篇)
（专项练习）
一、单选题
1．抛物线 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数y=x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．若二次函数y＝﹣ax2的图象经过点P（﹣ ，2），则该图象必经过点（ ）
A．（ ，﹣2） B．（2， ） C．（2，﹣ ） D．（ ，2）
4．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（
）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜17．二次函数y＝a ，当a＜0时，y的值恒小于0，则自变量x的取值范围（ ）
A．x可取一切实数 B．x＞0
C．x＜0 D．x≠0
8．若点P(1，a)、Q(﹣1，b)都在函数y=x2的图象上，则线段PQ的长是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．4 D．2
9．已知 、 、 ，它们的图像开口由小到大的顺序
是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 与 的形状相同，则 的值是（ ）
A．4 B． C． D．1
11．下列二次函数的图象中，开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=ax2；③y=ax2，
1 2 3
则a，a，a 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．a a a B．a a a C．a a a D．a a a
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
13．抛物线 ，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点(0，0)为顶点；
③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．在同一坐标系中，作出 ， ， 的图象，它们的共同点是
（ ）
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．关于原点对称，抛物线的顶点都是
原点
15．若在同一直角坐标系中，对于抛物线 ， ， ，下列说
法正确的是（ ）
A．开口方向相同B．都有最低点 C．都经过原点 D．对称轴都是 轴
16．若在同一直角坐标系中，作 ， ， 的图像，则它们
（ ）
A．都关于y轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
17．已知点（1，y），（2，y）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（ ）
1 2
A．y＜y B．y＞y
1 2 1 2
C．y＝y D．y，y 大小不确定
1 2 1 2
18．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1 2时，y有最大值为8，最小值为0
19．已知二次函数 ，当 时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
20．下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．21．如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线
的图象上，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，菱形 对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别在线段 ，
上，且 ．以 为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段 ， 上，
设 ，新作菱形的面积为 ，则反映 与 之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
23．圆的面积 与其半径 的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
24．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，
趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是
（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（）
A．帥 B．卒 C．炮 D．仕
二、填空题
25．画二次函数y＝x2的图象：
① ___________
在y ＝ x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9
② _____________
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点．
③ __________
用平滑曲线顺次连接各点，就得y ＝ x2的图象．
26．函数 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 2 0 2 …
根据表格回答：
（1） _________， ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；
（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．
27．已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a________a（填“＞”、“＝”或
1 2
“＜”）．
28．二次函数 、 的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）．
29．已知二次函数 的图象开口向下，则m的值为___．
30．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而_____．
31．若抛物线 过点 ，则 _____．
32．已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝_____．
33．如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作
出函数y x2与y x2的图象，则阴影部分的面积是_____．34．二次函数的图像如图所示，则m____n（填“＞”或“＜”）．
35．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函
数y＝2x2与y＝－2x2的图像，则图中阴影部分的面积是______________．
36．如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y= x2③y=x2的图象，则图象从里到
外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）________
37．通过_______法画出 和 的图像：通过图像可知：
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．
38．已知二次函数y＝－2x2＋4，则其图象开口向______，对称轴为______，顶点坐标
为______．
39．二次函数的图象都是____________．
抛物线 的图象性质：
（1）抛物线 的对称轴是______，顶点是______；
（2）当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最______点；当a＜0时，抛物
线的开口向下，顶点是抛物线的最______点；
（3） |a|越大，抛物线的开口越______．
40．二次函数 的性质：一般地，当a＞0时，抛物线 的开口______，对称轴是______，顶点是______，
顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越______．
一般地，当a＜0时，抛物线 的开口______，对称轴是______，顶点是______，
顶点是抛物线的最______点，a越小，抛物线的开口越______．
41．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为：
________ （填“＞”，“=”或“＜”）．
42．二次函数y= ，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___．
43．若点 ， 在抛物线 上，那么 与 的大小关系是：
____ （填“ ”“ ”）
44．当 时，二次函数 的最大值是______，最小值是______．
45．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，
c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角
形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，
c应分别满足条件____．
46．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为______．
47．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y
＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____．
48．设直线 与抛物线 交于 两点，点 为直线 上方的抛物线
上一点，若 的面积为 ，则点 的坐标为_________________．
三、解答题
49．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．
50．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象
限内交于点P，又 AOP的面积为 ．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．51．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
参考答案
1．A
【分析】
根据抛物线 的图像， 时，开口向下即可得到答案．
解：抛物线 y=−2x2，
∵ ，
∴二次函数图像开口向下．
故选：A．
【点拨】本题主要考查抛物线 的图像，a 0时，开口向上，顶点（0，0）；时，开口向下，顶点（0，0）．
2．A
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．D
【分析】
根据二次函数图象的对称性解答．
解：∵点P（− ，2）与（ ，2）关于二次函数y＝−ax2的对称轴y轴对称，
∴该图象必经过点（ ，2）．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数轴对称的性质求解
更简便．
4．B
【分析】
根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解
答本题．
解：当a＞0时，
y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，
在第一、二、三象限，
当a＜0时，
y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，
在第二、三、四象限，
故选项A、C、D错误，选项B正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．A
【分析】
把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到 的值．
解： 二次函数 的图象经过点 ，
，
解得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上
点的坐标满足其解析式．
6．B
【分析】
根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
解：∵二次函数 的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数 的图象开口向上，
∴a-1>0，即：a>1，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关
系，是解题的关键．
7．D
【分析】
根据 ≥0，a＜0，得到a ≤0，根据y的值恒小于0，判定x≠0．
解：∵ ≥0，a＜0，
∴a ≤0，
∵y的值恒小于0，
∴x≠0．
故选D．【点拨】本题考查了抛物线的性质，实数的非负性，熟练掌握抛物线的性质是解题的
关键．
8．D
【分析】
把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a和b的值，从而得到P、Q点的坐标，
然后再计算两点之间的距离即可．
解：把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a=12=1，b=（﹣1）2=1，
即P（1，1），Q（﹣1，1），
∴PQ=1﹣（﹣1）=2．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其
解析式．也考查了二次函数的性质．
9．C
【分析】
抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值大小有关，绝对值越大，则开口越小，根据
这个关系即可确定答案．
解：∵ ，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故选：C
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质是关键．
10．C
【分析】
根据二次函数的图像形状相同，二次项系数的绝对值相等，即可求解．
解：∵抛物线 与 的形状相同，
∴ = ．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像形状和二次函数
的二次项系数的关系，是解题的关键．
11．C【分析】
由|a|的绝对值越大其开口越小进行选择即可．
解：在y=ax2（a≠0）中，当|a|的绝对值越大时其开口越小，
∵| |＜|-1|=|1|＜|2|，
∴二次函数y= x2的开口最大，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的大小决定
是解题的关键．
12．A
【分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y=ax2的开口小于②y=ax2的开口，则a a 0，
1 2 1 2
③y=ax2，开口向下，则a 0，
3 3
故a a a．
1 2 3
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
13．C
【分析】
根据二次函数图象的性质判定即可．
解：抛物线y= ，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y= ，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；
综上分析可知，正确的个数为2个，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题
的关键．
14．C
【分析】
在同一坐标系中，作出 ， ， 的图象，根据开口方向，顶点坐标，对称轴分析即可．
解：如图，
y＝2x2，y＝-2x2， 的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．
故选C
【点拨】本题考查了 的图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
15．D
【分析】
根据a的符号确定抛物线开口方向可判断A，根据抛物线的顶点可判断B与C，根据
抛物线的对称轴可判断D．
解：抛物线 ，a=2＞0，开口向上，抛物线 ，a=2＞0，开口向上，
，a=-2＜0，开口向下，故选项A不正确；
抛物线 开口向上有最低点（0，0），抛物线 开口向上，有最低点
（0，0），抛物线 开口向下，有最高点（0，１），故选项B不正确；
抛物线 的顶点是原点， 和抛物线 不过原点，故选项
C不正确；
抛物线 的对称轴为y轴， 的对称轴为y轴， 的对称轴
为y轴，故选项D正确．
故选择D．【点拨】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，对称轴，掌握抛物线的性质是解
题关键．
16．A
【分析】
根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．
解：A.因为 ， ， 这三个二次函数的图像对称轴为 ，
所以都关于 轴对称，故选项A正确，符合题意；
B.抛物线 ， 的图象开口向上，抛物线 的图象开口向下，
故选项B错误，不符合题意；
C.抛物线 ， 的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；
D.因为抛物线 ， ， 的二次项系数不相等，故不能通过
平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关
键．
17．B
【分析】
分别求出 和 的值即可得到答案．
解：∵点（1，y），（2，y）都在函数y＝﹣x2的图象上，
1 2
∴ ， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出 和 是解题的关
键．
18．D
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不
合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y
有最小值为0，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
19．D
【分析】
根据函数的性质解答．
解：∵二次函数 ，当 时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数 的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，
对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应
用是解题的关键．
20．B
【分析】
根据抛物线 的图象的性质即可判断
解：根据抛物线 的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y
值随x值的增大而增大，
故选B
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握 的图象的性质是解题的关键．
21．D
【分析】过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，可得△COD≌△OAE，在
中，由∠COD=60°， 可得∠OCD=30°，从而得到 ， ，
进而得到 ，可得到点 ，即可求解．
解：如图，过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，
根据题意得∠AOC=90°，OA=OC=2，∠COD=90°-30°=60°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∵CD⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠CDO=∠OEA=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠COD=∠OAE，
∴△COD≌△OAE，
∴AE=OD，OE=CD，
在 中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
把 代入 ，得：，解得： ．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定
和性质，根据题意得到△COD≌△OAE是解题的关键．
22．C
【分析】
，即可求解．
解：设OB=a，则OP=a-x，
则OQ=OPtan∠QPO=（a-x）tan∠QPO，
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
【点拨】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和
图形的对应关系，进而求解．
23．C
【分析】
根据圆的面积公式即可找出圆的面积 与其半径 的函数关系式，结合二次函数的图象
即可得出结论．
解：∵圆的面积 与其半径 的函数关系式为 ，
∴其函数图象与选项 相符．
故选C.
【点拨】考查二次函数的图象，列出圆的面积 与其半径 的函数关系式是解题的关键，
注意满足实际意义.
24．B
【分析】
根据抛物线的轴对称性结合图形进行解答即可．
解：∵“马”的坐标是(−2，2)，抛物线y=ax² (a≠0)的对称轴为y轴，
∵“马”是抛物线y=ax² (a≠0)上的一个点，∴根据抛物线的对称性得出“卒”在该抛物线上，
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的轴对称性，熟练掌握是解题的关键．
25． 列表 描点 连线
略
26． 2 8 一切实数 y
【分析】
（1）把x=-1，y=2代入 ，得a=2，可得 ，把x=2，y=b代入 中，
得b=8；
（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；
（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y值，然后观察数据即可得到结论．
解：（1）把x=-1，y=2代入 ，得a=2，
∴函数解析式为： ，
把x=2，y=b代入 中，得b=8，
故答案为：a=2，b=8．
（2）函数的解析式为 ，定义域是一切实数，
故答案为： ，一切实数．
（3）当x=-2时，y=8；
当x=-3时，y=18；
当x=3时，y=18；
可得该函数的图像关于y轴对称．
故答案为：y．
【点拨】本题主要考查了二次函数 的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解
题的关键．
27．
【分析】直接利用二次函数 的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：
的开口小于 的开口，
则a＞a，
1 2
故答案为：＞.
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
28．＞
解：令x＝1，则y＝m，y＝n，
1 2
由图象可知当x＝1时，y＞y，
1 2
∴m＞n．
故答案为＞．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键．
29．
【分析】
根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答．
解：根据题意得：
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考
虑开口向下时的性质．
30．减小
【分析】
先根据二次函数解析式即可得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，则当x＜0时，y
随x的增大而减小．
解：∵二次函数解析式为y＝ax2（a＞0），
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
31．9
【分析】
由题意易得点A、B关于二次函数的对称轴对称，进而可得 ，然后求解a的
值，最后代入二次函数解析式求解b的值即可．
解：由抛物线 过点 ，可得：该二次函数的对称轴为直线 ，
点A、B关于二次函数的对称轴对称，
∴ ，解得： ，
把 代入抛物线解析式得： ，
∴ ；
故答案为9．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．-1
【分析】
根据二次函数开口朝下，得到 ，进而得到 ，即 ，即可求得a的值．
解：∵二次函数y＝ax2开口向下，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方
向判断a的正负．
33．8
【分析】
根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形
面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．解：∵函数y x2与y x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
【点拨】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根
据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
34．＞
【分析】
令x＝1，则y＝m，y＝n，结合图像求解即可．
1 2
解：令x＝1，则y＝m，y＝n，
1 2
由图像可知当x＝1时，y＞y，
1 2
∴m＞n．
故答案为＞．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像，数形结合是解决此题的关键．
35．4.5
【分析】
函数y＝2x2与y＝－2x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为3，以正方形中心
为原点建立平面直角坐标系，可得出阴影部分的面积为正方形面积的一半，即可求解．
解： 函数y＝2x2与y＝－2x2的图像关于x轴对称，
图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为3的正方形面积为9，
所以图中的阴影部分的面积为4.5，
故答案为4.5．
【点拨】本题考查了抛物线y＝ax2的性质，熟知y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对
称是解决问题的关键．
36．(1)(3)(2)
【分析】
抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
解：①y=3x2，②y= x2，③y=x2中，二次项系数a分别为3、 、1，∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄．
故依次填：①③②．
【点拨】二次函数的图象．
37． 描点 向上 y轴 向
上 y轴
【分析】
根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，
顶点坐标即可．
解：通过描点法画出 和 的图像，
通过图像可知：
的开口方向向上，对称轴为 轴，顶点坐标为 ，
的开口方向向上，对称轴 轴，顶点坐标 ，
故答案为：描点；向上；y轴； ；向上；y轴； ．
【点拨】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的
图像是解本题的关键．
38． 下
【分析】
根据二次函数的性质分别解答即可．
解：二次函数 ，
，
图象开口向下，
，
对称轴为直线 ，当 时， ，
顶点坐标为 ．
故答案为：下； ； ．
【点拨】本题考查了二次函数的开口方向，对称轴与顶点坐标的确定，解题的关键是
熟练掌握二次函数图象及性质．
39． 抛物线 y轴 原点 低 高
小
略
40． 向上 y轴 原点 低 小
向下 y轴 原点 高 小
略
41．＜
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
解：∵若点A(−1,y)，B(2,y)在抛物线y=2x2上，
1 2
y=2×（-1）2=2，y=2×4=8，
1 2
∵2＜8，
∴y﹤y．
1 2
故答案为：﹤.
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特
征求出y1，y2的值是解题的关键．
42．
【分析】
根据二次函数定义可列出方程 ，再根据当x<0时，y随x的增大而增大，可
确定m的值．
解：由题意得， ，
解得 ，
∵当x<0时，y随x的增大而增大，
∴ ，故 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的
定义列出方程，利用二次函数的增减性确定m的值．
43．>
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
解：∵点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线 上，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特
征求出y1，y2的值是解题的关键．
44． 4 0
【分析】
利用二次函数图像找到 范围内的图像变化规律，从而求解．
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，
y轴左边y随x的增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大．
∴当 时，最小值是当x＝0时，y＝0；
当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4．
故答案为4；0．
【点拨】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．
本题难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值．
45．a<0，c>0【分析】
根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有
交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，
∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，
∴mn<0，
又∵mnc<0，
∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交，
又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），
∴函数开口向下，
∴a<0．
故答案是：a<0，c>0．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．
46．
【分析】
连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线及正方形的面积为18可得
∠BOC=45°，OB=6，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD=60°，根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半可得OD= OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到
点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
解：如图，连接OB，过点B作BD⊥y轴于D，
∵正方形的面积为18，
∴∠BOC=45°，OB=6，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°+15°=60°，
∴∠OBD=30°，∴OD= OB=3，
∴BD= ，
∴点B的坐标为（ ，3），
∵点B在抛物线y=ax2（a＞0）的图象上，
∴a（ ）2=3，
解得a= ．
故答案为： ．
【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所
对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟
记正方形性质并求出点B的坐标是解题的关键．
47． ≤a≤3
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故答案为： ≤a≤3．
【点拨】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系
数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键．
48． 或
【分析】
作出图象，首先求得线段AB的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P
的坐标．解：如图，
∵令y=2则y=x2=2，
解得：x= ，
∴A（ ，2），B（ ，2），
∴AB= ，
设点P（x，x2），
∴S = × ×x2= ，
ABP
△
解得：x2=2，
∵点P在y=2上方，
∴点P的坐标为 或 ，
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意作出图形，难度不大．
49．(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见分
析．
【分析】
（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为
(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可
画出函数图象．
(1)解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物
线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几
个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
50．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）先根据面积求得点 的纵坐标，再代入直线 的解析式可得其横坐标，然后将
点 的坐标代入二次函数即可得．
解：（1）设直线 的解析式为 ，
将点 代入 得 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
则 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
故 的值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解
题关键．
51．（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）
（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）
【分析】（1）根据如果抛物线 ，那么其对称轴为 轴，顶点坐标为（0，0），
如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可；
（2）根据如果抛物线 ，那么其对称轴为 轴，顶点坐标为（0，0），
如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可；
（3）根据如果抛物线 ，那么其对称轴为 轴，顶点坐标为（0，0），
如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可；
（4）根据如果抛物线 ，那么其对称轴为 轴，顶点坐标为（0，0），
如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可．
解：（1）∵抛物线解析式为
∴a＝3＞0，
∴抛物线y＝3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（2）∵抛物线解析式为： ，
∴a＝-3＜0，
∴抛物线y＝-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（3）∵抛物线解析式为： ，
∴a＝
∴抛物线y＝ x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（4）∵抛物线解析式为： ，
∴a＝ ，
∴抛物线y＝ x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）．
【点拨】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，解题
的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
