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专题 24.12 圆周角（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
2．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE
交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
3．如图，菱形OABC的顶点A、B、C在圆O上，且 ，若点P是圆周上任
意一点且不与A、B、C重合，则∠APC的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
4．如图， 内接于 ，AD是 的直径，若 ，则 的度数是
（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°5．如图， 是 的外接圆， ， 于点D， ，则
的直径为（ ）
A． B．8 C． D．12
6． 是 的外接圆，若 长等于半径，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则
∠ADB的度数为（ ）
A．55° B．64° C．65° D．70°
8．如图，C，D是 上直径AB两侧的两点，若 ，则 的度数是
（ ）
A．50° B．60° C．80° D．70°
9．已知锐角 ，如图，
（1）在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧 ，交射线 于点
，连接 ；（2）分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，交弧 于点 ， ；
（3）连接 ， ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（ ）
A． B．若 ．则
C． D．
10．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦 ，且∠CDE＝
62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
11．如图，已知AB是 的直径，弦CD与AB交于点E，设 ， ，
，则（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
12．如图， 为 的直径，点 ， ， 在 上，且 ， ，则
的度数为______．
13．如图，在菱形ABCD中， ， ，点E是射线CD上一点，连接
BE，点P在BE上，连接AP，若 ，则 面积的最大值为__________．
14．如图， 是 的外接圆， ， 的平分线交 于点D，
的平分线交AD于点E，连接BD，若 的直径是 ，则DE的长为_______．15．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．若点 的
横坐标和纵坐标均为整数，且 ，则点 的坐标为________．（写出一个正
确的坐标即可）
16．如图，半圆的直径 ，弦 ，把 沿直线 对折，且 恰好
落在 上，则 的长为__________．
17．如图， 内接于⊙O， ， 外角 的平分线交⊙O于点
D，若 ，则 的度数为______．18．如图， ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，将 ABC终点A逆时针旋转（B
与D为对应点）△至 ADE，旋转过程中直线BD，CE相交于F△，当AD从第一次与BC平行
旋转到第二次与BC△平行时，点F运动的路径长为 _____．
19．如图，线段 ，以线段 为斜边作 ， ， 的平分线
与线段 的垂直平分线交于点 ，则线段 的取值范围为_________．
20．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动
点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．21．如图，在 中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，
BC两边分别与 交于D，E两点， ，则△ABC的面积为______．
22．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交
于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________．
三、解答题
23．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求
的度数
24．如图，D是 的 边上一点，连结 ，作 的外接圆O，将 沿
直线 折叠，点C的对应点E落在 上．
(1)若 ，如图1．①求 的度数．
②若 ，求 的度数．
(2)若 ，如图2．求 的长．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作
OE⊥AC，垂足为E．
(1)填空：∠CAB=__________度；
(2)求OE的长；
(3)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和FC围成的图形（阴影部分）的面积
S．
26．如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为
⊙O上与点B关于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于
M点．(1)求∠DBC的度数；
(2)若F为弧BC的中点，求 ．
27．如图，CD与EF是⊙O的直径，连接CE、CF，延长CE到A，连接AD并延长，
交CF的延长线于点B，过点F作⊙O的切线交AB于点G，点D是AB的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求FG的长．
28．已知P是 上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别
有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若 ．
（1）如图1，当 ， ， 时，求 的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接
ON、OP，若 ，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查
即可．
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项
错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理
等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．C
【分析】
直接运用圆周角的定义进行判断即可.
解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．C
【分析】
分两种情况，由圆周角定理分别求解即可．
解： 菱形OABC的顶点A、B、C在圆O上，且 ，
如图，分两种情况：
①当点P在优弧APC上时， 由圆周角定理得：∠APC= ∠AOC= ×120°=60°；
②当点P在劣弧AC上时， 由圆周角定理得：∠APC= =120°；
综上所述，∠APC为60°或120°，
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，熟练
掌握圆周角定理是解题的关键．
4．C
【分析】
首先连接CD，由AD是 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
，又由圆周角定理，可得 ，再用三角形内角和定理求得答案．
解：连接CD，
∵AD是 的直径，
∴ ．∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此
题的关键．
5．C
【分析】
根据圆周角定理求出 ，再根据垂径定理和30°所对直角边是斜边的一半
计算即可．
解：连接AO、CO
∵ 是 的外接圆， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴⊙O的直径为
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是结合 所对
直角边是斜边的一半计算．
6．C
【分析】
利用等边三角形的判定与性质得出 ，再利用圆周角定理得出答案．解：如图，连接BO，CO，
∵ 的边BC等于圆的半径，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
若点 在劣弧BC上，则 ，
∴ 或 ；
故选C．
【点拨】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周
角定理，得出 是等边三角形是解题的关键．
7．B
【分析】
利用圆心角、弧、弦的关系得到 ，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝
36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
解：∵BC＝CD，
∴ ，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是 ，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
8．D
【分析】
由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得
∠BDC的度数，即可得出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=20°，
∴∠CAB=70°，
∴∠BDC=∠CAB=70°，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB=90°是解题的关键．
9．D
【分析】
连接 、 ，根据作法可得 ，即可得到 ，
则可判断A选项；若 ，可得 ，推出 即可求出 的
度数，则可判断B选项；根据 得到 即可判断C选项；根据
即可判断D选项．
解：连接 、 ，如图所示
∵以点 为圆心， 长为半径作弧 ，交射线 于点 ，分别以点 ， 为
圆心， 长为半径作弧，交弧 于点 ，
∴∴
∴A选项说法正确，不符合题意
若
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴B选项说法正确，不符合题意
∵
∴
∴
∴C选项说法正确，不符合题意
∵
∴
∴D选项说法错误，符合题意
故选D．
【点拨】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆
周角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结
合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
10．D
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆
周角与弧的关系可判断C，根据 判断D选项．
解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，如图，连接 ，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BD DE，故D选项不正确，
故选D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题
的关键．
11．B
【分析】
连接AC，根据同弧所对的圆周角相等，将 转化为 ，再根据直径所对的
圆周角是直角即可得到 ．
解：连接AC，令 ，如图所示：在△BCE中， （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵ （同弧或等弧所对的圆周角相等），
，
又∵AB是直径，∴ （直径所对的圆周角是直角），
，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理，正确作出辅助线，将
转化为 是解题的关键．
12．
【分析】
连接 、 ，由圆周角定理得出 ，进而结合题意得出 ，由
圆心角、弧、弦的关系定理 ，即可求出 的度数．
解：如图，连接 、 ，
为 的直径，
，
，
，
，，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆
心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．
13．
【分析】
若要使 的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最
大；可证 ，故可知点P在 APB的外接圆的劣弧 上，当点P在劣弧 的
△
中点处， APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
解：△∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵ ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点P在在△APB的外接圆上，
若要使 的面积最大，底AB固定， ，故只要AB边上的高最大
时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧 的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，∴ ， ,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即 面积的最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知
识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．1
【分析】
连接CD，根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，结合圆周角定理和三角形外角性质，
得出 ，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD=CD， ，利用勾股
定理，求出 ，即可求出 ．
解：连接CD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ ，∴ ， ，
∵ 为直径，且 ，
∴∠BDC=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三
角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明 ，是解题的关键．
15． 或 或 或 或 或 写出其中一个就可以（答案不唯
一）
【分析】
直接利用圆周角定理，以P为圆心，PA为半径画圆，圆上的格点即可作为C点．
解：由 联想到同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
所以点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，进而得到满足横、纵坐标为整数的六个
点 ： 、 、 、 、 、【点拨】本题考查了圆周角定理，解题关键是理解题意，能利用圆找出符合条件的点．
16． cm
【分析】
连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，
即证△AOF≌△ODE，所以OE=AF= cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE
中，根据勾股定理，可求AD的长．
解：连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∠CAD=∠BAD，
∴ ，
∴点D是弧BC的中点．
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE=AF= cm，
∴DE=2cm，
又∵AE= =4cm，
∴AD= cm．
【点拨】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一．熟练运用垂径定理、
圆周角定理和勾股定理．
17．75°
【分析】
先求出∠DAC的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠DBE的度数，再通过角平分
线求出∠ABE的度数，最后通过三角形外角性质求出∠C的度数．解：∵BC=BD， ，
∴∠BAD=∠BAC=25°，
∴∠DAC=50°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠DBE+∠DBC=180°，
∴∠DBE=∠DAC=50°，
∵BD平分 ，
∴∠ABE=2∠DBE=100°，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=100°-25°=75°，
故答案为：75°
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本
题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
18．
【分析】
由题意和旋转的性质可知： ，可知 、 、 、 四点共圆．随
着 的旋转可知，点 运动的路径是 以 、 、 、 四点共圆的圆上，当AD从第
一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点 运动的轨迹是以 为直径的半圆，求出
的长就可以求出点 的路径长．
解：如图所示：连接 ， 由旋转的性质可知： 和 是等腰直角三角形．
∴ ，
∴ 、 、 、 四点共圆．
∵ ，
∴该圆是以 为直径圆．
∴随着 的旋转可知：点 运动的轨迹是以 为直径的圆上．∴当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点 运动的轨迹是以
为直径的圆的周长的一半．
由勾股定理可知：
∴当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点F运动的路径长为：
，
∴点F运动的路径长为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理等知识．通过圆周角定理的推论找
到四点共圆是解决本题的关键．
19．
【分析】
因为AB是直角三角形的斜边，可以看成是点C在以AB为直径的圆上，通过
可以判断点C在圆弧EB之间，而在点E、点B位置是极限位置，求出在这两点时CM的值
即可．
解：∵AB是直角三角形ABC的斜边，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∵ ，DM是AB的垂直平分线，
∴点C在圆弧ECB之间的圆弧上，
∵CN是∠ACB的平分线，
∴CN与圆弧AB相交于 的中点，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴DM与圆弧AB相交于 的中点，
所以CN、DM、 交于一点，即M点，
∵AB=4，
∴BD=DM=2，如图1，当B， 重合时，CM最小，
，
因为此时三角形不存在（成为线段），所以应取 ，
如图2，当点C在E点时，CM最大，为圆D的直径，
∴ ，
因为此时AC=BC，不符题意，所以应取 ，
所以CM的范围为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆直角三角形，熟练运用直径所对的圆周角为直角、等弧对等角、
垂径定理是解题关键．
20．
【分析】
作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接
PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的
值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连
接PE，如图所示：
∵动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM= AB=2，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE= AD= ×4=2，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'=DE=2，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=4+2=6，
在Rt△AOE'中， ，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM= ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及
勾股定理等知识点，作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理，是解题的关键．
21．
【分析】
连结AE，根据∠CBA=90°所对的弦得出AE为 的直径，得出AE=8，根据BE=DE，得出∠BAE=∠DAE，可求∠BAE=∠DAE=30°，利用30°直角三角形性质求出BE=DE=
，利用勾股定理求出AB= ，然后利用直角三角形性质
求出BC=BE+CE=12即可．
解：连结AE，
∵∠CBA=90°，
∴AE为 的直径，
∴AE=8，
∵BE=DE，
∴ ，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴BE=DE= ，AB= ，
∵AE为直径，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-60°=30°，
∴EC=2ED=8，
∴BC=BE+CE=12，
∴S ABC= ．
△
故答案为 ．【点拨】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，
三角形面积，掌握直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三
角形面积是解题关键．
22．（ ， ）##（ ， ）
【分析】
连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾
股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC
中，利用勾股定理构建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解决问题．
解：连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，则∠OCH=30°，且OC=3，
∴OH= OC= ，CH= ，
∵点A(4，0)，
∴AO=4，
∴AH= AO- OH= ，
在Rt△ACH中，
AC= ，
∵∠BOA=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴∠BCA=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=60°，则∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC= AB，
AB2=AC2+BC2，即AB2=( )2+( AB)2，
∴AB2= ，在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2= ，
∴OB= ，
点B的坐标是：（ ， ）．
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，
解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．68°
【分析】
连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则
∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度
数，从而得到 的度数．
解：连接OB，如图，
∵OB=OC，OC=AB，
∴OB=AB，
∴∠A=∠BOA，
∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A，
∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2∠A，
∵∠EOD=∠E+∠A，
∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，
∴∠E=∠EBO=56°，
∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°，
∴ 的度数为68°．
【点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加
辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．
24．(1)①30 ，②60 ；(2)
【分析】
（1）①根据折叠的性质可得 ，根据等弧所对的圆周角即可求解；
②根据等边对等角可得 ，根据（1）的结论可得 ，进而
根据折叠的性质求得 ，进而根据 即可求得 ，
（2）根据 ，可得 ， ，根据折叠的性质可得
，进而即可求解．
(1)① ， ，
，
将 沿直线 折叠，点C的对应点E落在 上，
；
② ，
，
，
，
将 沿直线 折叠，点C的对应点E落在 上，
，
中， ，则 ，
，
，
，(2)
折叠
【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三
角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
25．(1)30(2) (3)
【分析】
（1）利用圆周角定理解得 ，由直径所对的圆周角是90°，得到
，最后根据三角形内角和180°解答即可；
（2）证明 是等边三角形，得到BC=3，再证明 是 的中位线，由中位
线的性质解答；
（3）连接OC，证明 ，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积，
再结合扇形面积公式解答．
(1)解： ∠D=60°
AB是⊙O的直径，
故答案为：30；
(2) ∠D=60°
是等边三角形AB是⊙O的直径，
是AB中点
是 的中位线
(3)连接OC，
∠CAB=30°
．
【点拨】本题考查扇形的面积计算、含30°角的直角三角形、圆周角定理、垂径定理
等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．26．(1)36°；(2) ．
【分析】
（1）利用对称的性质证明BD⊥AC，所以∠DBC与∠ACB互余，即可求出∠DBC；
（2）利用等弧所对的圆周角等于圆心角的一半和三角形内角和为180°，求出∠BDF、
∠OBM的度数并证明其相等，再根据证明△BOM≌△DNM(ASA)，从而得到OM=NM，即可
求出 ．
解：(1)∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
(2)连接OF，
∵点F是 的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF= ∠BOC= =36°，
∴∠BDF= = =18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴ ．
【点拨】本题考查了轴对称、圆和全等三角形，熟练利用对称点连线与对称轴垂直，
圆心角与圆周角的关系以及全等三角形的判定能有效帮助解此题．
27．(1)见分析；(2)
【分析】
（1）连接DE，根据CD和EF都是⊙O的直径得到∠DEA=∠ECF=90°，根据直角三角
形的性质得到CD=AD=BD，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE=∠CDE，进而得
到∠ADE=∠OED，即可得到 ；
（2）根据直角三角形斜边上的中线求得 ,勾股定理求得 ,由（1）
可得 ,根据切线的性质可得 ，根据 ，代入数值，即可
得到FC．
解：(1)证明：连接DE，
∵CD和EF都是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠ECF=90°，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠ADE=∠CDE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠CDE，
∴∠ADE=∠OED，
∴ ；(2)连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴FC=DE，DE∥BC，
∴ ，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ ，
∵AB=2CD=5，AC=3，
∴ ，
∴FC=2．
是 的切线，【点拨】此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中
位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
28．（1） ；（2） ；（3） ；见分析
【分析】
（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是
⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）证明 是等腰直角三角形，得出 ，根据
可得结论；
（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ证得 ，即可证得OQ⊥AB，然后
根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．
解：（1）连接AB，如图1，
∵ ，
∴ ，∴AB是 的直径，
∴ ，
∴ 的半径为 ；
（2）连接AQ，BQ，如图2，
∵
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵ ，
∴
∴
（3） ，理由如下：连接OQ，如图3，
∵ ，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
