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专题 24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练
习）
一、单选题
1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（
）
A．8 B．10 C．16 D．20
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，
AB=12，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（
）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
5．如图，点 ， ， ， 在圆上，弦 和 交于点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 平分 ，则 B．若 ，则 平分
C．若 垂直平分 ，则圆心在 上D．若圆心在 上，则 垂直平分
6．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 、 ，下列结论中不一
定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦8．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 垂直平分 D． 垂直平分
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的 倍，C为 中点，AB、OC交于点
P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，则
以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（ ）A． B． C． D．
12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材
埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径，
弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20 B．23 C．26 D．30
二、填空题
13．圆的半径为 ，圆心到弦 的距离为 ，则 _______ ．
14．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
15．如图， 的半径为4， ， 是 的弦，且 ， ， ，
则 和 之间的距离为______．16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点
E与 的距离 为4米，且弧 所在圆的半径为10米，则路面 的宽度为_____米．
17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD= cm，则
AB=________cm．
18．如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，则 的度数
为______．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．
20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的
坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一
条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦
AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的
一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，
请你说出小华此想法的依据是__．
22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是
______度．23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污
水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直
径是______cm．
24．已知 的半径为2，弦 ， 是 上一点，且 ，直线 与
交于点 ，则 的长为________．
三、解答题
25．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；
(2)连接AD，求三角形OAD的面积．26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成
就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，
埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ 寸），锯道长1尺（
1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（ ）是多少？”如图所示，请根据所学的
知识解答上述问题．
27．已知：如图，在 中， 为互相垂直的两条弦， ，
D、E为垂足．
(1)若 ，求证：四边形 为正方形．
(2)若 ，判断 与 的大小关系，并证明你的结论．28．如图，AB为⊙O的直径，弦 于点F， 于点E，若 ，
，求OF的长．参考答案
1．D
【分析】
连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根据勾
股定理，即可得出OC，从而得出直径．
解：
连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CE= CD=8，
∵OE=6．
在Rt OEC中，由勾股定理得：
OC2=△OE2+EC2，即OC2=62+82
解得：OC=10
∴直径AB=2OC=20．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.
2．C
【分析】
连接OC，求出∠COB=45°，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可．
解：连接OC，则OC= AB= ×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3 ，
即CD=2CE=6 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等
知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．
3．B
【分析】
连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到
AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即
可．
解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，
∴AM=BM= AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧．也考查了勾股定理．
4．B
【分析】
根据垂径定理即可判断．
解： 是 的直径，弦 于点 ，
， ， ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
5．C
【分析】
根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、 若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
6．C
【分析】
根据垂径定理判断即可；
解：∵直径 垂直于弦 于点 ，则由垂径定理可得， ， ，
，故选项A，B，D正确； 无法得出，故C错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
7．A
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由
题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以
写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，
也考查了垂径定理的性质．
8．D
【分析】
由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
解：连接OA，条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧．
9．C
【分析】
根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得 的长
解： 点C是AB的中点，
⊙O的半径为5，弦AB＝8，
在 中
故选C
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
10．C
【分析】
根据弦AB的长是半径OA的 倍，C为 的中点，判定出四边形OACB是平行四
边形，再由 ，即可判定四边形OACB是菱形.
解：∵弦AB的长是半径OA的 倍，C为 的中点，OC为半径，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形OACB是菱形.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是
解题的关键．
11．A
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为
圆心．
解：如图，作弦 、 的垂直平分线，
∵点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
所以弦 ，弦 ，
∴弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，弦 的垂直平分线与 轴相交于点
，
∴两条垂直平分线的交点 即为三角形外接圆的圆心，且 点的坐标是 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．12．C
【分析】
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，
由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x
的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AP=BP=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：
x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，
即2x=26，
∴CD=26（寸）．
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
13．
【分析】
根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得 ，然后利用勾股定理求出
，即可求解．
解：根据题意画出如下图形，半径 ， ，则 ，∵半径 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到 是解题
的关键．
14．16
【分析】
连接 ，由垂径定理可得 ，在 中利用勾股定理即可求得 的长，
进而求得 ．
解：连接 ，
∵OE⊥AB于E，
∴ ，
在 中， ，OE＝6，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．15．
【分析】
作OE 于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到 ，再
利用垂径定理得到 ，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨
论解题即可．
解：作OE 于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
在 中，
在 中，
当圆心O在AB与CD之间时，
当圆心O不在AB与CD之间时，即AB和CD之间的距离为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
16．16
【分析】
先根据勾股定理CF= 米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据
四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．
解：∵EF=4米，OC=OE=10米，
∴OF=OE-EF=6米，
在Rt△OEC中，CF= 米，
∵OF⊥DC，DC为弦，
∴DF=CF=8米，
∴DC=2×8=16米，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=16米，
故答案为：16．
【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形
性质是解题关键．
17．
【分析】
根据∠D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据
垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．
解：在 中，∠D=30°
∴
∴ cm
∵弦AB⊥CD∴ cm
故答案为：
【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的
相关知识．
18．
【分析】
先根据垂径定理可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得： ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是
解题关键．
19．（3，1）
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即
为圆心．
解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．
20． ．
【分析】
直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用 点坐标得出原点位置即可得出答案．
解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），
据此建立平面直角坐标系如下图所示，
连接 ， ，作 ， 的中垂线，交点是点
则，该圆弧所在圆的圆心坐标是： ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题
关键．
21．等腰三角形三线合一的性质
【分析】
连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．
解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，
依据三线合一的性质可得．故答案是：等腰三角形三线合一的性质．
【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．
22．48
【分析】
根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC．
∵∠A=42°，
∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
23．100
【分析】
由垂径定理和勾股定理计算即可．
解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与
BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．故答案为：100．
【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半
构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．
24．1或3
【分析】
根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得 ，进而分两种情况讨论即可．
解：如图，连接 ，
， 由垂径定理可知， ， ，
则在 中， ，
或 ，
故答案为：1或3．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定
理，准确分类讨论是解题关键．
25．(1)见分析(2)10
【分析】
（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；
（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．
(1)解：如图，点E即为所求；
(2)解：如图，连接AD，
∵⊙O的直径是10，
∴OD=5，
由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的
关键．
26．这块圆形木材的直径（ ）是26寸
【分析】
设 的半径为x寸，根据题意可得 ，在 中， ， ，
勾股定理求解即可．
解：设 的半径为x寸，
∵ ， 寸，∴ 寸，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
解得 .
∴ 的直径 （寸）.
答：这块圆形木材的直径（ ）是26寸.
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
27．(1)见分析(2)OD＜OE
【分析】
（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝ AB，AE＝ AC，且∠ADO
＝∠AEO＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以
AD＝AE，于是可判断四边形ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝ AB，OD＝AE＝ AC，又AB
＞AC，即可得出OE和OD的大小关系．
(1)证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝ AB，AE＝EC＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
(2)解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝ AB，AE＝ AC，
∴OE ＝ AB，OD＝ AC，又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧、也考查了正方形的判定．
28．1.4
【分析】
根据垂径定理得到 ， ，根据勾股定理求出AE．设 ，再次根
据勾股定理得到等式 ，代入求值即可解答．
解：连接OC，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，即 ．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定
理求出边的长度．
