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专题 24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别说明：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的推论
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
特别说明：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、
平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【典型例题】
类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦
1．如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 在 上， 恰好经
过圆心 ，连接 ．
（1）若 ， ，求 的直径；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）20；（2）30°
【分析】
（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则
，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝
2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D
的度数．
解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设 ，
又∵BE＝4，
∴
∴ ，
解得： ，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵ ，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
弧．也考查了勾股定理．
举一反三：
【变式1】 如图，在半径为 的 中，弦 长 ．求：
（1） 的度数；
（2）点O到 的距离．
【答案】（1）60°；（2）25 mm
【分析】
（1）证明 是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可
得答案.
解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC＝CB＝ AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝ ＝25 （mm），
即点O到AB的距离是25 mm．
【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股
定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
【变式2】如图， 是 的直径，E为 上一点， 于点F，连接 ，
， 于点D．若 ，求线段 长．
【答案】6
【分析】设OE=x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到
AD=OF=3，根据垂径定理得到答案．
解：设OE=x，则OF=x-2，
由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x-2）2+42，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，∠A=∠EOF，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧是解题的关键．
类型二、利用垂径定理求进行证明
2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD AB，OE
AC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【答案】(1)见分析(2) cm
【分析】
（1）根据AC AB，OD AB，OE AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得
AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；
（2）连接OA，由勾股定理可得．
(1)证明：∵AC AB，OD AB，OE AC，
∴四边形ADOE是矩形， ， ，
又∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，
∴ cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得： cm，
即⊙O的半径为 cm．
【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与
CD交于F点，求证：CF＝DF
【分析】根据垂径定理进行解答即可．
解：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分这条弦所对的两条弧．
【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，
又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．
解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．
类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦
3．如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，
OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长
为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完
成下列作答．
(1)求证：OA垂直平分MD.
(2)若 ，求∠MON的度数.
(3)若 ， ，求MN的长度．【答案】(1)证明见分析；(2) ；(3) ．
【分析】
（1）由垂径定理直接证明即可得；
（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；
（3）由（2）可得： ，得出 ，根据等边三
角形得判定可得 为等边三角形，即可得出结果．
(1)证明：如图所示，连接MD，
由作图可知， ，
∴ ，
∵OA是经过圆心的直线，
∴OA垂直平分MD；
(2)解：如图所示，连接ON，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
(3)解：由（2）可得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质
等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
举一反三：
【变式1】 如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作
CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得 AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可
求得OD． △
解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在 AEO和 ODC中，
△ △
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝ ＝ ＝3．
【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性
质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
【变式2】如图所示，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC
交x轴于D，交△ABO的外接圆⊙M于C，已知∠COD＝∠OBC．
（1）求证：MC⊥OA；
（2）求直线BC的解析式．【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）利用弧弦角转化得 ，由垂径定理即可得MC⊥OA；
（2）由直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，
从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点
坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．
解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，
∴ ，
∵点M是圆心，
∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；
（2）解：∵MC⊥OA，
∴OG＝GA＝ OA，
∵点M是圆心，
∴BM＝AM，
∴GM是△AOB的中位线，
∴GM＝ OB，
∵ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝ ；当y＝0时，x＝3，∴B（0， ），A（3，0）
∴OB＝ ，OA＝3，
∴MG＝ ，OG＝ ，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝
，
∴GC＝ ，
∵点C在第三象限，
∴C（ ， ）．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∴ 解得： ，
直线BC的解析式为：
【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决
本题的关键．
类型四、利用垂径定理推论求进行证明
4．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的
点，且 ，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【分析】
证法一：连接CB，可证 ，从而可证明CE＝BE；
证法二：作ON⊥BF，垂足为N，连接OE，证明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再结
合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；
证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．
解：证法一：如图(1)，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵ ， ，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．
∵ ，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂
径定理及其推理是解题关键．
举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平
分．
【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的
推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．
解：设AB，CD交于点P,连接OP，
假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，
∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，
所以AB与CD不能互相平分
【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．
【变式2】如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．【分析】
（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据
得到BC=CD，从而证明菱形．
解：（1）连接BD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵ ，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的
判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
类型五、垂径定理及推论解决其他问题
5．如图， 为 的一条弦，连接 、 ，请在 上作点C使得
为以 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】分别以点A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两
点，交 于点C，则问题可求解．
解：如图所示：
【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关
键．
举一反三：
【变式1】 如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原
点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 ．
【答案】（1）见分析；（2）2 ，上，90°
【分析】
（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线
段BC的垂直平分线上进行求解即可；
（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到
AD的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点
（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到
答案．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由（1）可知D点坐标为（2，0），A点坐标为（0，4）
∴OD=2，OA=4，
，
∴圆D的半径为 ；
∵点（6，﹣2）到圆心D的距离为 ，
∴点（6，﹣2）到圆心D的距离等于半径的长，
∴点（6，﹣2）在⊙D上．∵D（2，0），C（6，2），A（0，4），
∴ ， ，
∴ ，
∴∠ADC=90°，
故答案为： ，上，90°．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置
关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．
【变式2】如图， 中，P是 的中点，C、D是 、 的中点，过C、D的直线
交 于E、F．求证： ．
【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是 的中点，可得 ，根据弧
等相等可得AP=BP，由C、D是 、 的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，
CP= ，DP= ，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC=
=OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，
可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．
解：连结OC，OD，OP交EF于G，
∵P是 的中点，
∴ ，
∴AP=BP，∵C、D是 、 的中点，
∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP= ，DP= ，
∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，
∴OC= =OD，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CG=DG，
∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，
∴EG=FG，
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．
∴EC= DF．
【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性
质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线
段和差是解题关键．
类型六、利用垂径定理及推论的实际应用
6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕
，求 的半径．
【答案】
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，根据垂径定理，可得 ，由折叠得： ，然后在 中，利用勾股定理即可求得结果．
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∴ ，
由折叠得： ，
设 ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
即：
解得： x＝ ，x＝ （不合题意，舍去）
1 2
∴
答： 的半径为 ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定
理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管
道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 ，水面最深地方的高度（即 的中
点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析 (2)10cm
【分析】
（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在
Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．
(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．
(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，
则AD＝ AB＝8 cm，点C为 的中点，
进而，CD＝4 cm．
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4） cm．
在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，
解得r＝10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．
【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定
理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水
泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN
＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．
【分析】
（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，
即可求出半径；
（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N
＝16米＞15m，即可得出结论．
解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝ AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝ ＝8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．
