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专题 24.2 圆及有关概念（专项练习）
一、单选题
1．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的
弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(
)
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
3．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之
比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
4．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，
使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作
⊙O，则（ ）
A．点A在⊙O上
B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外
D．点A与⊙O的位置关系无法确定6．已知 ，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个
点在圆内，那么半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的
对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．一个圆的周长是 ，它的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以
点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
10．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系
是
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
11．如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M
为线段 上一点． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一
动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2 B．2 ﹣2 C．2 +2 D．2
二、填空题13．已知 的面积为 ．
（1）若 ，则点P在________；
（2）若 ，则点P在________；
（3）若 _________，则点P在 上．
14．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，
PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的
最小值为_______．
15．连接圆上任意两点的线段（如图中的______）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的_____）叫做直径．
【注意】凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦____是直径．
16．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A、B为端点的弧，记作
__________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．
17．如图，以 ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交 于点 ，连接AD．
若∠B＝40°，∠C＝△36°，则∠DAC的大小为_____度．18．点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距离是 ，
则 的半径是______．
19．如图， 、 是 的半径，点C在 上， ， ，则
______ ．
20．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；
同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这
条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的
所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标
系中，点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
21．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，
若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
22．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．
23．如图,在 ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合），
将 BCP沿CP所△在的直线翻折,得到 B′CP,连接B′A,则B′A长度的最小值是________．
△ △
24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要
求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范
围是__________．
三、解答题
25．如图所示， ， ，试证明： 、 、 、 在同一圆上．26．在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的 ，试确定点
与 的位置关系．
27．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距
离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加
黑）
28．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，
且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中，画出 的中线AE；
(2)在图（2）中，画出 的角平分线AF．
29．已知A为 上的一点， 的半径为1， 所在的平面上另有一点P．
（1）如果 ，那么点P与 有怎样的位置关系？
（2）如果 ，那么点P与 有怎样的位置关系？30．如图，菱形 的对角线 相交于点O，四条边 的中点分别
为 ．这四个点共圆吗？圆心在哪里？参考答案
1．B
【分析】
根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点拨】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线
段叫弦．
2．B
解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,
∵d=OA=3,∴d<r，
∴点A在圆内，
故选：B．
3．B
【分析】
设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进
而即可求解．
解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选B．
【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数
表示各个图形的面积，是解题的关键．
4．A
解：设地球半径为：rcm，则地球的周长为：2πrcm，
假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面
16cm，故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm，
∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm）=102（cm）．
故选：A．
5．A
【分析】
先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
解：∵点A（4，3）到圆心O的距离 ，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 ，点到圆心
的距离为 ，则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内，
也考查了勾股定理的应用．
6．C
【分析】
由于 ， ，当以点 为圆心 为半径作圆，如果点 、点 只有一个点在
圆内时，那么点 在圆内，而点 不在圆内．当点 在圆内时点 到点 的距离小于圆的
半径，点 在圆上或圆外时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的
取值范围．
解：当点 在圆内时点 到点 的距离小于圆的半径，即： ；
点 在圆上或圆外时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即： ；
即 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．
7．B
【分析】
根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．
解：①直径是最长的弦，故正确；
②最长的弦才是直径，故错误；
③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，
正确的有两个，
故选B．
【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．
8．A
【分析】
根据圆的周长公式，由已知的周长求出圆的半径，利用圆的面积公式即可求出所求圆
的面积．
解：设圆的半径为r，
∵圆的周长为10π，
∴2πr=10π，即r=5，
则圆的面积S=πr2=25π．
故选：A．
【点拨】此题考查了圆的周长公式，以及圆的面积公式，根据周长求出圆的半径是解
本题的关键．同时要求学生熟练掌握圆中的有关计算公式．
9．C
解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
10．C
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，
点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
11．D
【分析】
证明 ，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．
解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形 为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵ ，∴
∴
∵
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的
相关知识．
12．B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4 ，由已知条件得到点P在以C为圆心，
PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4 ，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝ AB＝2 ，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2 ﹣2，
故选：B．
【点拨】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的
关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．13． 圆外 圆内 5
【分析】
（1）先求出 的半径，再根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；
（2）根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；
（3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得．
解：设 的半径为r，
，
，
（1）∵PO=5.5>5，
∴点P在圆外；
（2）∵PO=4<5，
∴点P在圆内；
（3）若要点P在 上，
则PO=r=5；
故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法．
14．18
【分析】
连接OP，因为PA⊥PB，所以在 中AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO
需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求
解即可得．
解：如图所示，连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关于圆点对称的点的坐标和勾股定理，解题
的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
15． AC AB 不一定
略
16． 圆弧 弧 半圆
略
17．34
【分析】
先根据同圆的半径相等可得 ，再根据等腰三角形的性质可得
，然后根据三角形的外角性质即可得．
解：由同圆的半径相等得： ，
，
，
，
故答案为：34．
【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相
等是解题关键．
18． 或
【分析】分点 在 外和 内两种情况分析；设 的半径为 ，根据圆的性质列一元一
次方程并求解，即可得到答案．
解：设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从
而完成求解．
19．25
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出
∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．
【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握
三角形内角和等于180°是解题的关键．
20．
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出
OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA= = ，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB= ，
∴点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的
关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
21． π．
【分析】
由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由
圆的周长公式即可得出结果．
解：由题意得：
四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2 π×2＝ π；故答案为 π．
【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶
幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
22． .
【分析】
找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P，在半圆上取P，连接AP，EP，可见，
2 1 1 1
AP+EP＞AE，即AP 是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
1 1 2
解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P，在半圆上取P，连接AP，EP，
2 1 1 1
可见，AP+EP＞AE，
1 1
即AP 是AP的最小值，
2
∵AE= ，PE=1，
2
∴AP= .
2
故答案为： .
23．1
试题分析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC= = =4，由轴对
称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度
有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为1．
【点拨】1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．
24． .
试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在
圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是 .
【点拨】勾股定理；点和圆的位置关系.
25．见分析
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 进而得出答
案．
解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ 和 为直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， 四点都在以点 为圆心， 长为半径的圆上．
【点拨】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出 是
解题的关键．
26．点A在 内；点B在 外；点C在 上．
【分析】
连接OA、OB、OC，根据点的坐标，分别求出OA、OB、OC的长，和⊙O的半径4比
较即可得出答案．
解：连接OA、OB、OC，∵ ，
由勾股定理得 OA= < 4，
∴点A与 的位置关系是点A在 内；
∵ ，
由勾股定理得OB= > 4，
∴点B与 的位置关系是点B在 外；
∵ ，
由勾股定理得OC= =4，
∴点C与 的位置关系是点C在 上．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．点与圆的位置关系有三种：①当
d=r时，点在圆上；②当d>r时，点在圆外；③当d<r时，点在圆内．
27．见分析．
试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．
试题解析：
【点拨】尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．28．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）连接CO、BD，CO交BD于点G，连接AG并延长交BC于E，线段AE即为所求
作；
（2）利用（1）的中点E，过点E作半径OH，连接AH交BC于点F，则线段AF即为
所求作．
(1)解：如图（1），线段AE即为 ABC的中线；
△
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
(2)解：如图（2），线段AF即为 ABC的角平分线；
△
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，
圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．（1）点P在 外；（2）点P可能在 外，也可能在 内，还可能在 上，
实际上，点P位于以A为圆心，以 为半径的圆上．【分析】
（1）点 和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；
（2）点 和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．
解：（1） ， 的直径为2
点 的位置只有一种情况在圆外，
即点 与 的位置关系是点在圆外．
（2） ， 的直径为2
点 的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
即点P可能在 外，也可能在 内，还可能在 上，实际上，点P位于以A为
圆心，以 为半径的圆上．
【点拨】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：
点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
30．共圆，圆心在点O处
【分析】
根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质证出四边
形EFGH是矩形，根据矩形性质可得E，F，G，H到矩形中心的距离相等，从而得出结论．
解：点E，F，G，H四点共圆，圆心在点O处． 理由如下：
连接HE，EF，FG，GH，OH，OE，OF，OG．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF平行且等于 AC, HG平行且等于 AC，
∴EF平行且等于GH
∴四边形EFGH是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形
∴
∴∠AOB＝90°
∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴E，F，G，H到矩形中心的距离相等
∴这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O．
【点拨】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的
位置关系是解题关键．
