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带电粒子在交变场和立体空间中的运动
目标要求 1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。2.会
分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充
分利用分解的思想降维处理相关问题。
一、带电粒子在交变场中的运动
此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下
要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么
状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。
例1 (2024·江苏省苏锡常镇一模)xOy平面内存在着变化的电场和变化的磁场，变化规律如图所示，磁
感应强度的正方向为垂直纸面向里，电场强度的正方向为+y方向。t=0时刻，一电荷量为+q、质量为m
2πm mv
的粒子从坐标原点O以初速度v 沿+x方向入射(不计粒子重力)。B-t图中B = ，E-t图中E = 0。
0 0 qt 0 qt
0 0
求：
t
(1) 0时刻粒子的坐标；
4
(2)0~4t 时间段内粒子速度沿-x方向的时刻；
0
(3)0~7t 时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
0
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二、带电粒子在立体空间中的运动
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表：
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动
将粒子的运动分解为三个方向的运动
模型旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线
一维加一面，如旋进运动 运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运
动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立
线不在原来的平面内 体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
例2 (2024·福建三明市一模)如图所示，在O-xyz三维坐标系中，y>0空间一侧有沿y轴负方向的匀强
电场，y<0空间一侧有沿y轴负方向的匀强磁场。一带正电粒子以速度v 从x轴上的A点(-d，0，0)处
0
在xOy平面内沿与x轴正方向成37°角射入电场中，已知粒子质量为m，电荷量为q，粒子恰好经过O
mv
点，磁感应强度大小为B= 0，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，粒子的重力忽略不计，求：
qd
(1)匀强电场的电场强度E；
(2)粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻。
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例3 (2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。
以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应
强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。
一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分
速度大小均为v 。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作
0
用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ
的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
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_________________________________________________________________________________________答案精析
v t v t 1 19
例1 (1)( 0 0， 0 0) (2) t 和 t
2π 2π 2 0 8 0
3 √2 1
(3)( + + )v t
2 2π 2π 00
2πm
解析 (1)粒子在磁场中运动的周期T= =t
qB 0
0
洛伦兹力提供向心力，有
v 2 v t
B qv =m 0 ，解得r = 0 0
0 0 1
r 2π
1
t 1
所以 0 时刻粒子运动了 个周期，坐标为(r ，r )，
4 4 1 1
v t v t
即( 0 0 ， 0 0)
2π 2π
(2)0~4t 时间内的运动轨迹如图，粒子在电场中的加速度
0
qE v
a= 0= 0
m t
0
故粒子在t ~2t 时间内竖直方向的速度v=at =v ，
0 0 y 0 0
故在2t 时速度方向与x轴正方向的夹角为45°，
0
T 3
由图知及以上分析知0~4t 时间段内粒子速度沿-x方向的时刻为t = 和t =2t + T，
0 1 2 2 0 8
1 19
即t = t 和 t = t 。
1 2 0 2 8 0
1
(3)t ~2t 时间内粒子沿y轴方向位移y = v t
0 0 0 2 00
6t ~7t 时间内粒子沿y轴方向最大位移
0 0
y =(1+cos 45°)r
磁 2
分解可知粒子在6t 时刻的速度
0
v'=√2v ，
0
mv' √2
故r = ，解得r = v t
2 qB 2 2π 0 0
0
即y =3y +y
m 0 磁3 √2 1
得y =( + + )v t 。
m 2 2π 2π 0 0
24mv 2 5d+8πd(n-1)
例2 (1) 0 (2) (n=1，2，3…)
25qd 4v
0
解析 (1)粒子在电场中做类斜抛运动，则有
d=v cos 37°·t
0 1
沿电场方向有
-v sin 37°=v sin 37°-at
0 0 1
又qE=ma
24mv 2 5d
解得E= 0 ，t = 。
25qd 1 4v
0
(2)粒子进入磁场后，在垂直y轴的平面做匀速圆周运动，在y轴上沿y轴负方向做匀速直线运动，则有
(v cos37°) 2
qBv cos 37°=m 0
0
R
2πR 2πd
又T= =
v cos37° v
0 0
则粒子射入电场开始计时，第n次经过y轴的时刻
t =t +(n-1)T(n=1，2，3…)
2 1
5d+8πd(n-1)
解得t = (n=1，2，3…)
2 4v
0
2πmv 2πr 2π2r2v 2m
例3 (1) 0 (2) (3) 0
eL L EeL2
解析 (1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，
设电子入射时沿y轴的分速度大小为v，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v t
y 0
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，
v 2
由牛顿第二定律知Bev=m y
y
R
mv
可得R= y
Be
2πR 2πm
T= =
v Be
y
若所有电子均能经过O进入电场，
则有t=nT(n=1，2，3，…)
2πnmv
联立得B= 0
eL
当n=1时，B有最小值，可得2πmv
B = 0
min
eL
v
y
(2)将电子的速度分解，有tan θ=
v
0
θ最大时，tan θ有最大值，即v 最大，
y
mv
ym
此时R = =r，
max eB
min
2πv r 2πr
联立可得v = 0 ，tan θ=
ym L L
(3)当v 最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移y ，
y m
根据匀变速直线运动规律有
v 2
y = ym
m
2a
Ee
由牛顿第二定律知a=
m
2π2r2v 2m
联立得y = 0
m EeL2
