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专题突破卷 08 极值点偏移
1.加法不含参型
1．已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最小值．
2．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
学科网（北京）股份有限公司 1②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较小值），若
在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： .
3．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
4．已知函数 为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
5．已知函数 ，
学科网（北京）股份有限公司 2(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．
6．已知函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，存在 满足 ，证明 .
7．已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，证明：
（i） ；
（ii） .
学科网（北京）股份有限公司 32.加法含参型
8．已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
9．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
10．已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
学科网（北京）股份有限公司 411．已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
12．已知函数 .
(1)若 有唯一零点，设满足条件的 值为 与 证明：① 与 互为相反数；②
；
(2)设 .若 存在两个不同的极值点 、 ，证明 .
参考数据： ，
13．已知函数f(x)＝lnx+1， 是f(x)的导函数．
(1)令函数 ，求g(x)的最小值；
(2)若关于x的方程 恰有两个不同的实根x，x．
1 2
①写出实数a的取值范围（不需要证明）；
②证明：|x﹣x|＞ ﹣1．
2 1
学科网（北京）股份有限公司 53.乘积不含参型
14．已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
15．已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
16．已知函数 ，直线 与曲线 相切．
(1)求实数 的值；
学科网（北京）股份有限公司 6(2)若曲线 与直线 有两个公共点，其横坐标分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
17．（ 2022春·广东深圳·高二统考期末）设函数 ，已知直线 是曲线 的
一条切线.
(1)求 的值，并讨论函数 的单调性；
(2)若 ，其中 ，证明： .
18．已知函数 ．
(1)当 ， 和 有相同的最小值，求 的值；
(2)若 有两个零点 ，求证： ．
学科网（北京）股份有限公司 719．已知函数 .
(1)求 在 上的最小值.
(2)设 ，若 有两个零点 ，证明： .
20．已知 是实数，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个相异的零点 且 ，求证： ．
4.乘积含参型
21．已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求 的最值；
(2)证明： .
学科网（北京）股份有限公司 822．已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
23．已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，且当 时， ，证明： ．
24．已知函数 ， .
(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
学科网（北京）股份有限公司 925．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
5.平方型
26．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
27．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
学科网（北京）股份有限公司 1028．已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．
1．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
(1)求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
(2)当 时，比较 与 （ 为自然对数的底数）的大小.
2．已知函数 ， ， 是曲线 上两个不同的点.
(1)求 的单调区间，并写出实数 的取值范围；
(2)证明： .
学科网（北京）股份有限公司 113．已知 （ 为常数）.
(1)求 的极值；
(2)设 ，记 ，已知 为函数 的两个零点，求证： .
4．设 .
(1)令 ，求 的单调区间；
(2)当 时，直线 与 的图像有两个交点 ，且 ，求证： .
5．设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 无零点，求实数 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
学科网（北京）股份有限公司 126．已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）若方程 有两个根 ，证明： .
7．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 的两个零点为 ，证明： .
8．已知函数 在 （ 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数 的取值范围；
（2）记函数 的两个零点为 ， ，证明： ．
学科网（北京）股份有限公司 139．已知函数 .
（1）证明：曲线 在点 处的切线 恒过定点；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： .
10．已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ，证明： 且
．
11．已知定义在 上的函数 ．
（1）若 为定义域上的增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 ， ， ， 为 的极小值，求证： ．
学科网（北京）股份有限公司 14
