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专题02 带电粒子在有界匀强磁场中的运动模型
一．带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
1．轨迹圆心的两种确定方法
(1)已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度方向的垂线，交点即为圆心，如图所示。
(2)已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的
弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，
如图所示。
2．三种求半径的方法
(1)根据半径公式r＝求解。
(2)根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。
(3)根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则
有关系式r＝。
3．四种角度关系
(1)如图所示，速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)。
(2)圆心角α 等于AB 弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2 倍(φ＝α＝2θ＝ωt)。
(3)相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°。
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(4)进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。
4．两种求时间的方法
(1)利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T。
(2)利用弧长s 和速度v 求解，t＝。
二．带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动模型
如图所示，进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等。
三．带电粒子在平行边界或三角形边界匀强磁场中的运动模型
这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，通常有两种情况，一种是从磁场
边界端点飞出，如图甲所示；另一种是与磁场边界相切，如图乙、丙所示。
四．带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动模型
1.粒子沿圆形区域匀强磁场的半径方向垂直射入磁场，必沿半径方向射出磁场，如图甲所示。
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2.粒子射入磁场的速度方向与入射点和磁场圆心连线的夹角等于射出磁场的速度方向与出射点和磁场圆心
连线的夹角，如图乙所示。
【模型演练1】如图所示，质量为m，电荷量为q 的负离子，以速度v 垂直于荧光屏S 经过小孔O 射入
匀强磁场中，磁场方向与离子的运动方向垂直，磁感应强度的大小为B，处于真空中。求：
(1)离子打在荧光屏上的位置离O 点的距离是多少？
(2)若离子进入磁场后经过一段时间到达P 点，已知OP 连线与入射方向的夹角为θ，求离子从O 到P
所经历的时间？
【规律方法】分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点
(1)确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。
(2)掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。
【模型演练2】如图所示，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子从x 轴正方向上的P 点以速度
v 沿与x 轴成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直y 轴射出第一象限。已知OP＝a，不
计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子在磁场中运动的半径；
(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(3)带电粒子穿过第一象限所用的时间。
【方法总结】带电粒子在有界磁场中做圆周运动的分析步骤
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【模型演练3】带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s
沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度
L＝10 cm，如图所示(粒子重力忽略不计，结果保留2 位有效数字)。求：
(1)带电粒子离开磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d。
【模型演练4】在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂
直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿
－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出。
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A 处以相同的速度射
入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小；此次粒子在磁
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场中运动所用时间t 是多少？
1．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考期末）如图所示，边长为
的正三角形abc 区域内
存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），正三角形中心O 有一粒子源，可以沿abc 平面任意方
向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v 时，恰好没有粒子穿出磁场区域，
不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度大小为2v 时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度大小为2v 时，在磁场中运动的最短时间为
2．（2024 上·北京延庆·高二统考期末）在一个圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场，现有两个质量
相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a 和b，先后以不同的速率从圆形区域边沿的A 点对准圆心O 射
入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力
均可忽略不计，下列说法正确的是（ ）
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A．a 粒子带正电，b 粒子带负电
B．a 粒子的动能较大
C．b 粒子在磁场中所受洛伦兹力较小
D．b 粒子在磁场中运动的时间较短
3．（2023 上·辽宁大连·高二统考期末）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地
球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O 为地球球心、R 为地球半径，假设地磁场只分布
在半径为R 和2R 的两边界之间的圆环区域内（边界上有磁场），磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向
外。宇宙射线中含有一种带电粒子，其质量为m、电荷量为q，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下列
说法正确的是（ ）
A．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
B．从A 点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
C．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
D．从A 点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为
的粒子可达到地面
4．（2023 上·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感
应强度大小为 B，边界分别是半径为 R 和2R 的同心圆，O 为圆心。在圆心 O 处有一粒子源（图中未画
出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为
的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽
略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知：
若所有的粒子都不
能射出磁场（不考虑粒子再次进入磁场的情况），则下列说法正确的是（ ）
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A．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
B．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
C．粒子速度的最大值为
D．粒子速度的最大值为
5．（2023 下·高二课前预习）如图所示，一半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量
为m、电荷量为q 的正电荷（重力忽略不计）以速度v 沿正对着圆心O 的方向射入磁场，从磁场中射出时
速度方向改变了θ 角。磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 上·河北张家口·高三统考期末）如图所示，在直线
上及其下方的半圆形区域内、外分别存在
磁场方向垂直纸面向外和向里的匀强磁场。已知半圆的圆心为
，半径为，
、
、
三点共线，
是圆外一点且
。一质量为
，电荷量为
的带正电粒子从
点在纸面内沿
垂直于磁场射
入半圆中，第一次从A 点（图中未画出）沿圆的半径方向射出半圆形区域后从
点垂直
离开磁场区域。
不计粒子重力，半圆内、外磁场的磁感应强度大小之比为（ ）
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A．1:2
B．1:3
C．1:4
D．1:5
7．（2024 上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）如图所示，在直线边界
上方有垂直纸面向里的匀强磁场，两
个相同的带电粒子先后从
上的O 点以相同的角度垂直射入磁场中，然后分别从
上的M、N 两点射出
磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．两粒子均带正电
B．两粒子的速度大小相等
C．两粒子射出磁场时的速度方向不相同D．两粒子在磁场中的运动时间一定相同
8．（2023 上·辽宁大连·高二育明高中校考期中）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸
面）如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的
质量为m，电荷量为q（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与
OM 成30°角，已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重
力。则粒子离开磁场时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·陕西渭南·统考一模）分别带正、负电荷的A、B 两个粒子，以相等速率从匀强磁场的直线边界
上的M、N 点分别以60°和30°（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从M、N 两点之间的P 点射出，已
知MP 与PN 长度之比为
：2，如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则
A、B 两粒子的比荷之比为（ ）
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A．2：1
B．3：2
C．2：3
D．1：2
10．（2023 上·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）如图所示，OACD 是一长为OA＝L 的矩形，其内存
在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q 的粒子从O 点以速度
垂直射入磁场，速度方向与
OA 的夹角为α，粒子刚好从A 点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．匀强磁场的磁感应强度为
C．粒子从O 到A 所需的时间为
D．矩形磁场的宽度最小值为
11．（2023·吉林·统考二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚
线所示，
，
，一束
粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各
种速率。不计粒子之间的相互作用。已知
粒子的质量为3m，电荷量为2q。在磁场中运动时间最长的粒
子，其运动速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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12．（2023 下·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考开学考试）如图所示，在纸面内半径为R 的圆形区域中
充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，一点电荷从图中A 点以速度v0沿水平方向入射，速
度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C 点（未画出）反向射出，不计电荷的重力，下
列说法正确的是（ ）
A．该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O 点
B．该点电荷在磁场中的运动时间为
C．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间为
13．（2023 上·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图所示，一质量为m 的带电粒子从P 点以垂直于磁场边
界方向的速度v 射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为
。设磁感应强度为B、磁场宽度为
d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法错误的是（ ）
A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做的功为0
B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0
C．该粒子的比荷为
D．该粒子在磁场中运动的时间为
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14．（2023 上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）如图（a）是一种防止宇宙射线危害宇航员的装置，
在航天器内建立半径分别为R 和
的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）
所示。 宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为
，质子的电荷量为e、质量为m。
下列说法中正确的是（ ）
A．若沿着任何方向入射的一切质子都无法进入防护区，则磁场的磁感应强度大小应当至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁场的磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总
时间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心
角为60°
15．（2023 上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中校联考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系内有半
径为
的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，圆心与坐标原点重合。在坐标为
的
点放
置一个粒子源，该粒子源能在纸面内以速率v（未知量）向各个方向发射大量的带正电的粒子，且沿Y 轴
正方向射入的粒子恰好从圆形磁场的最左端点射出。若粒子进入磁场时的速率变为
，则有粒子射出的
圆形磁场的弧长为（不计粒子的重力及粒子间的相互作用）（ ）
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A．
B．
C．
D．
16.（多选）（2024 上·广东广州·高二广州大学附属中学校联考期末）a、b 两个带正电的粒子经同一电场由
静止加速，先后以
、
从M 点沿MN 方向进入同一矩形匀强磁场区域，经磁场偏转后分别从PQ 边E、F
离开。直线ME、MF 与MQ 的夹角分别为30°、60°，粒子的重力不计，设a 粒子运动的速度为
，b 粒子
运动的速度为
，a、b 粒子在磁场中运动的时间分别为t1和t2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
小于
B．
大于
C．
大于
D．
小于
17．（多选）（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，边长为L 的等边三角形
区域外存在垂直于
所
在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q 两点分别为
边的三等分点。
时刻，带负电的
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粒子在
平面内以初速度
从a 点垂直于
边射出，从P 点第一次进入三角形
区域。不计粒子重力，
下列说法正确的是（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子可以运动到Q 点
C．粒子第一次到达c 点的时间为
D．粒子第一次回到a 点的时间为
18．（2023 下·高二课前预习）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 是它的下
边界。现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选）（2023 上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）空间存在如图所示相邻的两个匀强磁
场，磁场Ⅰ的宽度为d，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；磁场Ⅱ的宽度为2d，方向垂直纸面向
外。现让质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以大小为
的水平速度垂直磁场Ⅰ从P 点射入磁场，粒
子在磁场中运动后恰好从磁场Ⅱ的边缘C 处水平射出。不计粒子所受的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。
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下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为
B．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为B
C．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B
D．粒子在两磁场中运动时圆弧所对的圆心角均为37°
20．（多选）（2024·福建·一模）如图所示，O 点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，ON 为圆的半径，长度为R，从圆上的A 点沿AO 方向以速度v 射入一个不计
重力的粒子，粒子从N 点离开磁场。已知
，则（ ）
A．粒子带负电荷
B．做圆周运动的半径为
C．粒子的电荷量大小与质量的比值为
D．粒子在磁场中运动的时间为
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