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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第12 章 磁场
第12.7 讲 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【知识点精讲】
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，问题形成多解。根据多解形成原
因，常见的有如下三种情况：
一、 带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁
场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场：若带正电，其轨迹为
a；若带负电，其轨迹为b。
二、 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，它可能穿过磁场飞出，也
可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，如图所示。
三、 磁场方向不确定形成多解
对于题目只给出磁场方向垂直于纸面等，而没有明确方向的问题，可能由于磁场方向不确定形成多解。
四、运动具有周期性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解。
【方法归纳】
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态
不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．带电粒子在磁场中运动的多解问
题解题思路：
1
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(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
【最新高考题精练】
1.. （2023 高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y
轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，
电量为q 的带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【参考答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【名师解析】
（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
2
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粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
由sinθ=
=0.8，解得
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
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再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有，
沿y 方向上有，
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
，
，
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
2.(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一部分充满
方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为
B，SP 与磁场左右边界垂直．离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且
与SP 成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，
则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为( )
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A.kBL,0°
B.kBL,0°
C．kBL,60°
D．2kBL,60°
【参考答案】 BC
【名师解析】 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图，
根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角斜向上，故
出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当离子在两个磁场均运动一次时，如图，因为两个磁场的磁感应强度
大小均为B，则根据对称性有R＝L，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入
射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此
时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C 正确，A、D 错误．
【最新模拟题精练】
1. （2023 广东实验中学三模）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子
垂直
于挡板从板上的小孔
射入磁场，另一带电粒子
垂直于磁场且与挡板成
角射入磁场，
、
初速度大
小相等，两粒子恰好都打在板上同一点
（图中未标出）。不计重力，下列说法正确的是（ ）
5
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A.
、
的电性一定相同
B.
、
的比荷（荷质比）之比为
C. 若
在
点左侧，则
在磁场中运动时间比
长
D. 若
在
点右侧，则
在磁场中运动路程比
长
【参考答案】ABD
【名师解析】
根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相同，故A 正确；
BCD．令两粒子都带正电，粒子的运动轨迹如图所示
，
点在
点的左侧，根据几何知识有
因为
所以粒子做圆周运动的半径为
则
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根据图形可知，该种情况下
粒子做圆周运动的路程小于
粒子的路程，根据
可知，
、
两粒子的速度相等，
粒子的路程小于
粒子的路程，所以
粒子的运动时间小于
粒子；
当两粒子都带负电时，两粒子的运动轨迹如图所示
，
点在
点的右侧，根据几何知识有
则
根据图形可知，该种情况下
粒子做圆周运动的路程大于
粒子的路程，故BD 正确，C 错误。
2.（2023 重庆沙家坝重点中学质检） 如图，足够长的荧光屏OA 的上方区域存在匀强磁场，边界MN 左侧
区域的磁场方向垂直纸面向里，右侧区域的磁场方向垂直纸面向外，两区域的磁感应强度大小均为B。光
屏上方有一粒子源紧挨着O 点，可沿OA 方向不断射出质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子。粒子打在荧
光屏上时，荧光屏相应位置会发光。已知粒子的速率可取从零到某最大值之间的各种数值，速率最大的粒
子恰好垂直打在光屏上，OM 之间的距离为
，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（ ）
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A. 粒子的最大速率为
B. 荧光屏上的发光长度
C. 打中荧光屏的粒子运动时间的最小值为
D. 打中荧光屏的粒子运动时间的最大值为
【参考答案】AC
【名师解析】
速率最大的粒子恰好垂直打在光屏上，轨迹如图所示
设轨道半径为r1，即
OO1=r1
O1O2=2r1
可知圆心角
∠OO1K=60°
故
可解得
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r1=2a
由向心力公式可得
联立可解得
此过程，在磁场中的运动时间最短，MN 左侧轨迹圆心角60°，右侧轨迹圆心角150°，周期公式为
故总时间为
故AC 正确；
当粒子的轨迹恰与MN 相切时，进入右侧后，恰与MA 相切，在磁场中的运动时最长。如图所示
由几何关系得
两边轨迹合起来恰好
一个圆周，故最长时间
垂直打到荧光屏的位置离M 最远，与荧光屏相切点离M 最近，两点之间距离即为光屏上的发光长度，即
故BD 错误。
3. (2023 云南昆明一中第9 次质检)如图所示，空闻有半径为R 的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方
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向垂直于纸面，在距圆心O 为
处有一粒子源，
时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相
同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为
，则（ ）
A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【参考答案】AD
【名师解析】如图1 所示，当粒子的轨迹以AB 为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆心角为
，故
粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为
，A 正确B 错误。
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．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2 所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为
，故C 错误，D 正确。
4..（2023 山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
为B，在磁场边界上的M 点放置一个放射源，能在纸面内以速率v 向各个方向发射大量的同种粒子，粒子
的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为
。下
列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为
时，有粒子射出的边界弧长变为
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D．若粒子入射速率为
时，有粒子射出的边界弧长变为
【参考答案】．C
【名师解析】．由题意，如图所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出点N 离M 最远，
此时
对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有
解得
故A 错误；
粒子在磁场中运动的周期为
当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1 个周期，故B 错误；
将磁感应强度大小改为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为
故C 正确；
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若粒子入射速率为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为
，所以有粒子射出的边界弧长变为
故D 错误。
5．(2023 广东重点高中期末)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定
厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图所示。图中给出了速度在图示平面内，从O 点沿平行与垂直地面
2 个不同方向入射的微观带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰不能到达
地面。则下列相关说法中正确的是（ ）
A．沿a 轨迹运动的粒子带负电
B．若沿a、c 两轨迹运动的是比荷相同的粒子，则c 粒子的速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只是改变射入地磁场的速度方向，则只要其速度在图示平面内，
粒子可能到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
【参考答案】．ABD
【名师解析】由左手定则可知，沿a 轨迹运动的粒子带负电，故A 正确；
由
，可得
，可知比荷相同时，速率越大，轨迹运动的半径越大，则c 粒子的速率更大，
故B 正确；
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沿轨迹a 运动的粒子平行于地面射入且恰好不能到达地面，轨迹a 与地面相切，所以沿轨迹a 运动的粒子
恰好不能到达地面时在地磁场中的位移为2ra，已达到最大值，故只要该粒子速率不变，不论沿着什么方
向入射都不会到达地面，故C 错误；结合图像可知，沿轨迹b 运动的粒子在磁场中的位移还未达到2rb 时，
就已经与地面相切，因此改变入射方向，该粒子有可能到达地面，故D 正确。
6. （2022 山东聊城二模）如图所示，某粒子分析器由区域I、区域Ⅱ和检测器Q 组成。两个区域以垂直x
轴的平面P 为界，其中区域I 内有沿着z 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，区域Ⅱ内只有沿着z 轴正方向的
匀强磁场，电场强度大小为E，两个区域内的磁感应强度大小均为B。当粒子撞击检测器Q 时，检测器被
撞击的位置会发光。检测器中心在轴上，在检测器所在平面上建立与xOy 坐标系平行的坐标系。一质量为
m、带电荷量为q 的带正电粒子从A 点沿x 轴正方向以初速度v0射入，若区域I 内只存在匀强磁场，粒子轨
迹圆的圆心恰好是O 点，平面P 到O 点的距离
，运动过程中粒子所受重力可以忽略不计。
（1）求A 点的位置，用坐标（x，y）表示：
（2）若区域I 只有匀强电场E，当检测器Q 置于平面P 所在位置时，求检测器上发光点的位置，用坐标
（x，y）表示：
（3）当检测器距O 点的距离为d 时，求检测器上发光点的位置，用坐标（x，y）表示。
【参考答案】（1）
；（2）
；
（3）当
时坐标为
，
当
时，坐标为
【名师解析】
（1）由洛伦兹力提供向心力有
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解得
则A 点坐标为
；
（2）粒子做类平抛运动，有
解得
则
则发光点的位置为
；
（3）①当
时，粒子的运动可以分解为沿z 轴方向初速度为零的匀加速直线运动和xOy 平面内速度为
的匀速圆周运动
解得
根据
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解得
则
发光点的位置坐标为
；
②当
时，在区域Ⅱ内粒子的运动可以分解为沿
轴方向的匀速直线运动和
平面内速度为
的匀
速圆周运动，刚出区域Ⅰ时，粒子的坐标为
，沿
轴的速度为
粒子在区域Ⅱ运动的时间
根据几何关系可知，打在检测器上的坐标为
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发光点的位置为
。
7．（2023 湖北荆州重点高中质检）如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子从圆周上的M 点
射入磁场。不计重力，求：
（1）如果一个带电粒子沿直径MON 方向射入磁场，速度
，该粒子在磁场中运动的时间为多少；
（2）如果大量相同的带电粒子以相同的速率
在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，
，求粒子
在磁场中运动的时间的最大值；
（3）如果大量相同的带电粒子以相同的速率
在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，
，求这些
粒子在磁场边界上出射点分布的长度？
【参考答案】．（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）由
，
，
可得
，
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示。
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圆弧对应的圆心角
，由
，
可得
（2）由
，可得
，粒子在磁场从N 点射出时的时间最大，如图所示。
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角
，
粒子在磁场中运动的时间的最大值
（3）由
，可得
，
粒子在磁场边界上出射点距M 点最远时，轨迹弧为一半圆，如图所示。
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的
，即
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