文档内容
考点 47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极
值和多解问题
1. 3年真题考点分布
题型 选择题（压轴）、解答题（压轴题）
1. 有界磁场中的临界问题；
高考考点
2. 带电粒子在磁场中的圆周运动的多解问题；
2023 浙江卷23题、
新高考 2022 湖北8题、浙江卷23题、广东卷7题、
2021 海南卷13题、湖南卷13题、湖北卷14题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于本节内容考查共计7次，主要考查：
1. 有界磁场中的临界问题；
2. 带电粒子电性不确定的多解问题；
3. 临界状态不唯一形成的多解问题；
4. 带电粒子运动的往复性形成的多解问题。
【备考策略】熟练掌握四种处理有界磁场的临界问题；理解并掌握带电粒子在磁场中运动时形成的多解问
题。
【命题预测】本节内容的难度角度，在高考题中往往以选择题或解答题的压轴题的形式出现，对物理成绩
要求较高的考生，务必掌握好本节内容。考法 1 有界磁场中的临界问题
角度 1 ： “放缩放”解决有界磁场中的临界问题
速度方向一
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带
定，大小不
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
同
适用
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越
条件
轨迹圆圆心 大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场
共线 后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′
上
界定 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，
方法 这种方法称为“放缩圆”法
【典例1】（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图所示，空间中有一个底角均为 的梯形，上
底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，
可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小
可能为（ ）A． B． C． D．
【变式】（2022·广东·模拟预测）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，
磁场的磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计）以速度v从AC边的中点
O垂直AC边射入磁场区域.若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为
A． B．
C． D．
角度 2 ： “旋转法”解决有界磁场中的临界问题
模型二 “旋转圆”模型的应用
速度 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它
适 大小 们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v，则圆周
0
用 一
运动半径为R＝。如图所示
条 定，
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径
件 方向
轨迹圆圆心共圆
不同
R＝的圆上
界定 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为
方法 “旋转圆”法
【典例2】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于底面向里，磁感应强度的大小 ，
磁场内有一块较大的平面感光板 ，板面与磁场方向平行，在距 的距离 处，有一个点状的 粒子
放射源 ，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速度都是 ，已知 粒子的电荷量与质量之比
，现只考虑在图纸平面内运动的 粒子，则感光板 上被 粒子打中区域的长度
（ ）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
【变式】如图所示，在等腰直角三角形 区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，
边长 。大量相同的带负电的粒子以不同的速率，在纸面内沿不同的方向从 点射入磁场。已知粒子
质量为 ，电荷量为 ，粒子间的相互作用和重力可忽略，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最
大值是（ ）
A． B． C． D．
角度 3 ： “平移圆”模型的应用
速度大小一
定，方向一 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直
适
定，但入射 线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径
用
点在同一直 相同，若入射速度大小为v，则半径R＝，如图所示
0
条
线上
件
轨迹圆圆心 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平
共线 行
界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
【典例2】(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R ＝16 cm，内环的半径R ＝4 cm，外环
1 2
和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速
度大小均为v ＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，
0经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场
边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
角度 4 ： “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发
出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，
以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心 O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
OA(OB、OC)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1 2 3【典例4】(2022陕西西安八校联考)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小
相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在
磁场中运动的最长时间为( )
A. B．
C． D．
【变式】(多选)(2022·山东省日照市高三下二模)如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为
q，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
考法 2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
角度 1 ：带电粒子电性不确定形成的多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子
在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹
为a；若带负电，其轨迹为b。【典例5】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，
质量为m、电荷量为q，以与边界成 角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度
的大小范围。（不计粒子重力）
【变式】如图所示，L 和L 为两条平行的虚线，L 上方和L 下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀
1 2 1 2
强磁场，A、B两点都在L 上。带电粒子从A点以初速度v 与L 成 角斜向右上方射出，经过偏转后正好
2 0 2
过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点
B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L 成 角斜向右上方，它将不能经过B点
2
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
角度 2 ：磁场方向不确定形成的多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面
向外，其轨迹为b。
【典例6】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B=1T，t=π×10-
0 0
5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v=103m/s的正
0
点电荷，比荷 =1×106C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t= 10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值T 和
0 min
相应的k值。
【变式】（多选）（2023·广东·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感
应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上
（0， ）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的
轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为
C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
角度 3 ：临界状态不唯一形成的多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，
也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
【典例7】（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的 点，以相同的速率
在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为 。当 时，
粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电 B．当 时，粒子也垂直x轴离开磁场C．粒子入射速率为 D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【变式】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强
磁场，磁感强度大小为 ，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙
所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在 时刻由a点沿ab方向射入磁场区，
已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且 ，关于电子在磁场中的
运动，以下说法中正确的是（ ）
A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是
角度 4 ：带电粒子运动的往复性形成的多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例8】（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在 ， 的区域中，存在沿y轴正方向、
场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的
带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度 的大小和粒子的初速度 ；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
【变式】如图所示，在xOy坐标系的第Ⅰ象限内充满了沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内充满了垂直
纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点以垂直于y轴和电场的初
速度 进入匀强电场，一段时间后经过x轴上的Q点进入匀强磁场，进入磁场时的速度方向与x轴正方向
成 角，已知 ，若粒子在磁场中运动一段时间后恰好能再回到电场，不计粒子重力。求：
（1）带电粒子进入匀强磁场时的速度；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间。【基础过关】
1．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹
如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）
A．N带负电，M带正电 B．N的速率大于M的速率
C．N的运行时间小于M的运行时间 D．N的运行时间等于M的运行时间
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考三模）如图所示，边长为 正方形区域 内无磁场，
正方形中线 将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为 的匀强磁场区域， 右侧磁场方向垂
直于纸面向外， 左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为 ，电荷量为 的
正粒子从 中点以某一速率垂直于 射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的
是（ ）
A．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于 射入正方形区域内，则粒子的速度可能为3．（2022春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系I象限
内（包含x、y坐标轴）有方向垂直xOy平面向外、大小为B的匀强磁场。点P （2a，a）处有一个粒子源，
在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度方向均在xoy平面内，速度大小均为
，不计粒子间的相互作用。下列关于粒子在坐标轴上射出的范围，判断正确的是（ ）
A．x轴上［0， 4a］范围有粒子射出 B．x轴上（a，（2 + ）a］范围有粒子射出
C．y轴上［0，a］可范围有粒子射出 D．y轴上［a， 2a］范围有粒子射出
4．（多选）（2023春·云南临沧·高二校考期末）如图所示，三角形OCA存在磁场，C点坐标为（4L，
3L），M点为OC的中点，质量为m、带电量为-q的粒子从C点以沿y轴负方向射入磁场中，速度大小为
，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场，则（ ）
A．粒子能到达M点，三角形OCA中磁感应强度大小
B．粒子能到达M点，三角形OCA中磁感应强度大小
C．粒子不会到达x轴下方，三角形OCA中磁感应强度可能为
D．粒子不会到达x轴下方，三角形OCA中磁感应强度可能为
5．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab
＝l，射线bc足够长， abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒
子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正
确的是（ ）A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等
D．粒子在磁场中最长运动时间约为
6．（多选）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边
界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度
不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷 ，则质子的速度可能为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），
从A点以速度v 垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出， 。
0
（1）在图中作出该带电粒子运动轨迹的圆心O 的位置；
1
（2）求该粒子在磁场中运动的轨迹半径；
（3）求该粒子在磁场中运动的时间。8．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，
其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略
重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为多少。9．（2021秋·江苏无锡·高二统考期末）如图所示，平行的N、M、P为两匀强磁场区域的边界，N与M、
M与P间距分别为l、l，两磁场的磁感应强度分别为B 和B，磁场方向均垂直纸面向里。现有电荷量为
1 2 1 2
+q、质量为m的带电粒子射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)若有大量该种粒子以大小为v、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，
1
求粒子速度v 的大小；
1
(2)用阴影画出(1)中粒子在磁场Ⅰ中所能到达的区域，并求出该区域的面积；
(3)若有一个粒子从Q点以速度v 垂直于边界N及磁场方向射入磁场，粒子能穿过两个磁场区域，求v 的最
2 2
小值。
10．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正
对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂
直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周
期与磁感应强度变化的周期都为T，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
0
（1）磁感应强度B 的大小；
0
（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 的可能值。
0【能力提升】
1．1．（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示， 平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，磁
感应强度大小 的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x轴正方
向上一点， 现有一个比荷大小为 ，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下
端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞
时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·湖北·模拟预测）如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大
小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大
小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D点，已知质
子的比荷 ，则质子的速度不可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·安徽宣城·安徽省宣城市第二中学校考模拟预测）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含
边界）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长 ，一质量为
m、带电量为－q（q > 0）的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2021·陕西西安·校考模拟预测）边长为a的等边三角形 区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为 的带电粒子（不计重力）从 边的中点沿平
行 边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（ ）
A．从 边射出的粒子的最大速率为
B．从 边射出的粒子的最大速率为
C．能从 边射出的粒子最小速率为
D．能从 边射出的粒子最小速率为
5．（多选）（2020·山西太原·太原五中校考二模）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀
强磁场（图中未画出），AB边长度为d， 。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速
度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子
0
在磁场中的运动时间为 （不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
0B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
6．（多选）（2022·全国·模拟预测）据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将
没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环
状磁场的内半径为R，外半径为R，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的
1 2
速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R 的区域内，则
2
环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）（2023·湖北荆州·荆州中学校考一模）如图所示，一粒子源S可向外发射质量为m，电荷量为
q带正电的粒子，不计粒子重力，空间充满一水平方向的匀强磁场，磁感应强度方向如图所示，S与M在
同一水平线上，某时刻，从粒子源发射一束粒子，速度大小为v，方向与水平方向夹角为θ，SM与v方向
在同一竖直面内，经时间t，粒子到达N处，已知N与S、M在同一水平面上，且SM长度为L，NM与SM
垂直，匀强磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A． B． C． D．8．（2023·吉林松原·松原市实验高级中学校考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，
其顶点坐标分别为（0，0），（0， d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q
的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒
子重力。
（1）求M点到O点的距离；
（2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，
求N点到O点的距离；
（3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。9．（2023·全国·模拟预测）如图所示直角坐标系中，在y轴和 之间以x轴为边界存在两个匀强磁场区
域Ⅰ、Ⅱ，磁场宽度为d，磁感应强度大小均为B、方向垂直于纸面。一粒子加速器放置在y轴上，其出射
口坐标为 且 ，其加速电压可调。初速度为0、质量为m、电荷量为 的粒子经加速器加速后平
行于x轴射入区域I，不计粒子重力。
(1)若 ，调节加速电压，粒子恰好从O点射出磁场，求加速电压的大小U；
(2)若 ，粒子仅经过x轴一次，然后垂直于 从区域Ⅱ射出，求粒子在磁场中运动的时间t；
(3)若粒子以 速度射入磁场，最终垂直于 射出，求y满足的条件。10．（2023·陕西西安·统考三模）如图所示，在直角坐标系xOy中，第一象限内有沿y轴负向的匀强电场，
场强大小为E，第四象限内有垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一正粒子从y轴
上坐标为(0，h)的P点，沿x轴正向射入第一象限，能通过x轴上坐标为(7h，0)的Q点．已知粒子的比荷
满足关系： ，不计粒子重力，求粒子在P点入射速度的所有可能值(用E，B表示)．【真题感知】
1．（全国·高考真题）直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁
感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大
小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与
ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距
离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中
虚线所示， 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A． B． C． D．3．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于 平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应
强度分别为 、 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第
1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知
甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔 ；
(3)乙的比荷 可能的最小值。4．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强
磁场；在x<0区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，
0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为 的中性粒子乙发生弹性正碰，且有
一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞
到下次相遇的时间 t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加
△
上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。5．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形 、
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢
移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入
磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打在探测板
的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为 ，探测板 的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界 时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到 距离L的
关系。
