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专题突破卷 11 带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、
三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）
60分钟
考点 考向 题型分布
带电粒子在磁场中 考向1：带电粒子在单边界磁场中的运 8单选+9多选+3
的运动（单边界、 动 计算
双边界、三角形、 考向2：带电粒子在双边界磁场中的运
四边形、圆边界、 动
临界问题、多解问 考向3：带电粒子在三角形磁场中的运
题） 动
考向4：带电粒子在四边形磁场中的运
动
考向5：带电粒子在磁场中运动的临界
问题
考向6：带电粒子在磁场中运动的多解
问题
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角
形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）（8 单选+9 多选+3
计算）
1．（2024高三·全国·专题练习）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入
匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）A．M带正电，N带负电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运动时间等于N的运动时间
【答案】D
【详解】A．由左手定则可判断出N带正电，M带负电，故A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
可得
由于两粒子的质量和电荷量都相等，且M粒子的轨道半径大于N粒子的轨道半径，则M的速率大于N的
速率，故B错误；
C．洛伦兹力始终与粒子的速度方向垂直，对M、N均不做功，故C错误；
D．粒子在磁场中运动半周，即运动时间为周期的一半，则有
由于两粒子的质量和电荷量都相等，则M的运动时间等于N的运动时间，故D正确。
故选D。
2．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一
部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向
垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角
为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ ）A． kBL，0° B． kBL，0° C．kBL，0° D．2kBL，60°
【答案】B
【详解】若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，
根据几何关系则有
R＝L
由
可得
根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为
θ＝60°
当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有根据洛伦兹力提供向心力，有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为
θ＝0°
通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足
此时出射方向与入射方向的夹角为
θ＝60°
当离子从上部分磁场射出时，需满足
（n＝1，2，3…）
此时出射方向与入射方向的夹角为
θ＝0°
故选B。
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直指
向dc边的速度方向向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为
m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为
【答案】B
【详解】A．粒子的可能轨迹如图所示
可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故A错误；
B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与bc边相切，即轨迹2，切点处对应圆心角为180°，时间为
其余在bc边射出的粒子的运动时间均小于此值，故B正确；
C．与cd边相切的粒子，轨迹如4，由几何关系知其轨迹半径为0.75L，其切点在c点左侧，故粒子不可能
过c点，故C错误；
D．粒子要想离开长方形区域，临界轨迹如1，则由几何关系得其轨迹半径为0.25L，设此时速率为v，根
据牛顿第二定律
解得
可知若要使粒子离开长方形区域，速率至少为 ，故D错误。故选B。
4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的
质量均为m，电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知
粒子带负电， = = d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
【答案】C
【详解】A．由题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的
P点，可以画出其轨迹1，如图所示，可知SP为直径，由几何关系则有
得
由洛仑兹力提供向心力可得得
A错误；
B．粒子的运动周期
得
从O点射出的粒子如轨迹3，由几何知识可得轨迹3所对应的圆心角为60°，在磁场中的运动时间
故B错误；
C．从x轴上射出磁场的粒子中，运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子（轨迹2），对应的圆
心角为270°，得
运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子（轨迹3），此时对应的圆心角为60°，得到
所以
故C正确；
D．沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的
距离为d，故D错误。
故选C。
5．（2024·河南·二模）如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场），位于x轴
上的Р点有一粒子发射器，沿与x轴正半轴成 角方向发射不同速率的电子，已知当速度为 时，粒子恰
好从О点沿y轴负方向离开坐标系，则下列说法正确的是（ ）A．如果 ，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
B．如果 ，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
C．如果 ，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
D．如果 ，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
【答案】B
【详解】AB．当速度为 时，粒子恰好从О点沿y轴负方向离开坐标系，作出此时的轨迹如图所示
该轨迹恰好与y轴相切，若 ，粒子速度越大，轨迹半径越大，轨迹飞出点逐渐从上述轨迹的切点位置
上移，可知，对应轨迹圆心角 越小，根据
可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故A错误，B正确；
CD．若 ，结合上述可知，粒子轨迹为一段优弧，粒子从x轴正方向射出，根据单边有界磁场的对称
性，飞出的速度方向与x轴正方向夹角仍然等于 ，根据几何关系可知，轨迹所对应的圆心角始终为，根据
可知，如果 ，则在磁场中运动的时间一定，与速度大小无关，故CD错误。
故选B。
6．（24-25高三上·安徽·开学考试）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处
于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B， ， 。一质量为m、电荷量为
的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子能通过cd边的最短时间
B．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度
C．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度
D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度
【答案】D
【详解】A．粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，根据几何关系
解得
则转过的圆心角
即粒子在磁场中运动的周期
则粒子能通过cd边的最短时间
故A错误；
B．若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
故B错误；
C．若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其半径
根据
解得
故C错误；
D．若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点出射时半径最大，对应的入射速度最大，则故若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 ，故D正确。
故选D。
7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负
电粒子以速度 垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为 ，不计粒子受到的重力，下列说法正确
的是（ ）
A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】B
【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为选项A错误；
B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
选项B正确；
C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
选项C错误；
D．根据
解得匀强磁场的磁感应强度大小为
选项D错误。
故选B。
8．（2024·四川·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与
x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP=a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．该匀强磁场的磁感应强度
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径
D．带电粒子在磁场中运动的时间
【答案】C【详解】粒子恰好垂直于 轴射出磁场，作两速度的垂线交点为圆心 ，轨迹如图所示
C．根据几何关系可得
所以
故C正确；
AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
因轨迹圆的半径 可求出，但磁感应强度 未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故AB错误；
D．带电粒子圆周的圆心角为 ，而周期为
则带电粒子在磁场中运动的时间为
因为磁感应强度 未知，则运动时间无法求出，故D错误。
故选C。
9．（2024·河北·模拟预测）长7l、高2l的矩形区域abcd中，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。纸面内大量电荷量为q、质量为m的带负电粒子（不计重力），从d点以相等的速率 沿各个方
向射入磁场，e为bc边中点，如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大 B．be区域没有粒子射出
C．粒子在磁场运动的最大位移为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BCD
【详解】ABC．如图，轨迹与ab边相切的粒子位移最大，轨迹所对的线最长，运动时间最长，偏角最大，
根据
可得
r=5l
若轨迹与ab线切，则由几何关系可得af=4l，fb=3l，gf=l，则粒子恰好从bc边中点e射出，be区域没有粒
子射出；可得最大位移为
选项A错误，BC正确；
D．由几何关系可知圆弧dfe所对的圆心角为直角，则时间为四分之一周期
所以D正确。
故选BCD。10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸
面向里的匀强磁场，O为区域磁场圆心。现有一质量为m，带电量为-q（ ）的粒子从距直径MON为
的P点平行于直径MON方向射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆心O。不计粒子重力，则下列说法正确
的是（ ）
A．粒子运动的轨道半径为R B．粒子射入磁场的速率为
C．粒子在磁场中运动时间为 D．粒子会从O点正下方射出磁场
【答案】AD
【详解】AD．作出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得可得
由几何关系
可得粒子运动的轨道半径为
由图可知，粒子会从O点正下方射出磁场，故AD正确；
B．由洛伦兹力提供向心力
可得粒子射入磁场的速率为
故B错误；
C．由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为
所以粒子在磁场中运动时间为
故C错误。
故选AD。
11．（2024·吉林白城·三模）两个质量相同的带电粒子 、 ，从圆上A点沿 方向进入垂直于纸面向里
的圆形匀强磁场， 为圆心，其运动轨迹如图所示，两粒子离开磁场区域的出射点连线过圆心 ，且与
方向的夹角为60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力，则（ ）A． 粒子带负电， 粒子带正电
B． 、 两粒子在磁场中运动的速度之比为2:3
C． 、 两粒子的电荷量之比为1:3
D． 、 两粒子在磁场中运动的周期之比为2:1
【答案】AB
【详解】A．根据图像确定洛伦兹力的分析，根据左手定则可知， 粒子四指指向与速度方向相反， 粒子
四指指向与速度方向相同，则 粒子带负电， 粒子带正电，故A正确；
D．沿磁场圆半径方向的粒子飞出磁场时沿磁场圆半径方向飞出，作出粒子运动的轨迹圆心如图所示
根据几何关系可知
，
两粒子在磁场中运动的时间相等，则有
解得故D错误；
C．粒子运动的周期
，
结合上述可以解得 、 两粒子的电荷量之比为2:1，故C错误；
B．令磁场圆半径为R，根据几何关系有
，
根据线速度的关系式有
，
结合上述解得
故B正确。
故选AB。
12．（2024·贵州·三模）如图所示，空间有平行于x轴的匀强磁场（磁场区域足够大），磁场的磁感应强度
大小为B，方向沿x轴正方向。质量为m、带电量为q的粒子从坐标原点O以大小为 的速度射出，该速
度平行于 平面且与x轴的夹角为 ，粒子重力不计。规定：沿着x轴正方向看去， 平面左边
区域为内侧、 平面右边区域为外侧。 ， 。则粒子离开O点后的运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．第一次返回x轴时到O点的距离为B．相邻两次回到x轴的时间间隔为
C．运动过程中离x轴的最大距离为
D．相邻两次回到x轴的时间间隔内粒子在 平面内侧和外侧运动的时间相等
【答案】AC
【详解】A．粒子沿x轴方向做匀速直线运动，速度大小为
粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，速度大小为为
周期为
粒子每运动一个周期，回到x轴一次，因此第一次返回x轴时到O点的距离为
故A正确；
B．相邻两次回到x轴的时间间隔为一个周期，即
故B错误；
C．运动过程中离x轴的最大距离为
故C正确；
D．粒子运动过程中，不可能运动到 平面外侧，故D错误。
故选AC。
13．（2024·贵州·模拟预测）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的
圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时运动方向与MN成30°角，MN长度
为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为
B．粒子从M到N所用的时间为
C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
D．圆形匀强磁场区域的最小面积为
【答案】CD
【详解】C．如图所示
由几何关系可以得到
可得粒子圆周运动的半径为
C正确；
A．从M到N，洛伦兹力冲量
又由得
A错误；
B．粒子从M到D时间
粒子从D到N时间
所以粒子从M到D时间
B错误；
D．圆形磁场直径最小值为MD长度
所以圆形磁场最小面积为
D正确。
故选CD。
14．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平面向里的匀强
磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为 和 ，坐标为 的P
点存在一粒子源，可以在 平面内向各个方向均匀发射速率为v，比荷为 的正电粒子，不计粒子重力
及粒子间相互作用，下列说法正确的是（ ）A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若 ，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若 ，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若 ，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过
【答案】BC
【详解】A．根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A错误；
B．根据半径公式
带入解得
如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为 ，则打在挡板上的粒子数
占总数的 ，故B正确；
C．打在挡板上的长度为两个临界②和③，对应的长度分别为
挡板上有粒子打到的线段长度为故C正确；
D．由于 ，可知粒子的轨迹半径为
打在MN的临界如图乙中④和⑤，QN段无粒子通过，故D错误。
故选BC。
15．（2024·广西柳州·三模）如图所示， 上方存在匀强磁场，同种粒子 从 点射入匀强磁场中，两
粒子的入射方向与磁场边界 的夹角分别为 和 ，且均由 点射出磁场，则 两粒子（ ）
A．运动半径之比为 B．初速率之比为
C．运动时间之比为 D．运动时间之比为
【答案】AC
【详解】A．设OP=2d，则由几何关系可知
可知ab的运动半径之比为 ，选项A正确；
B．根据可得
初速率之比为 ，选项B错误；
CD．根据
ab两粒子转过的角度之比为300 ：120 =5:2，则运动时间之比为 ，选项C正确，
° °
D错误。
故选AC。
16．（2024·四川巴中·一模）在平面直角坐标系 中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是
点为圆心，半径为 的一段圆弧，圆弧与 轴交于 、 两点，磁场下边界
是以坐标原点O为圆心，半径为 的一段圆弧。现有一束带负电的粒子沿 轴负方向以速度 射入该
磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 ，带电粒子质量为m，电荷量大小为
q，不计粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
A．正对 点入射的粒子离开磁场后不会过O点
B．若粒子速度变为 ，正对 点入射的粒子离开磁场后一定过O点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为D．所有入射粒子都一定过O点
【答案】CD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据
可知粒子在磁场中的轨道半径
正对 的粒子，圆心恰好在x轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图，根据勾股定理可知，进入无磁场
区域后，速度方向恰好指向O点，A错误；
B．若粒子速度变为 ，粒子在磁场中的轨道半径
正对 点入射的粒子离开磁场后，由上图可知，一定不过O点，B错误；
D．由于所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的正下方，半径均为4d，
所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移4d形状， 平移到O点位置，即所有粒子进入磁场后做
圆周运动的圆心到O点距离均为5d，如图，利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都
指向O点，因此所有粒子都过O点，D正确；
C．由D选项可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，如图该粒子在磁场中旋转了143o，因此运动的时间
C正确。
故选CD。
17．（2024·安徽淮北·二模）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运
动。如图所示，正方形 边长为 ，一束相同的正离子以相同的速度 垂直 边射入，如果在 的
某区域内存在着磁感应强度大小为 、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从 点射出，则（ ）
A．磁场方向垂直纸面向里 B．离子的比荷为
C．磁场区域的最小面积为 D．离子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，粒子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
B．画出粒子轨迹，如图可知为磁聚焦模型，故运动半径 ，再由
得
故B正确；
C．由图知，磁场区域最小面积为“叶”型面积
故C错误；
D．粒子最大圆心角为 ，则最长时间为
故D正确。
故选BD。
18．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t = 0时刻，磁场方向正好垂直于abc所
在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v 从a点垂直于ac边射出，并从P点第一次进入三角形
0
abc区域。粒子第一次和第二次经过bc边时，磁场方向会反向一次，磁感应强度大小始终为B，其余时间
磁场方向保持不变。不计带电粒子重力，求：
（1）粒子的荷质比；
（2）粒子从a点射出后第二次到达Q点的时间。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）设粒子做匀速圆周运动的周期为T，则
画出粒子的运动轨迹如图
粒子第二次到达Q点共经历三次圆周运动和三次匀速直线运动，由图可知联立有
19．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小
为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为 的粒子从分界线上的P点以速度
v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重
力。
（1）求OP之间的距离；
（2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入
时速度大小的可能值。
【答案】（1） （2）
【详解】（1）根据牛顿第二定律
得
粒子运动轨迹如图OP长度为
（2）粒子从 点离开一定是从区域Ⅰ与 相切离开磁场区域，故
根据几何关系
即
，
解得
20．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内有磁感应强度为B的匀
强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为-q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率
从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离 ，不计粒子重力。（ ）
（1）若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为多少？
（2）若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度为多大？【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）若粒子恰好能从N点射出，粒子的轨迹图如图甲所示，连接PN即为粒子做圆周运动的弦长，
连接PO，由 ，可知
∠POM=30°，β=60°
则有
∠PON=150°，α=15°
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，解得粒子运动周期为
∠PO′N=30°
则粒子在磁场中运动的时间为
（2）若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，如图乙所示，根据几何关系有其中
解得
由洛伦兹力提供向心力
可得
