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微点突破 6 磁聚焦 磁发散
目标要求 1.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。2.学会分析磁聚焦和磁发散问题。
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨
迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会
聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。
2．带电粒子的发散
如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相
等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形
磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
例1 (2023·广东清远市期末)如图所示，xOy坐标系中，第三象限存在沿x轴正方向的匀强
电场，第四象限与x轴和y轴相切的半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向
垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，其边界与x轴的切点为P点。x轴上方存在垂直纸面向外、磁
感应强度大小为B的匀强磁场Ⅱ。在第三象限(－2R，－R)处存在粒子源，带正电粒子由粒
子源无初速度释放后进入电场，在电场中加速后进入圆形磁场Ⅰ，又恰好以垂直于x轴的方
向经P点进入磁场Ⅱ，最后带电粒子都打到放置在x轴上的收集板上。带电粒子的比荷均为，
不计粒子间的相互作用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限(－2R，－)处，带电粒子仍
能打到放置在x轴上的收集板上，求收集板的最小长度L。
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例2 (2023·江苏常州市期中)如图所示，O′PQ是关于y轴对称的四分之一圆，在PQNM
区域有均匀辐向电场，PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的
任一位置经电场加速后都会从O′进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域，
磁场方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)求沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间；
(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
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________________________________________________________________________1.(多选)(2023·四川成都市一模)如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内
发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间
的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场
(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于
(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则( )
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足45°≤θ≤135°
2.(2023·山东淄博市一模)为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在
一个半径为R、圆心为O′的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小
为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O′右边的O点为中心放置一个足够大的
探测屏，探测屏与OO′连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且沿水平
方向的线状粒子源MN，O′在MN的中垂线上，O′到MN的垂直距离为1.5R。该粒子源各
处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子发射时的速度大小均相同，方
向均竖直向上，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O′O方向，不计粒子
重力和粒子间相互作用力。
(1)求粒子发射时的速度大小v；
0
(2)求粒子源左端点M与右端点N发射的粒子从发射到打到屏上所经历的时间之差Δt。
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3.(2023·湖南常德市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处匀强磁场，第一象限
内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向里，
A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC＝30°，OC的长度为2R，第二象限内的匀强磁场
分布在半径为R的圆形区域内，磁感应强度大小为B，圆形区域的圆心坐标为(－R，R)，圆
形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，
能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量
均为m，电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长CG＝2R的探测板，所有打到探测
板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不
计离子的重力及离子间的相互作用，求：
(1)圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v；
0
(2)从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t；
(3)探测板CG上有离子打到的区域长度。
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