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专题强化十九 动态圆问题
目标要求 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”
“旋转圆”“放缩圆”，找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模
型．
题型一 “平移圆”模型
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上
的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径
相同，若入射速度大小为v，则半径R＝，如图所示
0
适用条件
轨迹圆圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直
心共线 线与入射点的连线平行
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种
界定方法
方法叫“平移圆”法
例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场
方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平
行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速
度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区
域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运
动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为t ＝＝，选项D正确．
min
题型二 “旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强
磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初
速度大小为v，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
0
适用条件
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P
为圆心、半径R＝的圆上
轨迹圆圆
心共圆
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临
界定方法
界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小
B＝0.30 T．磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l
＝32 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v
＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg.若只考虑在图纸平面内运动
的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少？(不计粒子的重力)答案 40 cm
解析 α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨迹半径，
有qvB＝m，
由此得R＝20 cm，
由于2R>l>R，朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，
可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，
则此切点P 就是α粒子能打中的左侧最远点；
1
再考虑N的右侧．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心
作圆，交ab于N右侧的P 点，
2
此即右侧能打到的最远点；粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得
NP ＝＝16 cm
1
NP ＝＝24 cm
2
所求长度为PP＝NP ＋NP ＝16 cm＋24 cm＝40 cm.
1 2 1 2题型三 “放缩圆”模型
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强
适用条件 磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的变化而变化
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动
半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
轨迹圆圆心共线
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨
界定方法
迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边
界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质
量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种
速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．
设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆的圆心，如图所示．圆心角
θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时
β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.
例4 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴
圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径
方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径
为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立
解得B＝，故选C.
题型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为 B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量
为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，OA、OB、OC均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1 2 3
例5 (多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场
方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考
虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
答案 ACD
解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨
迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度
大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何关系
可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与
PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与 MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几
何关系可知，轨迹对应的圆心角小于 180°，粒子在磁场中的运动时间：t
C．使粒子的速率v>
D．使粒子的速度，即v>，故欲使粒子不打在极板
上，粒子的速度必须满足v<或v>，故选A、B.
5.如图所示，在直角三角形 abc 区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为
q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度
的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由左手定则和题意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，
运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径：
r＝ab·tan 30°＝L，由洛伦兹力提供向心力得qv B＝m，从而求得最大速度：v ＝，选项A、
m m
B、C错误，D正确．
6.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量
为－q(q>0)、速率为v ，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，
0
可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度
可以是下列选项中的(其中B ＝，A、C、D选项中曲线均为半径为L的圆弧，B选项中曲线
0
为半径为的圆)( )答案 AB
7.(多选)如图所示，在xOy平面内有一个半径为R、圆心位于坐标原点O的圆形磁场区域，
磁感应强度大小为B，在圆形磁场区域的左边有一个宽度也为R且关于x轴对称的粒子源，
它能连续不断地沿x轴正方向发射速度相同的带正电粒子，已知粒子的质量均为m、电荷量
均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用．若粒子均能够从y轴上的P点离开磁场区域，
则下列说法正确的是( )
A．磁场方向垂直xOy平面向外
B．粒子的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最大时间差为
D．粒子从P点离开磁场时与x轴正方向的夹角的范围为0≤θ≤
答案 BC
解析 由于粒子均向上偏转，由左手定则可知，磁场方向垂直于xOy平面向里，A错误；由
于粒子均能从P点离开磁场，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为R，
由qvB＝m，可知粒子的速度大小v ＝，B正确；在磁场中运动时间最长的粒子与运动时间
0 0
最短的粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的最长时间为 t ，则有t ＝＝，同理
1 1
粒子在磁场中运动的最短时间为t ＝＝，所以最大时间差为Δt＝t －t ＝，C正确；由几何关
2 1 2
系可知，粒子离开磁场时与x轴正方向的夹角的范围应为≤θ≤，D错误．8．(多选)如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强
度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在MN上O点放置了粒子发射源，能向
第二象限发射各个方向的速度为v ＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，
0
不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是
( )
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有粒子运动的区域面积为πL2
D．所有粒子运动的区域面积为
答案 AC
解析 由洛伦兹力提供向心力有qBv ＝m，代入数据解得r＝，所以A正确；粒子在磁场中
0
运动的最长时间为t＝T＝，所以B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，
由几何关系有S＝πr2＋π(2r)2＝πL2，所以C正确，D错误．
9．(多选)如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一
粒子源S. 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的
重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间有大量粒子从边界
OC射出磁场. 已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为
粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )A. B.
C. D.
答案 CD
解析 粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初
速度大小相等，根据
qvB＝m，则R＝，轨迹半径相同，如图所示
设OS＝d，当出射点D与S点的连线垂直于OA时，DS弦最长，轨迹所对的圆心角最大，
在磁场中运动时间最长，周期一定，则由粒子在磁场中运动的时间最长为，可得可知DS为
直径，轨迹半径为R＝d，当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的
圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短，则SE＝d，由几何知识，得θ＝60°，最短时
间t ＝T，所以，粒子在磁场中运动时间范围为T≤t≤T，A、B错误，C、D正确．
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10.如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，
大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v 射入磁场，不计粒子重
0
力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为
B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v 的取值范围．
0
答案 (1) (2)
