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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题58 放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用
导练目标 导练内容
目标1 放缩圆模型
目标2 旋转圆模型
目标3 平移圆模型
目标4 磁聚焦模型
【知识导学与典例导练】
一、放缩圆模型
粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场
速度方向一定，速度
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变
大小不同
化而变化
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也
越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在
适用条件
垂直初速度方向的直线PP′上
轨迹圆圆心共线
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这
界定方法
种方法称为“放缩圆”法
【例1】如图所示，在边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，有一群质量为m、电荷量为q的粒子，以大小不同的速度从a点沿ac方向进入磁场，从ab边或bc
边射出磁场。下列说法正确的是（ ）（不计粒子重力和粒子间的相互作用）A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动时间最长为
C．从b点飞出的粒子的轨迹半径为
D．从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c，运动时间越长
【答案】C
【详解】A．由左手定则可知粒子带负电，A错误；
B．粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示
最长时间为 ，B错误；
C．如图所示由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为 ，C正确；
D．如图所示
从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c对应的圆心角越小，运动时间越短，D错误。故选C。
二、旋转圆模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中
做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v，则圆周运动半径R＝，如图所示
0
适
速度大小
用
一定，方
条
向不同
件
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P
轨迹圆圆心共圆
为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
【例2】如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边
长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场
内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度
与OB边的夹角为 的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为
【答案】ABD
【详解】如图所示
B．粒子带正电不可能从与60度夹角的O点射入经过B点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 由牛顿第二定律 解得粒子运动的速度大小为
故B正确；
C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在
磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为 ，故C错误；
D．由图知，磁场区域有粒子通过的面积为图中 区域的面积，即为 故D正确；
A．由图可知，当速度垂直 时，粒子刚好从 点射出，如下图所示
由几何关系可知，当速度方向与 的夹角为 时，恰好从 点射出，则从AD边射出与从CD边射出的
粒子数之比为 故A正确。故选ABD。
三、平移圆模型
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀
速度大小一 强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v ，则半径R
0
定，方向一 ＝，如图所示
适
定，但入射
用
点在同一直
条
线上
件
轨迹圆圆心 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的
共线 连线平行界定方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
【例3】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AC=d，∠B=30°，现垂直AB边射
入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运
动的时间为t，而在磁场中运动的最长时间为 （不计重力和粒子间的相互作用）。下列判断正确的是（
）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在进入磁场时速度大小为
D．粒子在磁场中运动的轨迹半径为
【答案】BC
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直ACAC边射出的粒子在磁场中运动的时间是 ，则得周期为 故A错误；
B．由 ； ； 得 故B正确；
D．
运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有 解得
故D 错误；
C．根据粒子在磁场中运动的速度为 周期为 半径为 联立得 故C正确。故
选BC。
四、磁聚焦模型
1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为
q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与
有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。
2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹
圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。【例4】如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为
B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为 ，则以
下说法正确的是（ ）
A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心
B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．若质子以相等的速率 从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直
【答案】C
【详解】AC．质子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，可得 又 联立，可得
由几何关系可知，对着圆心入射的质子最后从O点正下方C点射出磁场，出射方向的反向延长线一定过圆
心。再假设从任意点E水平射入的质子，做圆周运动的圆心为D，连接两交点及圆心。由于 ，且
DE=OC,则四边形DEOC是平行四边形，所以DE=OC=R，从任意点水平射入的质子也从O点正下方C射出，
由于磁场的半径与质子轨迹圆的半径相等，所以对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线一定过圆心。
故A错误；C正确；B．质子射入磁场中，受到向下的洛伦兹力而向下偏转，因质子的运动半径相同，故从a点比从b点进入磁
场的质子在磁场中运动经过的弧长更长，则时间长。故B错误；
D．若质子以相等的速率 从同一点沿各个方向射入磁场，质子运动的半径为 考虑两个极
端情况，当质子的入射速度接近竖直向上或竖直向下时，质子射出磁场的偏转角的夹角小于90°，其轨迹
如图，
最后离开磁场的速度夹角小于90°，所以不存在离开磁场的出射方向垂直的情况。故D错误。故选C。
【多维度分层专练】
1．如图所示，直角三角形abc区域内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，
顶点a处有一离子源，沿ac方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为
q，已知 ，bc边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）A．从ab边界射出的离子，一定同时平行射出
B．从bc边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于
C．从bc边界射出的离子的速度均不小于
D．当某离子垂直于bc边界射出时，磁场中的所有离子都在与ab边界成15°角的一条直线上
【答案】ACD
【详解】A．由题意可知，离子的入射角度相同，转过的圆心角也相同，则出射角相同，同时由
可得，当磁场强度、离子质量和所带电荷相同时，离子在磁场中的运动时间也相同，故离子会同时平行射
出，故A正确；
B．当从a中射入的离子从bc边垂直射出时，由几何关系可知，此时转过的圆心角为30°，则所用的时间为
即此时离子在磁场中运动的时间均小于 ，故B错误；
C．由 可知，当离子的运动速度越小时，离子运动的半径就越小，当离子从bc边界射出时，从b点
射出的离子运动半径最小，速度也最小，从b点射出时，由几何关系可知，离子的运动半径为
解得 故从bc边界射出的离子的速度应该不小于 ，故C正确；D．同一时刻，经历相同的时间，转过相同圆心角的离子在同一条直线上，当当某离子垂直于bc边界射出
时，由几何关系可知，此时离子转过的圆心角为30°，由弦切角与圆心角的关系可知，此时所有离子在与
ab边界成15°角的一条直线上，故D正确。故选ACD。
2．如图，等腰直角三角形 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 ， 为 边的中
点， 为 边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从 点以大小不同的速度沿 方向射入磁场，
分别从 、 、 点射出磁场，所用时间分别为 、 、 ，且 ，若 已知，则（ ）
A．
B．带电粒子的比荷为
C．从 点与从 点射出的速度大小之比为
D．从 点与从 点射出的速度大小之比为
【答案】AC
【详解】A．如图所示，从d、c两点射出的粒子在磁场中转过的圆心角均为90°，所以t=t 则
1 2
故A正确；B．设粒子在磁场中运动的周期为T，速度大小为v，半径为r，根据牛顿第二定律有 解得
由题意可知 解得 故B错误；
CD．设ac=L，根据几何关系可知从 、 点射出磁场的粒子的运动半径分别为 ； 在 eca
△
中，根据正弦定理可得 解得 从 点与从 点射出的速度大小之比为
从 点与从 点射出的速度大小之比为 故C正确，D错误。故选AC。
3．如图，在 区域内存在与 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。在 时刻，一位于坐
标原点的粒子源向y轴右侧 平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿y轴正方向发射的粒子在 时刻刚好从磁场边界上P（3a， a）点离开磁场，不计粒子重力，
不考虑粒子间的相互作用。则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R为2a
B．粒子的比荷为
C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为2t
0
D． 时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3
【答案】ACD
【详解】A．沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
设粒子运动的轨迹半径为 ，由几何关系知道 所以 则粒子从O到P偏转了
，则有 故A正确；B．由题意及几何关系可得 所以 故B错误；
C．在磁场中飞行时间最长的粒子对应的轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如下图所示
由几何关系知粒子转过的圆心角为 ，且 由对称性可知 从粒子发射到全部粒子飞出
磁场所用时间 故C正确；
D．由以上分析可知仍然留在磁场中的粒子与 轴的角度范围为 ，由于粒子发生在 内总
是均匀的，所以 还在磁场中的粒子和总的发射的粒子数之比为 ，故D正确。故选ACD。
4．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，
从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有
粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射
出的粒子在磁场中运动的最长时间等于 （T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在
磁场中运动的时间可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相
同，根据 可得 轨迹半径相同，又由于最长时间恰好为半个周期，可分析出粒子在磁场中
运动的圆弧为劣弧，弦越长，所对圆心角越大，因此粒子恰好从S点正上方射出时，运动时间最长，此时
在磁场中恰好运动了半个圆周，该粒子恰好沿SA方向射入磁场，如图所示
设OS=d，有几何关系 可知粒子在磁场中运动的轨道半径 当出射点E与S点的连线垂
直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，根据几何关系 可知 弦所对圆心角为60o，粒子在磁场中运动的最短时间 粒子在磁场中运动时间范围为 故选BCD。
5．如图所示，边长为L的正方形 区域内存在垂直平面向内的匀强磁场，在 边各个位置均有带正电
的同种粒子以速度 垂直于 边射入磁场，有两个粒子均可以在 边上距离c点为 的A处射出磁场。
已知粒子的质量为m、电量为q，磁场的磁感应强度为B，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则
（ ）
A．一定满足
B．一定满足
C．从A点射出的两个粒子在磁场中运动的时间之和为
D．从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间最长
【答案】C
【详解】AB．从A点射出的两个粒子的轨迹如图；两粒子在磁场中运动的半径相同，圆心尽在dc线上，由几何关系可知，两粒子从A点射出时速度方向垂直，
且Oc=Oc=Ac= 则粒子的轨道半径为 由于 解得 选项AB错误；
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C．由几何关系可知，从A点射出的两个粒子在磁场中运动转过的圆心角之和为 ，则运动时间之和为
π
选项C正确；
D．因粒子的轨道半径为 ； 则有的粒子可以从dc边射出磁场，此粒子离开磁场运动的
时间最长，为半个周期，选项D错误。故选C。
6．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图
中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出
且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下
列判断中正确的是（ ）A．等腰三角形BAC中AB边的长度为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【答案】AB
【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨
迹与BC边相切。根据几何关系可知 粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
联立，可得 故A正确；
B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为 根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90 ，
则有 故B正确；
C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移 得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径
r，即 。故C错误；
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90 的轨迹，故最长时间将变小，
故D错误。故选AB。
7．如图所示，长方形 的长 ，宽 ， 、 分别是 、 的中点，以 为圆心、
为半径的圆弧和以 为圆心、 为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（ 边界上无磁
场），磁感应强度 。一群不计重力、质量 、电荷量 的带正电粒子以速度
沿垂直 且垂直于磁场方向射入磁场区域，不计粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（
）
A．从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边
B．从 边射入的粒子，出射点全部分布在 边
C．从 边射入的粒子，出射点分布在 边
D．从 边射入的粒子，出射点全部通过 点【答案】D
【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得
从 边射入的粒子先做直线运动，设某一粒子从 点进入磁场，其圆心为 ，如图所示
因 根据几何关系，可得：虚线四边形 是菱形，则该粒子一定从 点射出，同理，从 边射
入的粒子，全部从 点射出；从 边射入的粒子，轨迹均为以 为半径的圆弧，从点 射入的从 点射出，
从 边射入的粒子，因 边界上无磁场，粒子到达 边界后做直线运动，即从 边射入的粒子全部通
过 点，故D正确，ABC错误。故选D。
8．如图，在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a点处有离子源，可
以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子，且所有离子均垂直bc边射出，下
列说法正确的是（ ）A．磁场区域的最小面积为 L2
B．离子在磁场中做圆周运动的半径为L
C．磁场区域的最大面积为 L2
D．离子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BC
【分析】如图1所示，假设半径为R的圆形磁场区域边界处有一离子源S可以向各个方向发射速率相同的
离子，且离子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为R，考察其中某一离子的运动轨迹，根据几何知识可得
四边形OSO′P为菱形，则出射离子的速度方向与OS垂直，即所有离子出射方向平行，由此可以得到一个
结论，当离子运动半径与圆形磁场半径相同时，离子从同一点以任意方向射入磁场，其出射速度方向都将
平行。
【详解】B．根据上面分析以及本题所描述的情境可知，abcd内磁场区域的边界一定为以d为圆心、L为半
径的四分之一圆弧，所以离子在磁场中做圆周运动的半径为L，故B正确；
AC．如图2所示，磁场区域的最小面积为图中阴影部分的面积，即 磁场区
域的最大面积为四分之一圆的面积，即 故A错误，C正确；D．当离子从c点射出时运动时间最长，为 故选BC。
