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专题强化九 带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解
问题
1. 会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题．
2．会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹．
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
带电粒子在磁场中的临界、极值问题的分析思路和方法
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，
两种思路 然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
物理 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极
方法 值
两种方法
数学 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的
方法 性质求极值；(4)图像法等
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”
从关键词
等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏
找突破口
的规律，找出临界条件
例 1 如图所示，
垂直于纸面的匀强磁场在∠DAC为30°、边长为a的菱形内部，对角线交点为O.某带
电粒子以速度v 从O点沿OA方向射出时，恰好没有穿出磁场边界；该带电粒子以速度 v
1 2
从O点沿OB方向射出时，仍恰好没有射出磁场边界．不计粒子重力，则v 的值为( )
1
v
2
A．1 B．2
C．√3 D．6－3√3
例 2 [2024·四川省成都市石室中学高三三诊]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向
垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束 e粒子在纸面
4H
2
内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．已知粒子的质量为m、电荷量为q.则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为( )
3qBL 5qBl
A． B．
4m 4m
5qBL 5qBL
C． D．
8m 6m
例 3 (多选)[2024·陕西西安市模拟]
2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克
大科学装置(EAST)，发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未
来聚变堆运行具有重要意义．其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区
域内．如图所示，环状磁场的内半径为R ，外半径为R ，被束缚的带电粒子的比荷为k，
1 2
中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v.中空区域中的带电粒子都不会穿
出磁场的外边缘而被约束在半径为R 的区域内，不计粒子重力，则环状区域内磁场的磁感
2
应强度大小可能是( )
v 2R v
A. B. 2
k(R −R ) k(R2−R2 )
2 1 2 1
3v 2R v
C． D． 2
k(R −R ) k(R −R ) 2
2 1 2 1
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不
确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路：
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况(全面考虑多种可能性)．
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解
出现的条件．例 4 (多选)
[2022·湖北卷]在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一
部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场
磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离
子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离
子从P
点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组
合为( )
1 1
A． kBL，0° B． kBL，0°
3 2
C．kBL，60° D．2kBL，60°
例 5 如图
所示的等腰梯形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为
B，等腰梯形中∠P＝45°，PQ＝2MN＝4L，一带电粒子束由M点沿垂直PM方向射入匀强
磁场，带电粒子刚好不从PQ边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计．
则下列说法正确的是( )
A．粒子的轨道半径可能为(2＋√2)L
B．粒子的速度为(2－√2)BkL
π
C．粒子在磁场中运动的时间可能为
4kB
π
D．粒子在磁场中运动的时间一定为
kB
核心素养提升 “数学圆”法在磁场中的应用
1.“放缩圆”模型法的应用
粒子射入方向确定，但速率v或磁
“放缩 感应强度B变化时，以入射点为定
圆”法 点，作出半径不同的一系列轨迹，
从而探索出临界条件．典例1 (多选)[2024·湖南联考模拟]一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于
纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的
范围足够大．一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁
场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(
)
A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
πm
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
qB
3πm
D．粒子在磁场中的最长运动时间小于
2qB
2．“旋转圆”模型法的应用
粒子速率v一定，但射入的方向变
“旋转圆” 化时，以入射点为定点，将轨迹圆
法 旋转，作出一系列轨迹，从而探索
出临界条件．
典例2 (多选)[2024·河南名校模拟]某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，在垂直
纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边
界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速
度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板，α粒子击中
荧光挡板后被吸收并发出荧光．已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为
qBR
m，电荷量为q.不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝ 时，下
m
列说法正确的是( )A．所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板
B．荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布
5πm
C．α粒子在磁场中运动的最长时间为
3qB
m
D．α粒子在无磁场区域运动的最长时间为
qB
3．“平移圆”模型法的应用
粒子源发射速度大小、方向一定，
入射点不同，但入射点在同一直线
的带电粒子进入匀强磁场时，它们
“平移 做匀速圆周运动的半径相同，若入
圆”法 mv
射速度大小为v，则半径R＝ 0
0 qB
，如左图所示(粒子带负电)．
典例3 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，
磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界
MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，
qBd
入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为 ，不计粒子重力，则( )
m
d
A．粒子在磁场中的运动半径为
2
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
πm
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
qB
πm
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
3qB专题强化九 带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解
问题
考点一
例1 解析：当带电粒子沿OA方向射出时，轨迹如图甲所示，设粒子运动的轨迹半径
r
1
(2√3−3)
为r
1
，由几何知识有sin 60°＝(a
−r
)，解得r
1
＝
2
a，当带电粒子沿OB方向射出
2 1
r
2
时，轨道如图乙所示，设粒子运动的轨迹半径为 r ，由几何知识有tan 30°＝a，解得r ＝
2 2
2
√3 v r
1 1
a，则 ＝ ＝6－3√3，选D.
6 v r
2 2
答案：D
例2 解析：根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝
v2
m
R
2πr 2πm
又有T＝ ＝
v qB
α αm
设粒子运动轨迹所对的圆心角为α，则运动时间为t＝ ·T＝
2π qB
可知，α越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，即当圆
弧经过c点时α最大
由几何关系有L2＋(2L－R)2＝R2
5
解得R＝ L
4qBR 5qBL
联立可得v＝ ＝ ，故选B.
m 4m
答案：B
例3
解析：由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切
的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，以带正电粒子为例，运动轨迹
如图所示
R −R
2 1
由几何知识可知，粒子最大轨道半径r＝
2
v2
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m
r
2v
解得B＝
k(R −R )
2 1
2v
要使粒子不离开磁场B≥
k(R −R )
2 1
2R v 2v R 2v
2 2
由于 ＝ · <
k(R2−R2 ) k(R −R ) R +R k(R −R )
2 1 2 1 2 1 2 1
故选CD.
答案：CD
考点二
例4 解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
v2
根据几何关系则有R＝L，qvB＝m
RqBL
可得v＝ ＝kBL
m
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图
1
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝ L
2
v2
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
R
qBL 1
可得v＝ ＝ kBL
2m 2
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
qBL 1
v＝ ＝ kBL(n＝1，2，3…)
(2n−1)m 2n−1
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝
qBL 1
＝ kBL(n＝1，2，3…)
2nm 2n
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C正确，A、D错误．
答案：BC
例5 解析：
若粒子带正电，粒子的轨迹如图中1所示，设粒子的轨道半径为R ，由几何关系得
1
v2
OP＋OM＝√2L，即√2R ＋R ＝√2L，解得R ＝(2－√2)L，由qvB＝m 1 ，解得v ＝(2
1 1 1 1 1 1 1
R1
2πm 2π
－√2)BkL，粒子在磁场中的运动周期为 T＝ ＝ ，粒子在磁场中偏转的角度为
qB kB
T π
180°，则粒子在磁场中运动的时间为t ＝ ＝ .若粒子带负电，粒子的轨迹如图中2所示，
1 2 kB
轨迹与上边界PQ相切，设粒子的轨道半径为R，由几何关系得R＝√2(R－L)，解得R＝
2 2 2 2
v2
(2＋√2)L，由qvB＝m 2 ，解得v ＝(2＋√2)BkL，粒子从射入到运动到与PQ相切位置
2 2
R2
T π
在磁场中偏转的角度为45°，则粒子在磁场中运动的时间大于t ＝ ＝ ，A正确，B、
2 8 4kB
C、D错误．答案：A
核心素养提升
典例1 解析：画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示
πm
当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为 ，当粒子都
qB
从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间
πm
大于 ，故A正确，B、C错误；
qB
当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此
3πm
粒子在磁场中最长运动时间小于 ，故D正确．
2qB
答案：AD
典例2 解析：
mv
α粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝ ＝R，则从P点射出的α粒子运动的轨迹如图，
qB
由几何关系可知，四边形O′MOP为菱形，可知O′M水平，则从M点进入圆形区域的粒子
速度竖直向下，垂直击中荧光挡板，选项A正确；沿着PG方向射出的粒子打到挡板上的
3
位置最远，由几何关系可知，最远点与P点的距离为 R，并且从O到P，距P点越近，粒
2
子数量越多，粒子分布不均匀，选项B错误；沿着PH方向射出的粒子在磁场中运动的时
330° 2πR
间最长，由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为330°，则最长时间t＝ · ＝
360° v
11πm R
，选项C错误；水平向左射出的α粒子在无磁场区域运动的时间最长，为 t′＝ ＝
6qB vm
，选项D正确．
qB
答案：AD
典例3
mv
解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝ ＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场
qB
的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A
点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，
T πm
在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝ ＝ ，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，
2 qB
轨迹圆弧对应的弦长越短，粒子在Ⅱ区域的运动时间越短(劣弧)，且最短弦长为d，对应圆
T πm
心角为60°，最短时间为t ＝ ＝ ，选项D正确．
min 6 3qB
答案：CD
