文档内容
专题六 《导数》讲义
6.3导数与函数的极值、最值
知识梳理 . 极值与最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)
叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；
而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)
叫做函数y＝f(x)的极大值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
题型一 . 极值、最值的概念
1．函数y＝xsinx+cosx的一个极小值点为（ ）
π π 3π
A．x=− B．x= C．x＝ D．x=
2 2 2
π
2．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A． x R，f（x ）＝0
0 0
B．函∃ 数∈y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x 是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x ）上单调递减
0 0
D．若x 是f（x）的极值点，则f′（x ）＝0
0 0
4．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2处取极值（a R）．
（1）求f（x）的解析式； ∈（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
题型二 . 已知极值、最值求参
考点 1 . 利用二次函数根的分布
1．若函数f（x）＝x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，0）
1 1 1
2．已知函数f（x）= x3− ax2+x在区间（ ，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的
3 2 2
取值范围是（ ）
5 10
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（2， ） D．（2， ）
2 3
考点 2 . 参变分离
x3 a 1
3．若函数f（x）= − x2+x+1在区间（ ，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（
3 2 2
）
5 5 10 10
A．（2， ） B．[2， ） C．（2， ） D．[2， ）
2 2 3 3
4．已知函数 ex ，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值
f(x)= +2klnx−kx
x2
范围是（ ）
e2 e
A．(−∞， ] B．(−∞， ] C．（0，2] D．[2，+∞）
4 2
考点 3 . 分类讨论
1
5．已知函数f（x）＝ax− −（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值为3，则实数a＝ ．
x
1 1 3
6．已知函数f(x)=( x2−ax)lnx− x2+ ax．
2 2 2
（1）讨论函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围．a
7．已知函数f（x）＝lnx− （a R）
x
∈
（1）求函数f（x）的单调增区间；
3
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值．
2考点 4 . 初探隐零点——设而不求，虚设零点
8．（2013·湖北）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x ，x （x ＜x ）
1 2 1 2
（ ）
1 1
A．f(x )＞0，f(x )＞− B．f(x )＜0，f(x )＜−
1 2 2 1 2 2
1 1
C．f(x )＞0，f(x )＜− D．f(x )＜0，f(x )＞−
1 2 2 1 2 2
1
9．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在( ，+∞)上恰有两个极值点x ，x ，且x ＜x ，则
1 2 1 2
4
f(x )的取值范围为（ ）
1
x
2
1 1
A．(−3， −ln2) B．( −ln2，1)
2 2
1 1 3
C．(−∞， −ln2) D．( −ln2， −ln2)
2 2 4
10．（2017·全国2）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x ，且e﹣2＜f（x ）＜2﹣2．
0 0课后作业 . 极值、最值
1．若函数f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，则实数a的取
值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣∞，﹣3]
1 1
2．已知函数f(x)=xex− ax3− ax2有三个极值点，则a的取值范围是（ ）
3 2
1 1
A．（0，e） B．(0， ) C．（e，+∞） D．( ，+∞)
e e
3．已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所
在区间是（ ）
1 1 1 1 1
A．（ln2，1） B．（ ，ln2） C．（ ， ） D．（ ， ）
2 3 e e 2
4．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有两个极值点x 、x （x ＜x ），则f（x ）+f
1 2 1 2 1
（x ）的最大值为（ ）
2
A．﹣1﹣ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．3﹣ln2
1
5．已知函数f(x)=lnx+ ax2+x，a R．
2
∈
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不
存在，请说明理由．
