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专题 06 对数与对数函数
目录
题型一： 对数的运算.......................................................................................................................3
题型二： 对数函数的图像...............................................................................................................4
题型三： 比较大小...........................................................................................................................7
题型四： 对数函数与不等式.........................................................................................................11
题型五： 对数函数性质综合.........................................................................................................13
知识点总结
知识点一、对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 以 a 为底 N 的对数 ，记作 x ＝ log N，其中
a
a叫做对数的底数，N叫做真数．
知识点二、对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1，alog N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N.
a a a
②log ＝log M － log N.
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R)．
a a
知识点三、换底公式log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
知识点四、对数函数的概念
一般地，函数y＝log x ( a >0 ，且 a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，
a
＋∞ )．
知识点五、对数函数的图象及性质
a的范围 0<a<1 a>1
图象
定义域 (0 ，＋∞ )
值域 R
性质
定点 过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
知识点六、指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们
a
的定义域与值域正好互换，图象关于直线 y ＝ x 对称．
【常用结论与知识拓展】
1．换底公式及其推论
(1)log b·log a＝1，即log b＝(a，b均大于0且不等于1)；
a b am
(2)log bn＝log b；
a a
(3)log b·log c·logd＝log d.
a b c a
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故
0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
例题精讲
题型一：对数的运算
【要点讲解】(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂
的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底
数对数真数的积、商、幂的运算.
【例1】
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 原 式
．
故选： ．【变式训练1】计算 的值为
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：原式 ．
故选： ．
【变式训练2】 ．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
【变式训练3】求值：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
题型二：对数函数的图像
【要点讲解】在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐
标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
【例2】如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 ， ， 的一
个是A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【解答】解： ，
（3）是 ，（4）是 ，
（1）是 ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数① ，② ，③ ，④ 的大致图
象如图所示，则
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得 ，
则 ， ，
即选项 正确，选项 错误；
又 与 的大小不确定，
即选项 、 错误，
故选： ．【变式训练2】已知函数 ， ， 的图象如图所示，则
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知： ，
．
故选： ．
【变式训练3】函数 ，且 与函数 在同一直角坐标系
中的图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 的对称轴为 ，且恒过定点 ，观察选项可知，选
项 可能符合，若选 ，则由图象可知，此时 ，函数 单调递减，且恒过定点 ，
符合题意．
故选： ．
题型三：比较大小
【要点讲解】
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
【例3】若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ， ， ，
， ， ，其中 ，
在同一坐标系内画出 ， ， ，
故 ．
故选： ．
【变式训练1】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．【解答】解：因为 ，
因为 ，所以 且 ，
同为 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
又 ， ，
，
．
故选： ．
【变式训练3】设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练4】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．【解答】解： ， ， ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练5】已知 ， ，则
A． B．
C． D．
【解答】解：若 ，则 ， ， ， ，故 错；
若 ，则 ， ， ，故 错；
对于 ，由 得： ，即 ，
同理由 得： ，
所以 ，故
正确；
对于 ，同上得： ，故 错误．
故选： ．
【变式训练6】设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
设 ， ， 时， ，
在 上单调递减，又 （3）， ， ， ，
．
故选： ．
【变式训练7】已知 ， ，有以下命题：① ；② ；
③ ，其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：因为 ，
，
，所以 ，①正确；
因为 ，
，
所以 ，②正确；
因为
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，③正确．
故选： ．
【变式训练8】若实数 ， 满足 ，则A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
令 ，可知 在 上单调递增，
由 ，则 ．
故选： ．
题型四：对数函数与不等式
【要点讲解】(1)形如log x>log b的不等式,借助y=log x的单调性求解,如果a的取值不确定,
a a a
需分a>1与0<a<1两种情况讨论.
(2)形如log x>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.
a
【例4】不等式 的解集是 ．（用区间表示）
【解答】解：由 ，可得 ，求得 ，故不等式的解集是 ，
故答案为 ．
【变式训练1】若 ，则 的取值范围为 ．
【解答】解： ，由对数函数的性质，
当 即 时，有 ，得 ，故可得 ；
当 ，即 时，有 ，得 ，
故可得 ．
综上知， 的取值范围为 ，
故答案为： ．【变式训练2】已知实数 满足 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，解得 ，
由 ，可得 ，
所以由 可得 ，
综上可知，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练3】设函数 ，则满足 的 的取值范围是
A． ， B． ， ， C． ， ， D． ，
【解答】解：若 ，由 得 ，得 ，得 ，此时 ，
若 ，由 得 ，得 ，此时 ，
综上 ，
即实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．
【变式训练4】已知函数 ，若 成立，则实数 的取
值范围为
A． ， B．
C． ， ， D．【解答】解：设 ，
， 为偶函数，即 的图像关于直线 对称，
的图像关于直线 对称，
设 ， ，
令 ，则 ， 单调递增，
在 ， 上单调递增，
，
，即 ，
， ，
实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练5】已知 ，且 ，则 的取值范围是
A． B． C． ， D．
【解答】解： ，
， ，
设 ， ，则 ，
则 ， ， ，
在 ， 单调递减，在 ， 上单调递增，
， 时， ； 时， ，的取值范围为： ．
故选： ．
【变式训练6】已 知 函 数 ， ， ， ，
有 ，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： ， ， 有 等价于当 ， ，
时， ，
， 时，则 ，且 在定义域内为增函数，
则 ，
所以函数 在 ， 上的最小值 （2） ，
又 的图象开口向上且对称轴为 ，
则 在 上的最小值 （1） ，
，解得 ．
故答案为： ．
题型五：对数函数性质综合
【要点讲解】(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
【例5】已知函数 ，则函数 的减区间是
A． B． C． D．【解答】解：设 ，
由 可得 或 ，
则 在 递减，
由 在 递增，
可得函数 的减区间为 ．
故选： ．
【变式训练1】函数 的单调递减区间为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 ，
得 ，
设函数 ， ，
则抛物线 的对称轴方程是 ．
在抛物线 上，
增区间是 ， ，减区间是 ， ，
是减函数，
由复合函数的单调性的“同增异减”的性质知：
函数 的单调递减区间为： ， ．
故选： ．
【例6】已知 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：考察对数函数 ，由于 ，且 ，
故对数函数 是减函数，
．
故选： ．
【例7】已知函数 是 上的增函数（其中 且 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D． ，
【解答】解：根据题意，函数 是 上的增函数，
则有 ，解可得 ，
即 的取值范围为 ， ；
故选： ．
【例8】函数 在区间 内恒有 ，则 的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D．
【解答】解：函数 在区间 内恒有 ，
可得 ， ，
解得 ， ， ，故选： ．
【例9】函数 在区间 ， 上是减函数，则 的取值范围是
A． B． ， C． ， D．
【解答】解：若 ，则函数 在区间 ， 上不是单调函数，不
符合题意；
若 ，则 在区间 ， 上为减函数，且
，
即 的取值范围是 ，
故选： ．
【例10】已知函数 的图象恒过定点 ，且函数
在 ， 上单调递减，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D．
【解答】解： 函数 的图象恒过定点 ，令 ，求得 、
，
可得它的图象经过定点 ， ， ．
函数 在 ， 上单调递减，
， ，
故选： ．
【变式训练1】若函数 且 在区间 ， 内单调递增，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， ， D． ，
【解答】解：令 ，由 得 ，
解得 ， ， ，
由于 ，则 ， 时， 单调递减，
， 或 ， 时， 单调递增．
当 时，函数 减区间为 ， ，不合题意，
当 时，函数 的增区间为 ， ，
， ， ，
则 ，解得 ，
综上， ， ．
故选： ．
【变式训练2】若函数 ， 在区间 内单调递增，则 的取
值范围是
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：令 ， ，在 上单调递减
， 在区间 内单调递增
函数 是减函数，且 在 上成立
故选： ．
【变式训练3】若函数 且 的值域是 ， ，则实数 的
取值范围是 ， ．
【解答】解：由于函数 且 的值域是 ， ，
故当 时，满足 ．
①若 ， 在它的定义域上单调递增，
当 时，由 ， ， ， ．
②若 ， 在它的定义域上单调递减，
，不满足 的值域是 ， ．
综上可得， ，
故答案为： ， ．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
．
故选： ．
2．若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ， ， ，
， ， ，其中 ，
在同一坐标系内画出 ， ， ，
故 ．
故选： ．
3．已知 ， ， ，则 的最小值为
A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解： ， ， ， ，
又 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为6．
故选： ．
4．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
则 ． ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 大小的，即441个点，根据0
和1的二进制编码，一共有 种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约
为 秒，那么大约可以用（参考数据： ，
A． 万年 B．117万年 C． 万年 D．205万年
【解答】解：由题意大约能用 万年，
则 ，所以 ．
故选： ．
6．已知函数 ，则函数 的图象与两坐标轴围成图形
的面积是
A．4 B． C．6 D．
【解答】解：已知函数 ，定义域为 ，
又 ．
因此函数 的图象关于点 成中心对称，
又 ， （2） ，且点 与点 也关于点 成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数 在区间 上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： ，
，故 错误；， ， ，故 正确；
，
，故 ，故 错误；
， ，
，
，故 正确．
故选： ．
8．已知 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选项 符合题意；
，
，
故选项 符合题意；
若 ， ，则 ，
故选项 不符合题意；
若 ， ，则 ，
故选项 不符合题意；
故选： ．
三．填空题（共4小题）9．已知对数函数 的图象过点 ，则 2 ．
【解答】解：由题意， （4） ，
即 ， ，
，且 ， ，
故答案为：2．
10．已知 ， ，现有如下说法：① ；② ；③ ．
则正确的说法有 ②③ （横线上填写正确命题的序号）
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，故①错误；
，所以 ，故②正确；
，所以 ，故③正确．
故答案为：②③．
11．已知 ，用 表示 ．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．已知 ， ， ，则在 ， ， ， ， ，
这6个数中，值最小的是 ．
【解答】解：由 ，且 ，
， ，
构造 ，令 ，则 ，
，
在 上递减， （1） ，
， ，
综上， ，
6 个 数 中 ， 正 数 有 ， ， 负 数 有 ，
，
只需比较 ， 大小，
又 ，而 ，
，
由 ，
， ， ，综上，在 ， ， ， ， ， 这6个数中，值最小的是 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1） ；
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1）原式 ．
（2） ，
，
．
14．（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式
．
15．已知函数 且 的图象过点 ．
（1）求实数 的值；
（2）解关于 的不等式 ．【解答】解：（1）根据题意可得 （3） ，
， ；
（2）根据（1）可知 ，
在 上单调递增，
又 ，
，
解得 ，
不等式的解集为 ．
