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专题 06 导数应用
解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。
1 极值点偏移，拐点偏移
2 函数放缩问题
3 端点效应问题
4 隐零点问题
5 同构问题
6 双变量恒成立使成立问题
7 与三角函数知识交叉问题
8 新定义问题
题型一：极值点偏移，拐点偏移问题
1 已知函数 .
(I)若 为 上的增函数,求 的取值范围;
(II)若 ,且 ,证明: .（拐点偏移）
题型二：函数放缩问题
1 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：对任意的 ，
【解析】（1）由题意， 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）要证 ，只需证 ，即证 ，
也即 ，设 ，则 ，
所以 ，从而 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即 ，故当 时， ，
设 ，则 ，
所以 ，
故 在 上单调递减在 上单调递增，
又 ，所以 有2个零点 和1，其中 ，
且当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
结合 知 恒成立，从而 ，
所以当 时，对任意的 恒成立.1 已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 ，证明：当 时，
题型三：端点效应问题
1 设函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ；
（3）确定 的所有可能取值，使得 在区间 内恒成立.
【解析】（1）由题意， 的定义域为 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，要证 ，只需证 ，即证 ，也即 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
结合 知 恒成立，所以 ，故 成立.
（3）解法1：由题意， 等价于 ，令 ，则 恒成立， ，
当 时， ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，结合 知 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，从而 ，符合题意，
当 时， ，由（1）可得 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，另一方面，由（2）可得当 时， 恒成立，
从而当 时， ，不合题意，
当 时， ，故 在 上单调递减，结合 知 ，即 ，不合题意，
综上所述，实数 的取值范围为 .
1 设函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若当 时， ，求 的取值范围.
题型四：隐零点问题
．已知函数（1）当 时，求 的单调区间；
（2）如果 ， 是曲线 上的任意一点，若以 ， 为切点的切线的斜率 恒成
立，求实数 的最小值；
（3）讨论关于 的方程 的实根的个数情况．
【解析】解：（1）当 时， ，定义域为 ，
则
令 ，得 ，由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）由题意， ，
以 ， 为切点的切线的斜率 满足 ，
所以 对 恒成立．
又当 时， ，所以 的最小值为
（3）由题意，方程 化简得
， ，
令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以 在 处取得极大值，即最大值，最大值为（1）
所以当 时，即 时， 的图象与 轴恰有两个交点，
方程 有两个实根；
当 时， 的图象与 轴恰有一个交点，
方程 有一个实根；
当 时， 的图象与 轴无交点，
方程 无实根．
1已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有且仅有3个零点，求 的取值范围．（其中常数 ，是
自然对数的底数）
类型五 同构问题
同构法的三种基本模式
1.乘积型：将两个式子分别同构变形成几个数的乘积，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的积；
2.比商型：将两个式子分别同构变形成两个数的商，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的商；
3.和差型：将两个式子分别同构变形成几个数的和与差，或者将等式（不等式）两边同构变形成几个数的
和与差.
三、常用的同构变形
1.对数恒等式（黄金变换）：
，特别的 ；
2.常见变形（利用对数恒等式变形而来）， ， ， ，…，
， ， ，
， ，
.
1 （2022 武汉二调‧22）已知函数 ，
，其中 .
（1）当 时，求 的值；
（2）讨论 的零点.
解：（1）略；
（2）由 得 （观察 的形式进行同构变形），
即 ，即 ，
当 时， ，则 ，函数 递减，
当 时， ，则 ，函数 递增，
而 ，所以 或 （不能同时满足），
显然方程 有一个解，由 得 ，设 （ ），则 ，
当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增，所以当 时，函数
有最小值 ，于是
当 时，函数 有一个零点；当 时，函数 有二个零点；当 时，函数 有三
个零点.
（2022湖北八市3月联考22）设函数 （ 为自然对数的底）.
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
类型六 双变量恒成立使成立问题
已知 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ， ， ，求证： ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ，
因为 恒成立，
所以函数 在 为减函数，
故函数 的单调递减区间为 ；
（2）证明：不妨设 ，先证 ，只要证 ，即证 ，
即证 ，令 ， ，则需证 ，
由（1）知， 在 为减函数，
当 时， ，又 （1） ，
所以 ，即 得证；
下面再证 ，即证 ，
令 ， ，只要证 ， ，
令 ， ，则 恒成立，故 在 为减函数，
所以 （1），则 ，
所以 成立．综上所述， ．
已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）若 ，求 在区间 ， 上的最小值；
（3）若函数 有两个极值点 ， ，求证： ．类型七 与三角函数知识交叉问题
1 已知函数 为 的导数.
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意， ，当 时， ，所以 ，
从而 在 上单调递增，故 的最小值为 .
（2）当 时， 成立，
当 时， 等价于 （1），
当 时， 等价于 （2），
设 ，则 ，
当 时，设 ，则 ，
当 时，由（1）可得 ，所以 在 上单调递增，结合 知 恒成
立，所以 在 上单调递增，又 ，所以 恒成立，
而在 上， ，从而 ，满足（1），
当 时， ，
易得 在 上为增函数， ，所以 在 上有一个零点 ，当 时， ；当 时， ，
从而 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
所以 在 上有一个零点 ，且当 时， ，当 时， ，故
在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，所以 在 恒成立，从而 ，满足（2），所以当 时，满足题意，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上有一个零点 ，且当 时， ，从而 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，不满足（1），不合题意，
综上所述，实数 的取值范围为 .
1．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)对任意的 ，都有 ，求a的取值范围．类型八 新定义问题
1 若函数 同时满足下列两个条件，则称 在 上具有性质 ．
① 在 上的导数 存在；
② 在 上的导数 存在，且 （其中 ）恒成立．
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ？并说明理由．
(2)设 、 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得
在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．
【答案】(1)函数 在区间 上具有性质 ；
(2)存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ， 的取值范围是 ；
(3) 的最大值为 .
【详解】（1）令 ， ，
则 ， ，
， ，
当 时， 恒成立，
∴函数 在区间 上具有性质 ；（2）∵ ，∴ ，
∵ 在 处取得极值，且 为奇函数，∴ 在 处也取得极值，
∴ ，解得 ，∴ ， ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
故 在 单调递减，在 单调递增，满足 在 处取得极值，
∴ ，当 时， 恒成立，
∴存在实数 ，使 在区间 上恒成立，
∴存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ， 的取值范围是 ；
（3）∵ ，∴ ，
令 ， 则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，又∵ ， ，
∴存在 ，使 ，∴当 时， ， ， 在区间
上单调递减，当 时， ， ， 在区间 上单调递增，
∴当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，∴ ，∵ ，∴ ，又∵ 恒成立，
∴ ，∵ 且 ，∴ 的最大值为 .
1．对于函数f（x），若存在实数 满足 ，则称 为函数f（x）的一个不动点.已知函数
，其中
(1)当 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 ， ，试问：是否存在a，b使得 ， 均为f（x）的不动点？证明你
的结论.
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .2．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若
对任意的 都存在 个不同的实数 ， ，…， ，使得 （其中 ， 为
正整数），则称 为 的“ 重覆盖函数”.
(1) 是否为 的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证： 是 的“4重覆盖函数”；
(3)已知 ， ，若 为 的“3重覆盖函数”，求实数 的范围.
3．（2023·四川凉山·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个不同的极值点 ，证明： ．
4．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知函数 满足 恒成立.
(1)求 的取值范围；
(2)设 ，求 在 上的零点个数；
(3)在（2）的条件下，设 在 上最小的零点为 ，若 且 ，求证：
.5．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，试确定函数 的单调区间；
(2)若 ，且对于任意 ， 恒成立，求实数k的取值范围；
(3)令 ，若至少存在一个实数 ，使 成立，求实数k的取值范围.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上的最大值为 ，求实数 的值.
(2)若 存在两个零点 ， .
①求实数 的取值范围；
②证明： .
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在 上单调递增.
(1)求 的最大值；
(2)证明：当 时， 在 上仅有一个零点.
8．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，
（i）求 的极值.
（ii）设 ，证明： .
(2)证明：当 时， 有唯一的极小值点 ，且 .9．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数 .
(1)证明：函数 有且只有一个零点；
(2)设 ， ，若 是函数 的两个极值点，求实数 的取值范围，并证明
.
一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
4．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
5．（2022·天津·统考高考真题）已知 ，函数
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
9．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
