专题06基本不等式及应用（解析版）_02高考数学_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题06 基本不等式及应用 1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ） A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2 C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1 【答案】BC (a+b) 2 a2+b2 【解析】因为ab≤ ≤ （a,b∈R），由x2+ y2−xy=1可变形为， 2 2 (x+ y) 2−1=3xy≤3 (x+ y) 2 ，解得−2≤x+ y≤2，当且仅当x= y=−1时，x+ y=−2，当且仅当 2 x= y=1时，x+ y=2，所以A错误，B正确； x2+ y2 由x2+ y2−xy=1可变形为(x2+ y2)−1=xy≤ ，解得x2+ y2≤2，当且仅当x= y=±1时取等号，所 2 以C正确； 因为x2+ y2−xy=1变形可得 ( x− y) 2 + 3 y2=1，设x− y =cosθ, √3 y=sinθ，所以 2 4 2 2 1 2 x=cosθ+ sinθ,y= sinθ，因此 √3 √3 5 2 1 1 1 x2+ y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ− cos2θ+ 3 √3 √3 3 3 = 4 + 2 sin ( 2θ− π ) ∈ [2 ,2 ] ，所以当x= √3 ,y=− √3 时满足等式，但是x2+ y2≥1不成立，所以D错 3 3 6 3 3 3 误． 故选：BC． 2、（2021年新高考1卷）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6【答案】C 【解析】由题， ，则 ， 所以 （当且仅当 时，等号成立）． 故选：C． 3、（2020全国3文12）已知函数 ，则( ) A． 的最小值为2 B． 的图像关于 轴对称 C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于直线 对称 【答案】D 【解析】由题意得 ．对于A，当 时， ， 当且仅当 时取等号；当 时， ，当且仅当 时取等号，所以A错 误．对于B， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称， 所以B错误．对于C， ， ，则 ， 的图象不关于直线 对称，所以C错误．对于D， ， ，所以 ， 的图象关于直线 对称，所以D正确．故选D． 4、（2020山东）已知 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D ． 【答案】ABD 【解析】对于A， ，当且仅当 时，等 号成立，故 A 正确；对于 B， ，所以 ，故 B 正确；对于 C， ，当且仅当 时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号 成立，故D正确，故选：ABD． 5、（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由基本不等式可知 ，故A不正确； ，即 恒成立，故B正确；当 时，不等式不成立，故C不正确；当 时， 不等式不成立，故D不正确，故选B．6、（2020江苏12）已知 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【解析】 ，故 ， 当且仅当 ，即 ， 时，取等号．∴ ． 7、（2020天津14）已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 ， ， ，当且仅当 =4时取等号，结合 ，解得 ，或 时，等号成立，故答案为： ． (x1)(2y1) x0, y 0, x2y 5 xy 8、（2019天津理13）设 ，则 的最小值为 ． 4 3 【答案】 x0 y 0 x2y 5 【解析】 ， ， ， x12y1 2xyx2y1 2xy6 6   2 xy  xy xy xy xy 则 ； 6 6 6 2 xy  � 2 2 xy 4 3 2 xy  xy xy xy xy 3 由基本不等式， （当且仅当 时，即 ，且 x2  x3  3  y  x2y 5 y 1   2 时，即 或 时，等号成立）．x12y1 xy 4 3 故 的最小值为 ． 题组一 运用基本不等式比较大小 1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）（多选题）已知 ，且 则下列结论一定正确的有 （ ） A． B． C．ab有最大值4 D． 有最小值9 【答案】AC 【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1” 的代换计算，漏除了4. 【详解】A选项， ，A正确； B选项，找反例，当 时， ， ， ，B不正确； C选项， ， ，当且仅当 时取“=”，C正确； D选项， ，D不正确. 故选：AC. 1-2、（2023·山西·统考一模）（多选题）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为9 D． 的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式 判断即可，对于C， 利用基本不等式“1”的妙用判断即可.【详解】对于A，因为 ， ， ， 则 ，当且仅当 时取等号，故A正确； 对于B，因为 ， 故 ，当且仅当 时取等号，即 的最小值 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号， 所以 的最小值为9，故C正确； 对于D， ， 故 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值 ，故D错误． 故选：ABC. 1-3、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知 ，且 ，则下列不等关系成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式 化简整理可得 ，构造函数 利用函数单调性即可证 明D错误. 【详解】由基本不等式可知， ，当且仅当 时，等号成立，即A正确；易知 ，当且仅当 时，等号成立，即B正确； 由重要不等式和对数运算法则可得： ，当且仅当且仅当 时，等号成立，即C正 确； 由 可得 ，所以 ， 若 ，即证明 ，即 即需证明 ， 令函数 ，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递增， 所以 时，解不等式 可得 即可，即 时不等式 成立； 当 时， ，即 在 上单调递减，解不等式 可得 ，即 时不等式 才成立； 综上可知，当 时，不等式 才成立，所以D错误. 故选：ABC. 1-4、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知 ， ， ，则下列结论正确的是 （ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为16 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】ACD【解析】由 可得， ， （当且仅当 时，取等号），故A正确； （当且仅当 时，取等号），即 ，故D正确； （当且仅当 时，取等号）， （当且仅当 时，取等号），即 ， 故B错误； ，即 （当且仅当 时，取等号），故C正确； 故选：ACD 题组二 运用基本不等式求函数最值 2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】由题意可知， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y） ＝4＋5＋ ＋ ≥9＋2 ＝ ， 当且仅当 ＝ ， 时取等号， 此时 ， 故 的最小值为 ． 故答案为： 2-2、（2023·天津滨海新·统考三模）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B【详解】由 知 , 结合 ，以及换底公式可知， ， 当且仅当， ， 即 时等号成立， 即 时等号成立， 故 的最小值为 ， 故选：B. 2-3、（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， ，则 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，取得等号，故选:C. 2-4、（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若 ，则 的最小值是 （ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】 ，当且仅当 时取等号， 因此 ，即 ，解得 ， 所以当 时， 取得最小值2. 故选：C 2-5、（2022年重庆市高三月考试卷）已知 ，则 的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】由于 ， ，所以 ， ， 当且仅当 时等号成立. 故答案为： 题组三 运用基本不等式处理多元问题 3-1、【2022·广东省阳春市第一中学10月月考】已知不等式 的解集为 ，则__________， 的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 8 【解析】由题知 ， ， ，则 ， ， ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为8. 故答案为： ； 3-2、（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知 ，则 的最小值为 ______________________ . 【答案】1 【分析】 先根据解 ，利用基本不等式求得 的最小值为9，再由 ，利用对勾函数的性质求解. 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ，， 令 ， 因为 在 上递增， 所以 ， 故答案为：1 3-3、(2022·江苏南通如东县期中)已知a＞0，b＞0，c＞0，，当最小时，恒成立，则x的取值集合是 ▲ ． 【答案】{x|x≤－1或x≥4} 【解析】由题意可知a＞0，b＞0，c＞0，a2－ab＋9b2－5c＝0，等式两边同除ab，可得－1＋＝，所以－1 ＋≥2－1＝5，(当且仅当＝时等号成立)，故的最小值为1(a＝3b)，所以c＝ab＝3b2，则a＋b－＝4b－b2， 所以a＋b－的最大值为4，故x2－3x≥4，解得x≤－1或x≥4 题组四 不等式的综合运用 4-1、（2023·安徽淮北·统考一模）（多选题）已知 是 的边 上的一点（不包含顶点），且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果. 【详解】 是 的边 上的一点（不包含顶点），则有 ， 得 ，即 ， 又 ，∴ ， 可得 ， ， ， ， ， 所以A选项正确，B选项错误；，当且仅当 时等号成立，所以 ，C选项 错误； ，D选项正确. 故选：AD. 4-2、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列 中， 成等差数列，且存在两项 使得 ，则 的最小值是（ ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】 由等比数列通项公式及等差中项的性质可得 ，进而有 ，利用基本不等式“1”的代换求目标式 最小值，注意等号是否成立. 【详解】 由题设 ，若 公比为 且 ，则 ， 所以 ， 由 ，则 ，故 ，可得 ， 所以 ，而 ，故 等号不成立， 又 ，故当 时 ，当 时 ， 显然 ，故 时 最小值为 . 故选：B 4-3、（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量 ，且 ，则的最小值为________. 【答案】 【分析】 先由正态分布对称性求出 ，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】 由正态分布的对称性可知： ，解得： ， 因为 ，所以 ，由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以不等式得最小值为 故答案为： 4-4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（ ） A．已知 ， ，且 ，则 B．函数 ，若 ，且 ，则 的最小值是 C．已知 ，则 的最小值为 D．已知 ，则 的最小值为 【答案】AC 【分析】 对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单 调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将 ，转化为 ，利用二次函数的性质求解判断. 【详解】 对于选项A，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，当且仅当 时取等号，∴ ，∴A正确； 对于选项B：因为 ，所以 ，又 ，所以由对勾函数的单调性可知函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，故B不正确； 对于选项C，根据题意，已知 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，故C正确； 对于选项D， ，令 ，所以 ，所 以 ，此时 无解，所以选项D不正确， 故选：AC． 1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 ，则 的最小值是（ ）． A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D 【解析】 ，故 ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是3. 故选：D. 2、（2022年辽宁抚顺市高三月考模拟试卷）对任意的正实数 ， ， 恒成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意得 恒成立， 因为 ， ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ，即 的最小值为 . 故选：B 3、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知 且 ，则（ ） A． 的最大值为 B． 的最大值为2 C． 的最小值为6 D． 的最小值为4 【答案】BC【详解】对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 错误； 对于B，因为 ，所以 ， 即 ， ，当且仅当 时，等号成立，故B正确； 对于C，由 得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D，令 ，则 ，所以 的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 4、（2023·重庆·统考三模）（多选题）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的是 （ ） A． 的取值范围是 B． 的取值范围是 C． 的最小值是 D． 的最小值是3 【答案】BC 【详解】对于A，因为 ， ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 由 ， 即 ，解得 ， 即 ，A错误； 对于B， 由 ， , ，当且仅当 时取等号， 得 ， 所以 , 又 ， 所以 ，即 ， 故B正确； 对C选项，因为 ， , ， 得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，C正确， 对于D, C选项知： ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立,但 ， 所以 ．（等号取不到）,故D错误； 故选：BC. 5、（2023·山东烟台·统考三模）（多选题）已知 且 ，则（ ） A． 的最大值为 B． 的最大值为2 C． 的最小值为6 D． 的最小值为4 【答案】BC 【详解】对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故错误； 对于B，因为 ，所以 ， 即 ， ，当且仅当 时，等号成立，故B正确； 对于C，由 得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D，令 ，则 ，所以 的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知 ， ，且 ，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的 或 转化，即可解不等式得出答案； 对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为 或 ，即可根据选项AB求出的范围根 据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围. 【详解】对于A：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立 ，解得 ，即 ，故A不正确； 对于B：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立即 ，解得 ，或 （舍去），故B正确； 对于C： ，令 ， ，即 ，故C正确； 对于D， ，令 ， ，即 ，故D不正 确， 故选：BC． 7、（2022年重庆市永川北山中学高三月考试卷）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由 得 ；由 得 ； 因为直线 与曲线 相切， 令 ，则可得 ，代入 得 ； 所以切点为 ．则 ，所以 ． 故 ， 当且仅当 时等号成立，此时取得最小值2． 故答案为： ．