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专题六 《导数》讲义
6.1导数的几何意义——切线
知识梳理 . 导数的几何意义
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜
0 0 0 0
率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对
x u x
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型一 . 在某点的切线
1．函数f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的图象在x＝1处的切线方程是 3 x + y ﹣ 2 ＝ 0 （或 y ＝﹣ 3 x + 2 ） ．
【解答】解：由题意可得f'（x）＝lnx﹣3x2，则f'（1）＝﹣3，f（1）＝﹣1，
故所求切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1），
即3x+y﹣2＝0．
故答案为：3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）．
2．直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为 1 ．
【解答】解：y＝x3+ax+b的导数为y′＝3x2+a，
可得切线的斜率为k＝3+a，
又k+1＝3，1+a+b＝3，
解得k＝2，a＝﹣1，b＝3，
即有2a+b＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
1
3．已知曲线y = ，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ）
ex+1
A．x+4y﹣2＝0 B．x﹣4y+2＝0 C．4x+2y﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣1＝0
【解答】解：y 1 的导数为y′ ex ，
= =−
ex+1 (ex+1) 2
即有 ex 1 1 1．
− =− ≥− =−
(ex+1) 2 ex+e−x+2 2√ex ⋅e−x+2 4
当且仅当x＝0时，取得等号．
1 1
即有切线的斜率为k=− ，切点为（0， ），
4 2
1 1
则切线的方程为y=− x+ ，
4 2
即为x+4y﹣2＝0．
故选：A．
题型二 . 过某点的切线
1．已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．
【解答】解：
设切点坐标为（x ，x 2﹣5x +7），
0 0 0∵f′（x ）＝2x ﹣5，
0 0
∴切线方程为y﹣2＝（2x ﹣5）（x﹣1），
0
又切线过点（x ，x 2﹣5x +7），
0 0 0
∴x 2﹣5x +7﹣2＝（2x ﹣5）（x ﹣1），
0 0 0 0
整理得x 2﹣2x ＝0，解得x ＝2或x ＝0，
0 0 0 0
∴经过A（1，2）的曲线f（x）的切线方程为x+y﹣3＝0或5x+y﹣7＝0．
2．已知直线y＝x+1与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：设切点P（x ，y ），则y ＝x +1，y ＝ln（x +a），
0 0 0 0 0 0
1
又∵y'| = =1
x=x 0 x +a
0
∴x +a＝1
0
∴y ＝0，x ＝﹣1
0 0
∴a＝2．
故选：B．
3．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，
它们的倾斜角互补，则a的值为（ ）
27 27
A． B．﹣2 C．2 D．−
8 8
【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax+a，得f′（x）＝3x2﹣a，
设切点为 ，
(x ，x 3−ax +a)
0 0 0
∴ ，
f' (x )=3x 2−a
0 0
∴过切点的切线方程为 ，
y−x 3+ax −a=(3x 2−a)(x−x )
0 0 0 0
∵切线过点A（1，0），
∴ ，
−x 3+ax −a=(3x 2−a)(1−x )
0 0 0 0
3
解得：x ＝0或x = ．
0 0 2
3 27
∴f′（0）＝﹣a，f' ( )= −a，
2 4
由两切线倾斜角互补，得27
﹣a=a− ，
4
27
∴a= ．
8
故选：A．
题型三 . 已知切线求参数的取值范围
1
1．函数f（x）＝ax2− x3（x＞0）的图象存在与直线x﹣y+2＝0平行的切线，则实数
3
a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：f′（x）＝2ax﹣x2，（x＞0）．
由题意，只需f′（x）＝2ax﹣x2＝1，（x＞0）有解，则只需y＝f′（x）（x＞0）的值
域中包含1即可．
当a≤0时，f′（x）＜0，显然不符合题意；
1
当a＞0时，f′（x）的开口向下，在对称轴x= 处取得最大值，
a
1 1 1
故f '( )=2a⋅ − ≥1，即a2≥1，结合a＞0得，a≥1即为所求．
a a a2
故选：B．
2．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：设切点为（m，mem），y＝x•ex的导数为y′＝（x+1）ex，
可得切线的斜率为（m+1）em，
则切线方程为y﹣mem＝（m+1）em（x﹣m），
切线过点A（a，0）代入得﹣mem＝（m+1）em（a﹣m），
m2
可得a= ，即方程m2﹣ma﹣a＝0有两个解，
m+1
则有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4．
即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．故选：A．
1 1
3．已知函数y= x2的图象在点(x ， x2 )处的切线为直线l，若直线l与函数y＝lnx，x
2 0 2 0
∈
（0，1）的图象相切，则x 必满足条件（ ）
0
A．0＜x ＜1 B．1＜x C． D． 2
0 0 ＜√2 √2＜x ＜√3 √3＜x ＜
0 0
1
【解答】解：函数y= x2的导数为y′＝x，
2
1
在点（x ， x 2）处的切线的斜率为k＝x ，
0 0 0
2
1
切线方程为y− x 2＝x （x﹣x ），
0 0 0
2
设切线与y＝lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
1
即有y＝lnx的导数为y′= ，
x
1 1
可得x = ，切线方程为y﹣lnm= （x﹣m），
0
m m
1
令x＝0，可得y＝lnm﹣1=− x 2，
0
2
由0＜m＜1，可得x ＞1，且x 2＞2，
0 0
解得x＞√2，
0
1
由m = ，可得x 2﹣2lnx ﹣2＝0，
x 0 0
0
令f（x）＝x2﹣2lnx﹣2，x＞√2，
2
f′（x）＝2x− ＞0，f（x）在（√2，+∞）上递增，
x
且f（√3）＝3﹣ln√3−2＜0，f（2）＝4﹣ln2﹣2＞0，
则有x 2﹣2lnx ﹣2＝0的根x （√3，2）．
0 0 0
故选：D． ∈
题型四 . 距离最值问题
1．若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离
为 √2 ．【解答】解：设x﹣y+m＝0与函数f（x）＝x2﹣lnx的图象相切于点P（x ，y ）．
0 0
1 1
f′（x）＝2x− ，则2x − = 1，x ＞0，解得x ＝1．
x 0 x 0 0
0
∴y ＝1，
0
|1−1−2|
∴点P（1，1）到直线x﹣y﹣2＝0的距离为最小距离d= =√2，
√2
故答案为：√2．
1
2．（2012·全国）设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（
2
）
A．1﹣ln2 B．√2(1−ln2) C．1+ln2 D．√2(1+ln2)
1
【解答】解：∵函数y= ex与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，
2
1
1 1 | ex−x|
函数y= ex上的点P(x， ex )到直线y＝x的距离为 2 ，
2 2 d=
√2
1 1
设g（x）= ex−x（x＞0），则g′（x）= ex−1，
2 2
1
由g′（x）= ex−1≥0可得x≥ln2，
2
1
由g′（x）= ex−1＜0可得0＜x＜ln2，
2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x＝ln2时，函数g（x） ＝1﹣ln2，
min
1−ln2
d = ，
min √2
由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为 ．
2d =√2(1−ln2)
min
故选：B．
题型五 . 公切线问题
1 2e
1．设函数f(x)=p(x− )−2lnx，g(x)= ．若直线l与函数f（x），g（x）的
x x
图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
p 2
【解答】解：∵f′（x）＝p + − ，∴f’（1）＝2（p﹣1），设直线l：y＝2（p﹣
x2 x1）（x﹣1），
e
∵l与g（x）图象相切，∴y＝2（p﹣1）（x﹣1），得（p﹣1）（x﹣1）= ，即（p﹣
x
2e
1）x2﹣（p﹣1）x﹣e＝0，y=
x
当p＝1时，方程无解；当p≠1时由△＝（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）＝0，
得p＝1﹣4e，综上，p＝1﹣4e
2．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝ 1 ﹣
ln 2 ．
【解答】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x ，kx +b）、
1 1
（x ，kx +b）；
2 2
1 1
由导数的几何意义可得k = = ，得x ＝x +1
x x +1 1 2
1 2
再由切点也在各自的曲线上，可得{ kx
1
+b=lnx
1
+2
kx +b=ln(x +1)
2 2
k=2
{
1
联立上述式子解得 x = ；
1 2
1
x =−
2 2
从而kx +b＝lnx +2得出b＝1﹣ln2．
1 1
3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点
处的切线相同，则b的最大值为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
e2 2e2 3e2 e2
6a2
【解答】解：设公共点为（x，y），（x＞0），且f '(x)= +4a，g'(x)=2x．
x
{6a2lnx+4ax=x2−b①
所以
6a2
（a＞0），由②得x2﹣2ax﹣3a2＝0，
+4a=2x②
x
解得x＝3a或﹣a（舍）．
将x＝3a代入①式整理得：b＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0）令h（a）＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0），
3
∴ℎ'(a)=−6a−[12aln(3a)+6a2× ]=−12a[ln（3a）+1]，
3a
1 1 1
令h′（a）＝0得，a= ，且x∈(0， )时，ℎ'(a)＞0；x∈( ，+∞)
3e 3e 3e
时，h′（a）＜0．
1 1
故h（a）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减．
3e 3e
1 1 1
故h（a） ＝h（ ）= ．故b的最大值为 ．
max 3e 3e2 3e2
故选：C．
课后作业 . 切线
1．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
π π π
A．0 B． C． D．
2 3 4
【解答】解：函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为（
1
x2+1
•2x）|
x＝1
＝1，
设函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 ，
π θ
则tan ＝1，∴ = ，
4
θ θ
故选：D．
2．已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l ，l ，且l ⊥l ，则
1 2 1 2
t＝（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
【解答】解：设切点为（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切线斜率为2n﹣2．
所以切线方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），
将（m，0）代入整理得：n2﹣2mn+2m﹣t＝0，
设l ，l 的切点横坐标分别为n ，n ，则：n +n ＝2m，n n ＝2m﹣t．
1 2 1 2 1 2 1 2
因为l ⊥l ，所以f′（n ）f′（n ）＝（2n ﹣2）（2n ﹣2）＝4n n ﹣4（n +n ）+4＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2﹣1①．
5
结合韦达定理得4×（2m﹣t）﹣4×2m+4＝﹣1，解得t= ．
4
故选：B．
3．已知函数f（x）＝2lnx+x2+ax，若曲线y＝f（x）存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则
实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝2lnx+x2+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，
即f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，
1 2 1
而f′（x）＝2• +2x+a，即 +2x+a＝2在（0，+∞）上有解，a＝2﹣2（x+ ），
x x x
1
因为x＞0，所以x+ ≥2，x＝1时，等号成立，即有a≤2﹣4，
x
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
故选：A．
4．若函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围
是（ ）
1 1
A．（0，1） B．(0， ) C．（1，+∞） D．( ，+∞)
2e 2e
1
【解答】解：设f（x）的切点为（x ，lnx ），因为f '(x)= ，
1 1
x
1 1
所以切线为：y﹣lnx = (x−x )，即y= ⋅x+lnx −1，（x ＞0）．
1 x 1 x 1 1
1 1
设g（x）的切点为（x ， ），因为g′（x）＝2x+2，
2 x 2+2x +lna
2 2
故切线为：y （2x +2）（x﹣x ）．
−(x 2+2x +lna)= 2 2
2 2
即 ．（x ＜0）．
y=(2x +2)x−x 2+lna 2
2 2
{ 1 =2x +2
因为是公切线，所以 x 2 ，
1
lnx −1=−x 2+lna
1 2
1
消去x 得，lna =x 2−1+ln ，
1 2 2(x +1)
21
令h（x）=x2+ln −1，x （﹣1，0）．
2(x+1)
∈
1 2x2+2x−1
∵ℎ'(x)=2x−
x+1
=
x+1
，∵y＝2x2+2x﹣1开口向上，且y|
x＝﹣1
＝y|
x＝0
＝﹣1
＜0，x+1＞0．
所以 h′（x）＜0，故 h（x）在（﹣1，0）上单调递减，故 h（x）＞h（0）
1 1
=ln −1=ln ，
2 2e
1 1
即lna＞ln ，故a＞ ．
2e 2e
故选：D．
