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专题 06 导数中的极值点偏移问题
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题型01 极值点偏移：加法型...................................................................................................................................1
题型02 极值点偏移：减法型...................................................................................................................................5
题型03 极值点偏移：乘法型...................................................................................................................................6
题型04 极值点偏移：其他型...................................................................................................................................7
题型 01 极值点偏移：加法型
【解题规律·提分快招】
一、极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次
函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和
不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若 ，则
f(x)
x
x 1 x 1 +x 2 x 2
x =
0 2
②左陡右缓，极值点向左偏移；若 ，则f(x)
x
x 1 x 0 x 1 +x 2 x 2
2
③左缓右陡，极值点向右偏移；若 ，则
f(x)
x
x 1 x 1 +x 2 x 0 x 2
2
二、极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现 等条件而求证不等式成立的时候，
即可视为极值点偏移考察
三、答题模板（对称构造）
若已知函数 满足 ， 为函数 的极值点，求证： .
（1）讨论函数 的单调性并求出 的极值点 ；
假设此处 在 上单调递减，在 上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]
（2）构造 ；
注：此处根据题意需要还可以构造成 的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导 讨论 的单调性，判断出 在某段区间上的正负，并得出 与
的大小关系；
假设此处 在 上单调递增，那么我们便可得出 ，从而得
到： 时， .
（4）不妨设 ，通过 的单调性， ， 与 的大小关系得出
结论；
接上述情况，由于 时， 且 ， ，故
，又因为 ， 且在 上单调递减，从而得到 ，从而 得证.
（5）若要证明 ，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 ，故 ，
由于 在 上单调递减，故 .
四、其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化为
单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
【典例训练】一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 、 是两个不相等的实数，且 ．求证： ．
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
3．（23-24高三上·江西九江·阶段练习）已知函数 ，直线 与曲线 相切．
(1)求实数 的值；
(2)若曲线 与直线 有两个公共点，其横坐标分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
4．（23-24高三下·陕西安康·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个不同零点 ，求 的取值范围，并证明 .
5．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)若 ，且 ，求证： ．
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数 在 上存在 ，使得
， ，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为
在 上的中值点.(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函
数”， 是 在 上的中值点.
①求 的取值范围；
②证明： .
题型 02 极值点偏移：减法型
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·云南·期中）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若方程 有三个不相等的实数根 ，且 ，证明： .
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)已知 ，设 的两个极值点为 ，且存在 ，使得 的图象与 有三
个公共点 ；
①求证： ；
②求证： ．
3．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数 的最小值为 .
(1)求实数 的值；
(2)若 有两个不同的实数根 ，求证： .
4．（23-24高三上·江西宜春·期末）已知函数 有两个零点 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证： ；
(3)求证： ．题型 03 极值点偏移：乘法型
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 有唯一极值，求 的取值范围；
(2)当 时，若 ， ，求证： .
2．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
3．（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 ，
，求证： ．
5．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有两个不同的根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
6．（2024·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
题型 04 极值点偏移：其他型
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若对任意的 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 且 ， ，证明： ．
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，当 与 的极小值之和为0时，求正实数 的值；
(2)若 ，求证： .
3．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知函数 .
(1)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为 .
①求实数 的取值范围；
②证明：若 ，则 .
4．（24-25高三上·河南三门峡·期中）若函数 对其定义域内任意 满足：当
时，恒有 ，其中常数 ，则称函数 具有性质 .
(1)函数 具有性质 ，求 .
(2)设函数 ，
（ⅰ）判断函数 是否具有性质 ，若有，求出 ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明： .
5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导
弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺
仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.
如图所示的光滑曲线 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时，
点的切线 也随着转动到 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾
斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程
度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小， 就越能精确
刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线 在点 处的
曲率.（其中 ， 分别表示y=f (x)在点 处的一阶、二阶导数）
(1)求函数 在点 处的曲率；
(2)已知函数 ，求函数 的曲率 的最大值.
(3)设函数 ， ，若存在 ， 使得ℎ(x)的曲率为0，求证：
.
一、单选题
1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知实数 ， 满足 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
三、解答题
3．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ．若函数 有两个不相等的零
点 ．
(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若函数 和 的图象都与平行于 轴的同一条直线相切，求 的值；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： ．
5．（23-24高三上·辽宁丹东·期末）已知函数 ．
(1)证明：若 ，则 ；
(2)证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
6．（2024·山东日照·二模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求实数 的值：
(2)若 ， ， ，证明： ．
7．（23-24高三上·河南·开学考试） 有两个零点 ．
(1) 时，求 的范围；
(2) 且 时，求证： ．
8．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
9．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点个数.
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围并证明 .
10．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数 ．
(1)若函数 是减函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
11．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
12．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数 有两个极值点 ,证明： .
