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专题六 《导数》讲义
6.5 利用导数研究不等式恒成立
知识梳理 . 利用导数研究不等式恒成立
1.恒成立问题: 一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x) ；
max
若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x) .
min
2.存在性问题：若存在x∈D，使a>f(x)成立，则只需a>f(x) ；
0 0 min
若存在x∈D，使a<f(x)成立，则只需a<f(x) .由此构造不等式，求解参数的取值范
0 0 0 max
围．
题型一 . 参变分离
1．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的
范围为 ．
ex
2．已知函数f（x）= −mx（e为自然对数的底数），若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成
x
立，则实数m的取值范围是（ ）
e2 e2
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞， ） C．（﹣∞，e） D．（ ，+∞）
4 4
题型二 . 转化成两个函数
1．已知函数 ，若 f（ax﹣ex+1）＞1 在 x
f(x)=x+sinx−2ln(√x2+1−x)+1
∈
（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（e，+∞） D．（1，e）
2．已知函数f（x）＝x+xlnx，若k Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的
最大值为（ ） ∈
A．2 B．3 C．4 D．5
题型三 . 讨论参数
1．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．1 B．√e C．2 D．e
2．（2014·辽宁）当x [﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围
是（ ） ∈9
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，− ] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
8
ax+1
3．设函数f（x）= （a R）．
ex
∈
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x [0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．
∈
题型四 . 隐零点、构造函数
1．已知函数f（x）＝alnx﹣x+1（其中a R）．
（1）讨论函数f（x）的极值； ∈
1
（2）对任意x＞0，f（x）≤ （a2﹣1）成立，求实数a的取值范围．
2
2．设函数f（x）＝e2x+alnx．
（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；
a
（2）证明：当a＜0时，f(x)≥aln(− )−2a．
2ex
3．已知函数f（x）＝﹣alnx− +ax，a∈R．
x
（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
x2
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+xf′（x），若关于x的不等式g（x）≤﹣ex+ +(a−1)x在
2
x [1，2]上有解，求a的取值范围．
∈题型五 . 双变量问题
1．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若 x ，x [4，+∞）（x ≠x ）， a [2，3]，
1 2 1 2
∀ ∈ ∃ ∈
f(x
2
)−f(x
1
)
＜
2m，则m的取值范围是（ ）
x −x
1 2
5 9 19
A．[﹣2，+∞） B．[− ，+∞) C．(− ，+∞) D．[− ，+∞)
2 2 4
1 a
2．已知函数f（x）= lnx﹣mx（m R），g（x）＝x− （a＞0）．
2 x
∈
（1）求函数f（x）的单调区间；
1
（2）若m = ，对 x ，x [2，2e2]都有g（x ）≥f（x ）成立，求实数a的取值范围．
2e2 1 2 1 2
∀ ∈
x 3
3．已知f（x）＝lnx− + ，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的 x （0，2]，存在
1
4 4x
∈
x [1，2]，使得f（x ）≥g（x ）成立，则a的取值范围是 ．
2 1 2
∈课后作业 . 恒成立
1．已知函数f（x）＝xlnx．若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，则实数a的取值范围为
．
a
2．已知函数f(x)=xln +aex，g（x）＝﹣x2+x，当x （0，+∞）时，f（x）≥g（x）恒
x
∈
成立，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．[ ，+∞） B．[ ，+∞） C．[1，+∞） D．[e，+∞）
e2 e
3．关于 x 的不等式 x2﹣a（x﹣1）ex＜0 恰有一个整数解，则实数 a 的取值范围是
．
lnx
4．设实数 m＞0，若对任意的正实数 x，不等式emx≥ 恒成立，则 m 的最小值为
m
（ ）
1 1 2 e
A． B． C． D．
e 2e e 3
4 a 1
5．已知函数f（x）＝x+ ，g（x）= +x，若 x [ ，1]， x [2，3]，使得f（x ）
x x+1 1 2 2 1
∀ ∈ ∃ ∈
≥g（x ），则实数a的取值范围是 ．
2
6．已知a为实数，函数f（x）＝alnx+x2﹣4x．
（1）若x＝3是函数f（x）的一个极值点，求实数a的取值；
1
（2）设g（x）＝（a﹣2）x，若 x [ ，e]，使得f（x ）≤g（x ），求实数a的取值
0 0 0
e
∃ ∈
范围．
