文档内容
专题 07 导数的概念、运算及简单应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
导数的概念、运算及简单应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求切线方程
2022年全国乙（理科），第21题,12分 分类讨论思想
2、根据零点求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 求切线，根据极值点求参
1、函数不等式恒成立求参数取值范围
2022年全国甲（理科），第21题,12分
2、双变量问题、极值点偏移问题
2022年全国甲（理科），第6题,5分 求某点处的导函数值 已知最值求参
2023年全国甲（文科），第8题,5分 求切线方程
2023年全国乙（文科），第8题,5分 利用导数研究函数的零点
3、判断函数的单调性
2023年全国甲（理科），第21题,12分 三角函数
4、函数不等式恒成立求参数取值范围
3、求切线方程
2023年全国乙（理科），第21题,12分 4、根据函数的性质求参
5、根据极值求参数取值范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置；
2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研
究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数
列不等式、与三角函数的综合问题等。
【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数；
2.通过函数图象,理解导数的几何意义；
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单
的复合函数(形如f(ax+b))的导数；
4.利用导函数判断函数的单调性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15.利用导函数判断函数的极值与最值；
6.利用导函数研究函数的零点；
7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。
【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；
2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；
3.通过导函数研究函数的零点问题；
4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函
数的综合问题等
知识讲解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2一、变化率与导数
1.平均变化率
f (x )-f (x ) Δy
2 1
概念 对于函数y=f(x), = 叫作函数y=f(x)从x 到x 的平均变化率
x -x Δx 1 2
2 1
几何
函数y=f(x)图象上的点(x,f(x))与(x,f(x))连线的
意义 1 1 2 2
物理 Δy
若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 就是该质点在[x,x]上的 速度
意义 Δx 1 2
2.导数
lim Δy lim f (x +Δx)-f (x )
0 0
一般地,函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率Δx→0 =Δx→0 ,称它为函数y=f(x)
0
Δx Δx
定义
lim Δy lim f (x +Δx)-f (x )
在 处的导数,记为 或y' | ,即 =Δx→0 = Δx→0 0 0
x=x
0 Δx Δx
几何 函数y=f(x)在x=x 处的导数f'(x)就是函数图象在该点处切线的 .曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的
0 0 0 0
意义 切线方程是
物理
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 处的导数就是质点在x=x 时的瞬时速度
意义 0 0
二、导数的运算
原函数 导函数 特例或推广
常数
C'=0(C为常数)
函数
(xn) ′ =n⋅xn−1 ( 1 ) ′ 1
常 幂函数 =−
用 (n为正有理数)
x x2
导
三角 (sin x)'= , 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导
数
函数 (cos x)'= 数是周期函数
公
指数 (ax)'=
式 (ex)'=
函数 (a>0,且a≠1)
1 1
对数 (log x) ′ = (Inx) ′ =
a xIna x
函数
(x>0,a>0,且a≠1) (x>0)
加减 [f(x)±g(x)]'= [af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)
四
乘法 [f(x)·g(x)]'= [cf(x)]'=cf'(x)
则
运
算
[f(x)] ′
=
f' (x)g(x)−g' (x)f(x)
[ 1 ] ′ g' (x)
法 除法 g(x) [g(x)] 2 g(x) =−
[g(x)]
2
则
复
合
函
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'= ,这个关系用语言表达
数 x
就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
的
导
数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3求简单函数的导函数的基本方法:
(1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行
调整,再选择合适的求导公式.
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点:
①分解的函数通常为基本初等函数;
②求导时分清是对哪个变量求导;
③计算结果尽量简洁.
解决这类问题,一般是先求导,注意f'(2)是常数,然后赋值求出f'(2)的值,最后代入原导数式求解.
求解过曲线上某点处的切线问题,关键是明确在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
求解过曲线外某点处的切线问题的步骤：
第一步:设出切点坐标P'(x,f(x)).
1 1
第二步:写出过点P'(x,f(x))的切线方程y-f(x)=f'(x)(x-x ).
1 1 1 1 1
第三步:将点P的坐标(x,y)代入切线方程求出x.
0 0 1
第四步:将x 的值代入方程y-f(x)=f'(x)·(x-x ),可得过点P(x,y)的切线方程.
1 1 1 1 0 0
1.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等,得到关于参数的方程(组)或参数满足的不等式(组),进而
求出参数的值或取值范围.
2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
三、函数的单调性与导数的关系
条件 结论
f(x)在(a,b)内
f'(x)>0
函数y=f(x)
f(x)在(a,b)内
在区间(a,b) f'(x)<0
上可导
f(x)在(a,b)内是
f'(x)=0
可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)上的任何
子区间内都不恒为零.
确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤求解即可,但应注意两点:一是不能遗忘求函
数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
解决含参数函数的单调性问题时应注意以下两点:(1)研究含参数函数的单调性,要依据参数对不等式解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4集的影响进行分类讨论;(2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数
的间断点.
函数图象的单调性可以通过导函数的正负来分析判断,即导函数为正,函数图象上升;导函数为负,函数图
象下降.看导函数图象时,主要是看其在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解题时,一定
要分清是函数图象还是其导函数图象.
利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问
题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.
与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数.题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时,常
构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等
式.
利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路:(1)由函数在区间[a,b]上单调递增(减)可知
f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,列出不等式;(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题;(3)对等号
单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去,若只有在
个别点处有f'(x)=0,则参数可取这个值.
四、函数的极值
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附
近的左侧 ,右侧 ,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近
的左侧 ,右侧 ,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
五、函数的最值
1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单
调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.
1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.
2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
对于根据图象判断函数极值的问题,一般先找导数为0的点,再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号.
求函数f(x)极值的步骤:第一步,确定函数的定义域;第二步,求导数f'(x);第三步,解方程f'(x)=0,求出在函数
定义域内的所有根;第四步,列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左、右两侧的符号,如果左正右负,那么f(x)在
0
x 处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在x 处取得极小值.
0 0
讨论参数应从f'(x)=0的两根x,x 是否相等入手进行,从而确定参数的分割范围,然后结合单调性进行极值的
1 2
讨论.
已知函数极值(点)求参数的两个要领
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合
理性.
求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极
值进行比较得到函数的最值.
1.利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤:
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情
况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式
y=f(x).
(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题,结合实际问题作答.
考点一、导数的概念
1．已知物体的位移 （单位：m）与时间 （单位：s）满足函数关系 ，则物体在 时的瞬
时速度为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数 在 处存在导数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知 ，则a=
A．1 B．2 C．3 D．6
1．（北京市丰台区2022~2023学年高二下学期期末数学试题）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时
气球是一个标准的球体，且气球的体积 随着气球半径r的增大而增大.当半径 时，气球的体积
相对于r的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A． B．1 C． D．2
3．
A． B． C． D．不存在
考点二、导数的运算
1．求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；（4） ．
2．已知函数 ，则 .
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．求下列函数的导数：
(1) (2) ；(3) ；(4) .
2．已知函数 导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．21 B．20 C．16 D．11
3．若 ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三、导数的几何意义
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71．已知曲线y＝ －3ln x的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科））函数 的图像在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
3．已知点P在曲线y= 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
α α
A．[0, ) B． C． D．
1．曲线f (x)=x3 +11 在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15
2．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
3．点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四、切线的应用
1．已知函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82．如图，曲线 在点 处的切线为直线 ，直线 经过原点 ，则 （
）
A． B． C． D．
最值问题
3．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则
点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
双切线问题
4．若过点 可作曲线 的两条切线，则点 可以是（ ）
A． B． C． D．
公切线问题
5．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
1．已知函数 的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 ＝ ．
最值问题
y=In(2x−1) 2x−y+3=0
3．在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线 的距离
的最小值是 .
双切线问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 94．过坐标原点可以作曲线 两条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
公切线问题
5．若函数 与 的图象有一条与直线 平行的公共切线，则 .
考点五、简单的函数的单调性
1．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（
）
A． B．
C． D．
2．函数 的单调递增区间是 .
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值
为（ ）．
A． B．e C． D．
4．对于R上可导的任意函数 ，若满足 则必有（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 105．（2023·四川省自贡市名校模拟）已知函数 ，若 ，则 的范围是
．
1．已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则下面四个图象中，
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数 ，则函数 的单调递减区间为 .
3．若函数 在 上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．设定义在 上的函数 满足 ， ，若 ，则 的取值范围为 .
考点六、含参函数的单调性
1．已知函数 ，其中 ， .讨论函数 的单调性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 112．已知函数 ，求函数 的单调递增区间.
3．已知函数 ，讨论函数 的单调性．
1．已知函数 ，讨论函数 的单调性．
2．已知函数 ，求函数 的单调区间．
3．已知函数 ，讨论 的单调性．
考点七、利用导数求解函数的极值
1．已知 是函数 的导函数，若函数 的图象大致如图所示，则 极值点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
3．已知函数 ， .若 ，求m的值及函数 的极值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 121．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间
内有极小值点（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．若函数 有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
3．已知函数 ， .若 是 的极值点，求函数 的极值．
考点八、利用导数研究函数的最值
1．函数 在 上的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．若 对于任意的 恒成立，则正数 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·北京市名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 131．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 无最小值
2．任给两个正数x，y，使得不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，函数 恰有两个不同的零点 ，则
的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
考点九、导数在新情景中的应用
1．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．
比如要求 的近似值，我们可以先构造函数 ，由于0.05与0比较接近，所以求出 处的
切线方程为 ，再把 代入切线方程，故有 ，类比上述方式．则 （
）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
2．（2023·湖北省名校模拟）若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数
都满足 ，则称此直线 为 和 的“隔离直线”.已知函数 ，
，若 和 存在唯一的“隔离直线”，则 （ ）
A． B． C． D．
3．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程 的根就是函数 的零点 ，取初始
值 ， 的图象在横坐标为 的点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ， 的图象在横坐标为 的
点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ， ，…， ，它们越来越接近 ．若
， ，则用牛顿法得到的 的近似值 约为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
1．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用
圆的外切正 边形和内接正 边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，事实上就是
用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，
在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数 “近似计算”
的值为 （结果用分数表示）.
2．新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度
重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长
期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当
地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 （ 表
示自4月20日开始 （单位：天）时刻累计感染人数， 的导数 表示 时刻的新增病例数），则下列
命题正确的是（ ）
A．4月20号累计感染人数为2500
B．4月20号新增病例数为25
C．4月20号新增病例数为45
D．新增病例数自4月20号起逐渐减少
3．英国数学家布鲁克泰勒（BrookTaylor，1685.8～1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根
据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于
，有 ，若取 ，则
，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式．
如
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15由此可以判断下列各式错误的是（ ）．
A． （i是虚数单位）
B． （i是虚数单位）
C．
D．
【基础过关】
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅰ））曲线 在点 处的切线
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年陕西省模拟（理科））下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年湖北省联考）设 ，则 的导函数 （ ）
A． B． C． D．
4．已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为
，则在 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年福建省学业质量监测（B卷））已知函数 的导函数为 ，且满足 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023年江苏省模拟）已知 ，则 （
）
A． B． C． D．
7．（2023年福建省联考）若 ，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的单调递减区间为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 169．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））若函数 在区间
上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷）） ．
11．函数 在 上的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
12．（2022年全国新高考I卷数学试题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
13．已知函数 ，且满足 ，则（ ）
A．函数 在 处有极大值 B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 有两个极值点 D．函数 在区间 上是增函数
14．我们比较熟悉的网络新词，有“ ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 的实数根
叫做函数 的“躺平点” 若函数 ， ， 的“躺平点”分别为
， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
【能力提升】
1．若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，记 ，则 的最小值为 ．
3．（2021年江西省模拟）已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2023年河北省模拟）在等比数列 中， ，若函数 ，则
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17A． B． C． D．
5．（2023年北京名校模拟）已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ．那么函数
的极值点的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023年湖北省联考）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023年陕西省模拟文科）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式
和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有
阶导数，那么对于 ，有
，若取 ，则
，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式.
计算器正是利用这一公式将 ， ， ， ， 等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数
值近似求出原函数的值，如 ， ，则运用上面的想法求
的近似值为（ ）
A．0.50 B． C． D．0.56
8．已知函数 ， （ ），若经过点 存在一条直线l与 的图象
和 的图象都相切，则实数a的值为 .
9．（2023年河南省模拟文科）已知函数 是奇函数， 且 ， 是
的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4 C． 是奇函数 D．
10．已知函数 ，讨论 的单调性．
11．（2022年全国新高考II卷数学试题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1812．（2023年江苏省模拟）设函数 的导函数为 ， ，且 ，则
________， 的解集是________．
13．已知直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极小值，则下
列错误的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2019年全国统一高考（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线 在点 处的切线方程为
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2019年全国统一高考（文科）（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点
可以作曲线y=ex
的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线 与曲线y= 和 都相切，
l
则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 的一条切线的斜率为2，则
该切线的方程为 .
8．（2021年全国高考甲卷（理科））曲线 在点 处的切线方程为__________．
9．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 在点 处的切线方程为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19．
10．（2022年全国高考乙卷（理科））已知 和 分别是函数 （ 且 ）的
极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
11．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
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