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四川省凉山州 2020 年中考数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.（﹣1）2020等于（ ）
A. ﹣2020 B. 2020 C. ﹣1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据负数的偶次方是正数可以解答．
【详解】（﹣1）2020=1，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．
2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．
【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
3.点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.
【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数
∴点 关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）
故选B
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；
关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.
4.已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得： ，
所以这组数据的众数是：﹣1和3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键．
5.一元二次方程x2=2x的解为（ ）
A. x=0 B. x=2 C. x=0或x=2 D. x=0且x=2
【答案】C
【解析】
【详解】或
故选C.
6.下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，正确；
D.∵ ，
∴ 无意义；
故选C．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数
值．
7.已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ）
A. m>- B. m<3 C. - <m<3 D. - <m≤3
【答案】D
【解析】
【分析】
一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.
【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，，解得：－ ＜m＜3.
当函数图象经过第一，三象限时，
，解得m＝3.
∴－ ＜m≤3.
故选D.
【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过
第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0
时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，
三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.
8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段 ，则线段BD的长为（ ）
A. 10cm B. 8cm C. 8cm或10cm D. 2cm或4cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC= AB=6cm
当AD= AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
9.下列命题是真命题的是（ ）
A. 顶点在圆上的角叫圆周角
B. 三点确定一个圆
C. 圆的切线垂直于半径
D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，
解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
10.如图所示， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】如图，取格点E，连接BE，由题意得： ， ， ，
∴ ．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的
关键．
11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
过点O作 ， ，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，
根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作 ， ，设圆的半径为r，∴△OBM与△ODN是直角三角形， ，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，
∴ , ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解
是解题的关键．
12.二次函数 的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③ ；
④ （m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，
根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合
②的结论可判断③；由于当 x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即 （m为实
数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴ ，
∴b＜0， ，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴ ，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵ ，∴ ，
整理即得： ，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴ （m为实数），即 （m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌
握二次函数的图象与性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥﹣1.
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件判断即可.
【详解】由于二次根式需要有意义,则x+1≥0,x≥﹣1.
故答案为x≥﹣1.
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识.
14.因式分解： =_______________.
【答案】a(a+b)(a-b).
【解析】
分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.
解析：原式= a(a+b)(a-b).
故答案为a(a+b)(a-b).
15.如图， 的对角线AC、BD相交于点O， 交AD于点E，若OA=1， 的周长等
于5，则 的周长等于__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1， 的周长等于
5，可求得具体的结果．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴O为BD和AC的中点，
又∵ ，∴ ， ，E为AD的中点，
又∵OA=1， 的周长等于5，
∴AE+OE=4，
∴ ，
∴ 的周长= ．
故答案为16．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键．
16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面 ，则半圆的半径OA的长为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 证明 再证明 从而可以列方程求解半径．
【详解】解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
为等边三角形，解得： （负根舍去），
故答案为：
【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，
掌握以上知识是解题的关键．
17.如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线 相交于点D，且 ，
则k的值为__________．【答案】
【解析】
【分析】
过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例
定理求出DM＝ AB，DN＝ BC，代入矩形的面积即可求出答案．
【详解】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形是OABC矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，
∴△ODM∽△OBA，
∴ ，
∴DM＝ AB，
同理DN＝ BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝ AB× BC＝ ×3＝ ，即k＝xy＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等
知识点的理解和掌握，能推出DM＝ AB和DN＝ BC是解此题的关键．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
18.解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、
系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐
渐向x＝a形式转化．
19.化简求值： ，其中【答案】 ，5
【解析】
【分析】
利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将 代入求值即可．
【详解】原式=
=
=
将 代入得3×2-1=5．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．
20.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，
使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】48mm
【解析】
【分析】
设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进
行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，∴ ,
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21.某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在
第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的
统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为
；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品
中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率．
【答案】（1）24；150°（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品
数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；
（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；
（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
（2）∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）= ．
【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的
结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考
查了统计图．
22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分 交半圆于点D，过点D作
与AC的延长线交于点H．的
（1）求证：DH是半圆 切线；
（2）若 ， ，求半圆的直径．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH= ，
在Rt△AOE中，根据sin∠BAC= ，sin∠BAC= ，可得AO= = × =6，即可求
出直径．
【详解】（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分 ，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AH，
∵DH⊥AH，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，∴OE=DH= ，
在Rt△AOE中，
∵sin∠BAC= ，sin∠BAC= ，
∴AO= = × =6，
∴AB=2OA=12，
∴半圆的直径长为12．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所
学知识点是解题关键．
23.关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是________________.
【答案】- ≤a＜-
【解析】
【分析】
解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．
【详解】
解不等式①得，x＞8；
解不等式②得，x＜2-4a；
∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.
∵不等式组有4个整数解，∴12＜2-4a≤13，
∴- ≤a＜-
24.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将 沿
EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
如图 ，连接 利用三角形三边之间的关系得到 最短时 的位置，如图 利用勾股定理计算
，从而可得答案．
【详解】解：如图 ，连接
则 ＞ ，
为
定值，
当 落在 上时， 最短，
图如图 ，连接 ，
由勾股定理得：
即 的最小值为：
故答案为：
图
【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，
掌握以上知识是解题的关键．
25.如图，点P、Q分别是等边 边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时
从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M， 的大小是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M， 的大小是否变
化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【解析】
【分析】
（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全
等即可；
（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角
相等可得 的度数；
（3）先证出 ，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．
【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
∴ ．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角
形的性质证全等是解题的关键．
26.如图，已知直线
（1）当反比例函数 的图象与直线 在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数 的图象与直线 在第一象限内相交于点 、 ，当
时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式 的解集
【答案】（1） ；（2） ； 或 ；
【解析】
【分析】
（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；的
（2）根据韦达定理，可得方程两根 关系，结合 ，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐
标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
【详解】解：（1）∵ 与 的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
∴k的取值范围为： ；
（2）由（1）得 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
解得： ， ，
∴不等式 的解集是： 或 ；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解
题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．
27.如图， 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， 、 、 所对的边分别是a、b、c（1）求证：
（2）若 ， ， ，利用（1）的结论求AB的长和 的值
【答案】(1)详见解析;(2)AB= , .
【解析】
【分析】
(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.
(2)利用(1)中的结论代入求出AB,在作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出 .
【详解】(1)
如图所示,连接BO并延长交圆于A,连接AC,可得 , ,根据三角函数可得
1 1
,则 .同理可得 , .
∴ .
(2)根据(1) 的结论可得 ,
, , .将值代入得:
,解得 ,即AB= .
过点B作BD⊥AC,由题意可得 , ,
∴AD=AB·sin = , AD=BC·sin = .
∴AC=AD+CD= .
∴ 即 ,得 .
【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.28.如图，二次函数 的图象过 、 、 三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线
CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作 轴，交直线CD于Q，当线段PQ
的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）y=- x+ ；（3）（- ， ）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y= x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=
x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于
t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）把 、 、 代入得
解得
∴二次函数的解析式为 ；
（2）如图，∵ ，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把 代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y= x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=- x+m,
把E 代入得
解得m=∴直线CD的解析式为y=- x+ ；
（3）联立
得到
解得x=- ,x=1，
1 2
设P的横坐标为t，则P（t, ），
∵过点P作 轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，- t+ ）
∴PQ=（- t+ ）-（ ）=-
故当t=- 时PQ有最大值
此时P的坐标为（- ， ）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
