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2019年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分）（2019•凉山州） 的相反数是
A．2 B． C． D．
2．（4分）（2019•凉山州）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数
153300000000是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•凉山州）如图， ， 与 交于点 ， ， ，则
的度数为
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•凉山州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•凉山州）不等式 的解集是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•凉山州）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
7．（4分）（2019•凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距
离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，
真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
第1页（共29页）8．（4分）（2019•凉山州）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两
点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，连接 ，则 的面积等于
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（4分）（2019•凉山州）如图，在 中， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
10．（4分）（2019•凉山州）如图，在 中， 在 边上， ， 是 的中点，
连接 并延长交 于 ，则
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•凉山州）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针
旋转 后得到 ，则 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
第2页（共29页）A． B． C． D．
12．（4分）（2019•凉山州）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①
；② ；③ ；④ ，其中错误结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2019•凉山州）方程组 的解是 ．
14．（4分）（2019•凉山州）方程 的解是 ．
15．（4分）（2019•凉山州）如图所示， 是 的直径，弦 于 ， ，
，则 的半径是 ．
第3页（共29页）16．（4分）（2019•凉山州）在 中， 是 上一点，且点 将 分为 的两部分，
连接 、 相交于 ，则 是 ．
17．（4分）（2019•凉山州）将抛物线 向左平移 个单位后经过点 ．
三、解答题（共5小题，共32分）
18．（5分）（2019•凉山州）计算： ．
19．（5分）（2019•凉山州）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（6分）（2019•凉山州）如图，正方形 的对角线 、 相交于点 ， 是 上一
点，连接 ．过点 作 ，垂足为 ， 与 相交于点 ．求证： ．
21．（8分）（2019•凉山州）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行
统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有 来自七年级， 来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从
获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所
第4页（共29页）选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
22．（8分）（2019•凉山州）如图，点 是以 为直径的 上一点，过点 作 的切线，
交 的延长线于点 ， 是 的中点，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）（2019•凉山州）当 时，直线 与抛物线 有交点，则 的取
值范围是 ．
24．（5分）（2019•凉山州）如图，正方形 中， ， ，点 在 上运动
（不与 、 重合），过点 作 ，交 于点 ，则 的最大值为 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）（2019•凉山州）已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 、 ，
两点，且 ，求 的值．
26．（10分）（2019•凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若 （或 ，则 或 ；
第5页（共29页）②若 （或 ，则 或 ．
根据上述知识，求不等式 的解集
解：原不等式可化为：（1） 或（2） ．
由（1）得， ，
由（2）得， ，
原不等式的解集为： 或 ．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式 的解集为 ．
（2）求不等式 的解集（要求写出解答过程）
27．（10分）（2019•凉山州）如图， ， 平分 ，过点 作
交 于 ．连接 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
28．（12分）（2019•凉山州）如图，抛物线 的图象过点 、 、
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐
标及 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在 轴上方的抛物线上是否存在点 （不与 点重合），使得
第6页（共29页）？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共29页）2019 年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正
确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置
1．（4分） 的相反数是
A．2 B． C． D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义， 的相反数是2．
故选： ．
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是
A． B． C． D．
【考点】 ：科学记数法 表示较大的数
【分析】利用科学记数法表示即可
【解答】解：
科学记数法表示：153 300 000
故选： ．
3．（4分）如图， ， 与 交于点 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【考点】 ：平行线的性质
【分析】直接利用三角形的外角性质得出 度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解： ， ，
，
第8页（共29页），
．
故选： ．
4．（4分）下列各式正确的是
A． B． C． D．
【考点】35：合并同类项；73：二次根式的性质与化简；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积
的乘方
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性
质解答即可．
【解答】解： 、 ，故选项 不合题意；
、 ，故选项 符合题意；
、 ，故选项 不合题意；
、 ，故选项 不合题意．
故选： ．
5．（4分）不等式 的解集是
A． B． C． D．
【考点】 ：解一元一次不等式
【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解： ，
．
故选： ．
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
人数（人 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
【考点】 ：中位数； ：众数
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
第9页（共29页）【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，
这组数据的中位数为 ；
故选： ．
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间
线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】 ：命题与定理
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选： ．
8．（4分）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两点，过点 作
轴的垂线交 轴于点 ，连接 ，则 的面积等于
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】 ：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由于点 、 位于反比例函数图象上且关于原点对称，则 ，再根据反比
例函数系数 的几何意义作答即可．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的
第10页（共29页）直角三角形面积 是个定值，
即 ．
所以 的面积等于 ．
故选： ．
9．（4分）如图，在 中， ， ，则 的值为
A． B． C． D．
【考点】 ：解直角三角形
【分析】过点 作 ，垂足为 ，在 中可求出 ， 的长，在 中，
利用勾股定理可求出 的长，再利用正弦的定义可求出 的值．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示．
在 中， ，
；
在 中， ， ，
，
．
故选： ．
10．（4分）如图，在 中， 在 边上， ， 是 的中点，连接 并延
第11页（共29页）长交 于 ，则
A． B． C． D．
【考点】 ：平行线分线段成比例
【分析】过 作 的平行线交 与 ，由中位线的知识可得出 ，根据已知和
平行线分线段成比例得出 ， ， ，再由同高不同底
的三角形中底与三角形面积的关系可求出 的比．
【解答】解：如图，过 作 ，交 于 ，
是 的中点，
是 的中点．
又 ，
，
， ，
设 ， ，又 ，
， ，
，
， ，
， ，
故选： ．
第12页（共29页）11．（4分）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 后得到
，则 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
A． B． C． D．
【考点】 ：扇形面积的计算； ：旋转的性质
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积 扇形 的面积 扇形 的面积，利
用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解： ，
阴影部分的面积 扇形 的面积 扇形 的面积 ，
故选： ．
12．（4分）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：① ；②
；③ ；④ ，其中错误结论的个数是
第13页（共29页）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】 ：二次函数图象与系数的关系
【分析】①对称轴为 ，得 ；
②函数图象与 轴有两个不同的交点，得△ ；
③当 时， ，当 时， ，得 ；
④由对称性可知 时对应的 值与 时对应的 值相等，当 时 ，
；
【解答】解：由图象可知 ， ，对称轴为 ，
，
，
①正确；
函数图象与 轴有两个不同的交点，
△ ，
②正确；
当 时， ，
当 时， ，
，
，
③正确；
由对称性可知 时对应的 值与 时对应的 值相等，
当 时 ，
，
，
第14页（共29页），
④错误；
故选： ．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）方程组 的解是 ．
【考点】98：解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解： ，
② ①得：
，
把 代入①得：
，
解得： ，
方程组的解为： ，
故答案为： ．
14．（4分）方程 的解是 ．
【考点】 ：解分式方程
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．
【解答】解：
去分母，得
去括号，得
移项并整理，得
所以
解得 或
经检验， 是原方程的解．
第15页（共29页）故答案为： ．
15．（4分）如图所示， 是 的直径，弦 于 ， ， ，则 的
半径是 2 ．
【考点】 ：勾股定理； ：垂径定理； ：圆周角定理
【分析】连接 ，由圆周角定理和垂径定理得出 ， ，由直
角三角形的性质得出 ， ， ，得出 ，
，求出 即可．
【解答】解：连接 ，如图所示：
是 的直径，弦 于 ，
， ，
，
，
在 中， ，
， ，
， ，
，
即 的半径是2；
故答案为：2．
第16页（共29页）16．（4分）在 中， 是 上一点，且点 将 分为 的两部分，连接 、
相交于 ，则 是 或 ．
【考点】 ：平行四边形的性质； ：相似三角形的判定与性质
【分析】分 、 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：①当 时，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
；
②当 时，
同理可得， ，
故答案为： 或 ．
17．（4分）将抛物线 向左平移 3 个单位后经过点 ．
【考点】 ：二次函数的性质； ：二次函数图象与几何变换
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【解答】解： 将抛物线 向左平移后经过点 ，
设平移后解析式为： ，
则 ，
解得： 或 （不合题意舍去），
故将抛物线 向左平移3个单位后经过点 ．
故答案为：3．
三、解答题（共5小题，共32分）
第17页（共29页）18．（5分）计算： ．
【考点】 ：实数的运算； ：零指数幂； ：负整数指数幂； ：特殊角的三角函数值
【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以
及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．
【解答】解：原式 ．
19．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】 ：整式的混合运算 化简求值
【分析】注意到 可以利用完全平方公式进行展开， 利润平方差公式可化为
，则将各项合并即可化简，最后代入 进行计算．
【解答】解：
原式
将 代入原式
20．（6分）如图，正方形 的对角线 、 相交于点 ， 是 上一点，连接 ．过
点 作 ，垂足为 ， 与 相交于点 ．求证： ．
【考点】 ：正方形的性质； ：全等三角形的判定与性质
【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 ，根据 ，即可得出
，从而证出 ，得到 ．
【解答】证明： 四边形 是正方形．
， ．
第18页（共29页）又 ，
，
．
．
．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如
下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 4 0 人；
（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有 来自七年级， 来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从
获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所
选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【考点】 ：条形统计图； ：扇形统计图； ：列表法与树状图法
【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；
（2）用 乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；
（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；
（4）画树状图（用 、 、 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能
的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式
求解．
【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 （人 ，
故答案为：40；
（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为 ，
第19页（共29页）故答案为： ．
（3）获二等奖的人数 ，一等奖的人数为 （人 ，
条形统计图为：
（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用 、 、 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率 ．
22．（8分）如图，点 是以 为直径的 上一点，过点 作 的切线，交 的延长线
于点 ， 是 的中点，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】 ：切线的判定与性质
【分析】（1）连接 ，由 为 的直径得 ，根据 知 、由
知 ，根据 是 的切线得 ，即 ，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到 ， ，求得 ，得到 ，
第20页（共29页）根据三角形的内角和得到 ，求得 ，根据等腰三角形的
性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接 ， ，
为 的直径，
，
在 中， ，
，
，
是 的切线，
，
，
又 ，
，
为 的切线；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
第21页（共29页）四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）当 时，直线 与抛物线 有交点，则 的取值范围是
．
【考点】 ：二次函数的性质； ：二次函数图象上点的坐标特征
【分析】直线 与抛物线 有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式
进行计算．
【解答】解：
法一： 与抛物线 有交点
则有 ，整理得
△
解得 ，
，对称轴
法二：由题意可知，
抛物线的 顶点为 ，而
抛物线 的取值为
，则直线 与 轴平行，
要使直线 与抛物线 有交点，
抛物线 的取值为 ，即为 的取值范围，
第22页（共29页）故答案为：
24．（5分）如图，正方形 中， ， ，点 在 上运动（不与 、 重
合），过点 作 ，交 于点 ，则 的最大值为 4 ．
【考点】 ：正方形的性质； ：相似三角形的判定与性质； ：二次函数的最值
【分析】先证明 ，得到与 有关的比例式，设 ， ，则 ，
代入解析式，得到 与 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解： ， ，
．
又 ，
．
．
设 ， ，则 ．
，化简得 ，
整理得 ，
所以当 时， 有最大值为4．
故答案为4．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 、 ， 两点，且
，求 的值．
【考点】 ：抛物线与 轴的交点
【分析】有韦达定理得 ， ，将式子 化简代入即可；
第23页（共29页）【解答】解： 的图象与 轴交于 ， 、 ， 两点，
， ，
，
或 ；
26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若 （或 ，则 或 ；
②若 （或 ，则 或 ．
根据上述知识，求不等式 的解集
解：原不等式可化为：（1） 或（2） ．
由（1）得， ，
由（2）得， ，
原不等式的解集为： 或 ．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式 的解集为 ．
（2）求不等式 的解集（要求写出解答过程）
【考点】 ：解一元一次不等式； ：解一元一次不等式组
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不
等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，
分别求解可得．
【解答】解：（1）原不等式可化为：① 或② ．
由①得，空集，
第24页（共29页）由②得， ，
原不等式的解集为： ，
故答案为： ．
（2）由 知① 或② ，
解不等式组①，得： ；
解不等式组②，得： ；
所以不等式 的解集为 或 ．
27．（10分）如图， ， 平分 ，过点 作 交 于 ．
连接 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】 ：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）通过证明 ，可得 ，可得结论；
（2）由平行线的性质可证 ，即可证 ，由 和
勾股定理可求 的长，通过证明 ，可得 ，即可求 的长．
【解答】证明：（1） 平分 ，
，且 ，
第25页（共29页）（2）
，且
，
，且 ， ，
，
，且
28．（12分）如图，抛物线 的图象过点 、 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐
标及 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在 轴上方的抛物线上是否存在点 （不与 点重合），使得
？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第26页（共29页）【考点】 ：二次函数综合题
【分析】（1）由于条件给出抛物线与 轴的交点 、 ，故可设交点式
，把点 代入即求得 的值，减小计算量．
（ 2 ） 由 于 点 、 关 于 对 称 轴 ： 直 线 对 称 ， 故 有 ， 则
，所以当 、 、 在同一直线上时，
最小．利用点 、 、 的坐标求 、 的长，求直线 解析式，把 代入即求得点
纵坐标．
（3）由 可得，当两三角形以 为底时，高相等，即点 和点 到直线 距离
相等．又因为 在 轴上方，故有 ．由点 、 坐标求直线 解析式，即得到直线
解析式．把直线 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点 坐标．
【解答】解：（1） 抛物线与 轴交于点 、
可设交点式
把点 代入得：
抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点 ，使得 的周长最小．
如图1，连接 、
点 在抛物线对称轴直线 上，点 、 关于对称轴对称
第27页（共29页）当 、 、 在同一直线上时， 最小
、 、
，
最小
设直线 解析式为
把点 代入得： ，解得：
直线
点 使 的周长最小，最小值为 ．
（3）存在满足条件的点 ，使得 ．
当以 为底时，两三角形等高
点 和点 到直线 距离相等
在 轴上方
， ，设直线 解析式为
解得：
直线
直线 解析式为：
解得： （即点 ，
点 坐标为
第28页（共29页）第29页（共29页）
