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2019年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）（2019•玉林）9的倒数是
A． B． C．9 D．
2．（3分）（2019•玉林）下列各数中，是有理数的是
A． B．1.2 C． D．
3．（3分）（2019•玉林）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．圆
4．（3分）（2019•玉林）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表
示是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•玉林）若 ，则 的余角等于
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•玉林）下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2019•玉林）菱形不具备的性质是
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
8．（3分）（2019•玉林）若一元二次方程 的两根为 ， ，则 的
值是
A．4 B．2 C．1 D．
第1页（共25页）9．（3分）（2019•玉林）如图， ， ， 与 交于点 ，则是相似三角
形共有
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
10．（3分）（2019•玉林）定义新运算： ，例如： ， ，
则 的图象是
A． B．
C． D．
11．（3分）（2019•玉林）如图，在 中， ， ， ，点 是 的三等
分点，半圆 与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动点，则 的最小值和最大值之
和是
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）（2019•玉林）已知抛物线 ，顶点为 ，将 沿水平方向向右（或
第2页（共25页）向左）平移 个单位，得到抛物线 ，顶点为 ， 与 相交于点 ，若 ，则
等于
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2019•玉林）计算： ．
14．（3分）（2019•玉林）样本数据 ，0，3，4， 的中位数是 ．
15．（3分）（2019•玉林）我市博览馆有 ， ， 三个入口和 ， 两个出口，小明入馆游览，
他从 口进 口出的概率是 ．
16．（3分）（2019•玉林）如图，一次函数 的图象在第一象限与反比例函数
的图象相交于 ， 两点，当 时， 的取值范围是 ，则 ．
17．（3分）（2019•玉林）设 ，则 ，则 的取值范围是 ．
18．（3分）（2019•玉林）如图，在矩形 中， ， ，一发光电子开始置于
边的点 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 方向发射，
碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 ，若发光电子与矩形的边
碰撞次数经过2019次后，则它与 边的碰撞次数是 ．
第3页（共25页）三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2019•玉林）计算： ．
20．（6分）（2019•玉林）解方程： ．
21．（6分）（2019•玉林）如图，已知等腰 顶角 ．
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最
后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证： 是等腰三角形．
22．（8分）（2019•玉林）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，
成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分
的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为 ．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当 时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
23．（9分）（2019•玉林）如图，在 中， ， ，以 为直径作 分别
交于 ， 于点 ， ，过点 作 的切线 交 于点 ，连接 ．
第4页（共25页）（1）求证： 是 的中位线；
（2）求 的长．
24．（9分）（2019•玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内 农户”
养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量
分别是2.5万 与3.6万 ，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为
0.32万 ．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础
上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）（2019•玉林）如图，在正方形 中，分别过顶点 ， 作 交对角线
所在直线于 ， 点，并分别延长 ， 到点 ， ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知： ， ， ，求四边形 的周长．
26．（12分）（2019•玉林）已知二次函数： ．
（1）求证：二次函数的图象与 轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 为负整数时，求 的值及二
次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 轴的两个交点 ，
在 的左侧），与 轴的交点 及其顶点 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 ，
， ， 的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 使 ？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
第5页（共25页）第6页（共25页）2019 年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是
A． B． C．9 D．
【考点】倒数
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：9的倒数是： ．
故选： ．
2．（3分）下列各数中，是有理数的是
A． B．1.2 C． D．
【考点】实数
【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案．
【解答】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选： ．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．圆
【考点】简单几何体的三视图
【分析】根据圆柱底面圆半径为2，高为2，即可得到底面直径为4，进而得出圆柱的左视图是
长方形．
【解答】解： 圆柱底面圆半径为2，高为2，
底面直径为4，
圆柱的左视图是一个长为4，宽为2的长方形，
故选： ．
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是
第7页（共25页）A． B． C． D．
【考点】科学记数法 表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：278亿用科学记数法表示应为 ，
故选： ．
5．（3分）若 ，则 的余角等于
A． B． C． D．
【考点】度分秒的换算；余角和补角
【分析】根据互为余角的定义作答．
【解答】解： ，
的余角等于： ．
故选： ．
6．（3分）下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【考点】合并同类项；整式的除法；同底数幂的乘法
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，无法计算，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
7．（3分）菱形不具备的性质是
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
第8页（共25页）【考点】中心对称图形；菱形的性质；轴对称图形
【分析】根据菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解： 、是轴对称图形，故正确；
、是中心对称图形，故正确；
、对角线互相垂直，故正确；
、对角线不一定相等，故不正确；
故选： ．
8．（3分）若一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值是
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代入的方法计算
的值．
【解答】解：根据题意得 ， ，
所以 ．
故选： ．
9．（3分）如图， ， ， 与 交于点 ，则是相似三角形共有
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【考点】相似三角形的判定
【分析】图中三角形有： ， ， ， ，因为 ， ，所以
，有6种组合
【解答】解：图中三角形有： ， ， ， ，
，
第9页（共25页）共有6个组合分别为： ， ， ， ，
，
故选： ．
10．（3 分）定义新运算： ，例如： ， ，则
的图象是
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象
【分析】根据题目中的新定义，可以写出 函数解析式，从而可以得到相应的函数图
象，本题得以解决．
【解答】解： ，
，
故选： ．
11．（3分）如图，在 中， ， ， ，点 是 的三等分点，半圆
与 相切， ， 分别是 与半圆弧上的动点，则 的最小值和最大值之和是
第10页（共25页）A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】切线的性质
【分析】设 与 相切于点 ，连接 ，作 垂足为 交 于 ，此时垂线段
最短， 最小值为 ，当 在 边上时， 与 重合时， 最大值
，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设 与 相切于点 ，连接 ，作 垂足为 交 于 ，
此时垂线段 最短， 最小值为 ，
， ，
，
点 是 的三等分点，
， ，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
最小值为 ，
如图，当 在 边上时， 与 重合时， 经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值 ，
第11页（共25页）长的最大值与最小值的和是6．
故选： ．
12．（3分）已知抛物线 ，顶点为 ，将 沿水平方向向右（或向左）平移
个单位，得到抛物线 ，顶点为 ， 与 相交于点 ，若 ，则 等于
A． B． C． 或 D． 或
【考点】二次函数的性质
【分析】根据平移的性质求得交点 的横坐标，代入 求得纵坐标，然后根据题意和勾股定理
得到， ，解方程即可求得．
【解答】解：抛物线 沿水平方向向右（或向左）平移 个单位得到
，
， ，
点的横坐标为： ，
代入 求得 ， ，
若 ，则 是等腰直角三角形，
第12页（共25页），
由勾股定理得， ，
解得 ，
故选： ．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算： ．
【考点】有理数的减法
【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解： ．
故答案为：
14．（3分）样本数据 ，0，3，4， 的中位数是 0 ．
【考点】中位数
【分析】根据中位数的定义求解．
【解答】解：按从小到大的顺序排列是： ， ，0，3，4．
中间的是1．则中位数是：0．
故答案是：0．
15．（3分）我市博览馆有 ， ， 三个入口和 ， 两个出口，小明入馆游览，他从 口进
口出的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式
求出该事件的概率．
【解答】解：根据题意画树形图：
第13页（共25页）共有6种等情况数，其中“ 口进 口出”有一种情况，
从“ 口进 口出”的概率为 ；
故答案为： ．
16．（3分）如图，一次函数 的图象在第一象限与反比例函数 的图象相
交于 ， 两点，当 时， 的取值范围是 ，则 4 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立， 、 的横坐标分别为1、4，代入方程求
解得到 的值．
【解答】解：由已知得 、 的横坐标分别为1，4，
所以有
解得 ，
故答案为4．
17．（3分）设 ，则 ，则 的取值范围是 ．
【考点】不等式的性质；约分
【分析】把 的分子、分母分别因式分解，约分后可得 ，再根据
即可确定 的取值范围．
第14页（共25页）【解答】解： ，
，
，
，
即 ．
故答案为：
18．（3分）如图，在矩形 中， ， ，一发光电子开始置于 边的点 处，
并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 方向发射，碰撞到矩形
的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 ，若发光电子与矩形的边碰撞次数经
过2019次后，则它与 边的碰撞次数是 67 2 ．
【考点】生活中的轴对称现象；矩形的性质
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，
发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解答】解：如图
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点
，且每次循环它与 边的碰撞有2次，
，
当点 第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点 的坐标为
它与 边的碰撞次数是 次
第15页（共25页）故答案为672
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算： ．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】先取绝对值符号、乘方、二次根式和零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式
．
20．（6分）解方程： ．
【考点】解分式方程
【 分 析 】 化 简 所 求 方 程 为 ， 将 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程
，解得 ，检验方程的根即可求解；
【解答】解： ，
，
，
经检验 是方程的增根，
原方程无解；
21．（6分）如图，已知等腰 顶角 ．
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最
后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证： 是等腰三角形．
【考点】作图 复杂作图；等腰三角形的判定与性质
第16页（共25页）【分析】（1）作 的垂直平分线交 于 ；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，再利用 得到
，所以 ，从而可判断 是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，点 为所作；
（2）证明： ，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为
60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如
图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为 ．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ；
（2）当 时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
【考点】概率公式；扇形统计图；众数
【分析】（1）求出低于80分的征文数量，再根据概率公式计算可得；
（2）当 时，成绩是70分的人数为10人，据此求解可得；
第17页（共25页）（3）根据题意得出各组人数进而求出平均数．
【解答】解：（1）低于80分的征文数量为 ，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是 ，
故答案为： ．
（2）当 时，成绩是70分的人数为10人，
则成绩是60分的人数 （人 ；
（3） 分的人数为： （人 ，且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
最大值为： （分 ．
23．（9分）如图，在 中， ， ，以 为直径作 分别交于 ，
于点 ， ，过点 作 的切线 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中位线；
（2）求 的长．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形中位线定理
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得 ，由等腰三角形的性质得出
，证出 是 的中位线，得出 ，得出 ，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出 ，由三角形面积得出 ，由三角
形中位线定理即可得出 ．
【解答】（1）证明：连接 ，如图所示：
为 的直径，
，
， ，
第18页（共25页），
，
是 的切线，
，
，
是 的中位线，
，
，
，
，
，
是 的中位线；
（2）解： ，
，
的面积 ，
，
是 的中位线，
．
24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内 农户”养殖模式，同时
加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万
与3.6万 ，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为
0.32万 ．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础
上至少再增加多少个销售点？
第19页（共25页）【考点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 ，根据题意列方程即可得到结论；
（2）设至少再增加 个销售点，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 ，
根据题意得， ，
解得： ， （不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 ；
（2）设至少再增加 个销售点，
根据题意得， ，
解得： ，
答：至少再增加3个销售点．
25．（10分）如图，在正方形 中，分别过顶点 ， 作 交对角线 所在直线
于 ， 点，并分别延长 ， 到点 ， ，使 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知： ， ， ，求四边形 的周长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）证明 ，得 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形可得结论；
（2）如图，连接 ，交 于 ，计算 和 的长，得 ，根据三角函数可得
的长，从而得 和 的长，利用勾股定理计算 的长，最后根据四边的和计算结
论．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
第20页（共25页），
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
即 ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）如图，连接 ，交 于 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
中， ，
，
，
， ，
，
，
第21页（共25页），
，
，
， ，
过 作 于 ，交 的延长线于 ，
，
，
，
，
，
， ，
四边形 的周长 ．
26．（12分）已知二次函数： ．
（1）求证：二次函数的图象与 轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 为负整数时，求 的值及二
次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 轴的两个交点 ，
在 的左侧），与 轴的交点 及其顶点 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 ，
， ， 的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 使 ？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
第22页（共25页）【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与 轴的交点为 、 ， ，结合 即
可得证；
（2）结合（1）中一个交点坐标 ， 及横坐标均为整数，且 为负整数可得 的值，从而得
出抛物线解析式，继而求出点 、 坐标，从而画出函数图象；
（3）分点 在 上方和下方两种情况，结合 得出直线 与 轴所夹锐角度数，
从而求出直线 解析式，继而联立方程组，解之可得答案．
【解答】解：（1） ，且 ，
抛物线与 轴的交点为 、 ， ，
则二次函数的图象与 轴有两个交点；
（2） 两个交点的横坐标均为整数，且 为负整数，
，
则抛物线与 轴的交点 的坐标为 、 的坐标为 ，
抛物线解析式为
，
当 时， ，即 ，
函数图象如图1所示：
第23页（共25页）（3）存在这样的点 ，
，
，
如图2，当点 在直线 上方时，记直线 与 轴的交点为 ，
，
， ，
则 ，
，
则 ， ，
求得直线 解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
， ；
如图3，当点 在直线 下方时，记直线 与 轴的交点为 ，
第24页（共25页）， ，
，
则 ，
， ，
求得直线 解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
， ，
综上，点 的坐标为 ， 或 ， ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/11 8:48:09；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第25页（共25页）
