文档内容
2019年贵州省贵阳市中考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分
1．（3分）（2019•贵阳） 可表示为
A． B． C． D．
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•贵阳）选择计算 的最佳方法是
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
4．（3分）（2019•贵阳）如图，菱形 的周长是 ， ，那么这个菱形的对角
线 的长是
A． B．2 C． D．
5．（3分）（2019•贵阳）如图，在 的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任
第1页（共30页）意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰
色部分的图形是轴对称图形的概率是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•贵阳）如图，正六边形 内接于 ，连接 ．则 的度数是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•贵阳）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国 ”在一天中各项目学
习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比
作出的判断中，正确的是
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
8．（3分）（2019•贵阳）数轴上点 ， ， 表示的数分别是 ， ，9，点 为线段 的中
第2页（共30页）点，则 的值是
A．3 B．4.5 C．6 D．18
9．（3分）（2019•贵阳）如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交
于点 和点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，
作射线 交 于点 ．若 ， ，则 的长度是
A．2 B．3 C． D．
10．（3分）（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点 ，点 都在直线
上，若抛物线 与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D．
二、填空题：每小题4分，共20分。
11．（4分）（2019•贵阳）若分式 的值为0，则 的值是 ．
第3页（共30页）12．（4分）（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数 与 的图象如图
所示，则关于 ， 的方程组 的解是 ．
13．（4分）（2019•贵阳）一个袋中装有 个红球，10个黄球， 个白球，每个球除颜色外都相
同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 与 的关系是 ．
14．（4分）（2019•贵阳）如图，用等分圆的方法，在半径为 的圆中，画出了如图所示的四叶
幸运草，若 ，则四叶幸运草的周长是 ．
15．（4分）（2019•贵阳）如图，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上
的一个动点，连接 ，以 为斜边作 的直角三角形 ，使点 和点 位于
两侧，点 从点 到点 的运动过程中，点 的运动路径长是 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（8分）（2019•贵阳）如图是一个长为 ，宽为 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为
1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母 ， 的代数式表示矩形中空白部分的面积；
第4页（共30页）（2）当 ， 时，求矩形中空白部分的面积．
17．（10分）（2019•贵阳）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学
生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授
予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级 20
名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩 分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93 91
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 的学生为“良好”等次，你认为“良好”
等次的测评成绩至少定为 分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，
请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
18．（10分）（2019•贵阳）如图，四边形 是平行四边形，延长 至点 ，使 ，
连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求点 到点 的距离．
第5页（共30页）19．（10分）（2019•贵阳）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队
伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、
一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被
录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名
历史本科生的概率．
20．（10分）（2019•贵阳）某文具店最近有 ， 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情
况是：第一周 款销售数量是15本， 款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周 款
销售数量是20本， 款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求 ， 两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本
款毕业纪念册．
21．（8分）（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，
图中 为下水管道口直径， 为可绕转轴 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的
水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．
若阀门的直径 ， 为检修时阀门开启的位置，且 ．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 位置时，在点 处测得俯角
，若此时点 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果
保留小数点后一位）
， ， ， ， ，
，
第6页（共30页）22．（10分）（2019•贵阳）如图，已知一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点，并
与反比例函数 的图象相切于点 ．
（1）切点 的坐标是 ；
（2）若点 为线段 的中点，将一次函数 的图象向左平移 个单位后，
点 和点 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 的图象上时，求 的值．
23．（10分）（2019•贵阳）如图，已知 是 的直径，点 是 上一点，连接 ，点 关
于 的对称点 恰好落在 上．
（1）求证： ；
（2）过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ．如果 ， ，求 的直
径．
24．（12分）（2019•贵阳）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴
第7页（共30页）交于点 ，且关于直线 对称，点 的坐标为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 ，若点 在 轴上时， 和 的夹角为 ，求线段 的长度；
（3）当 时，二次函数 的最小值为 ，求 的值．
25．（12分）（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①， 是等腰直角三角形，过斜边 的中
点 作正方形 ，分别交 ， 于点 ， ，求 ， ， 之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角 内，找一点 ，过点 作正方形 ，分别交
， 于点 ， ，若 ，求 的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 ， ，交 于点 ， ，求 ，
， 的数量关系．
第8页（共30页）2019 年贵州省贵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在
答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分
1．（3分） 可表示为
A． B． C． D．
【考点】有理数的乘方
【分析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案．
【解答】解： 可表示为： ．
故选： ．
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．
【解答】解：如图所示：它的主视图是： ．
第9页（共30页）故选： ．
3．（3分）选择计算 的最佳方法是
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【考点】平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：选择计算 的最佳方法是：运用平方差公式．
故选： ．
4．（3分）如图，菱形 的周长是 ， ，那么这个菱形的对角线 的长是
A． B．2 C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【分析】由于四边形 是菱形， 是对角线，根据 ，而 ，易证
是等边三角形，从而可求 的长．
【解答】解： 四边形 是菱形， 是对角线，
，
，
是等边三角形，
，
菱形 的周长是 ，
．
故选： ．
5．（3分）如图，在 的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个
白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图
形是轴对称图形的概率是
第10页（共30页）A． B． C． D．
【考点】利用轴对称设计图案；几何概率
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是： ．
故选： ．
6．（3分）如图，正六边形 内接于 ，连接 ．则 的度数是
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；正多边形和圆
【分析】根据正六边形的内角和求得 ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解： 在正六边形 中， ， ，
，
故选： ．
7．（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国 ”在一天中各项目学习时间的统
计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断
中，正确的是
第11页（共30页）A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
【考点】条形统计图；扇形统计图
【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是 ，再由条形统计图求出甲党
员学习文章的百分比，进行比较即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是 ，
由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是 ，
所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．
故选： ．
8．（3分）数轴上点 ， ， 表示的数分别是 ， ，9，点 为线段 的中点，则 的值
是
A．3 B．4.5 C．6 D．18
【考点】数轴
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解： 数轴上点 ， ， 表示的数分别是 ， ，9，点 为线段 的中点，
，
解得： ，
故选： ．
9．（3分）如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 和点
，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交
于点 ．若 ， ，则 的长度是
第12页（共30页）A．2 B．3 C． D．
【考点】等腰三角形的性质；作图 基本作图；角平分线的性质
【分析】利用基本作图得到 ，再根据等腰三角形的性质得到 ，然后利用勾股
定理计算 的长．
【解答】解：由作法得 ，则 ，
，
在 中， ．
故选： ．
10．（3分）在平面直角坐标系内，已知点 ，点 都在直线 上，若抛物线
与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是
A． B． C． 或 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数
的关系
第13页（共30页）【分析】分 ， 两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求 的取值范围．
【解答】解： 抛物线 与线段 有两个不同的交点，
令 ，则
△
①当 时，
解得：
②当 时，
解得：
综上所述： 或
故选： ．
二、填空题：每小题4分，共20分。
11．（4分）若分式 的值为0，则 的值是 2 ．
【考点】分式的值为零的条件
【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．
【解答】解： 分式 的值为0，
，且 ，
解得： ．
故答案为：2．
12．（4分）在平面直角坐标系内，一次函数 与 的图象如图所示，则关于
第14页（共30页）， 的方程组 的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解： 一次函数 与 的图象的交点坐标为 ，
关于 ， 的方程组 的解是 ．
故答案为 ．
13．（4分）一个袋中装有 个红球，10个黄球， 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出
一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 与 的关系是 ．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．
【解答】解： 一个袋中装有 个红球，10个黄球， 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的
概率相同，
与 的关系是： ．
故答案为： ．
14．（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若
，则四叶幸运草的周长是 ．
第15页（共30页）【考点】弧长的计算；正多边形和圆
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长 个圆的周长，由圆的周长公式
即可得出结果．
【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长 个圆的周长，
四叶幸运草的周长 ；
故答案为： ．
15．（4分）如图，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上的一个动点，
连接 ，以 为斜边作 的直角三角形 ，使点 和点 位于 两侧，点
从点 到点 的运动过程中，点 的运动路径长是 ．
【考点】轨迹；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】当 与 点重合时和 与 重合时，根据 的位置，可知 的运动路径是 的长；
由已知条件可以推导出 是直角三角形，且 ，在 中，求出
即可求解．
【解答】解： 的运动路径是 的长；
， ，
，
当 与 点重合时，
在 中， ， ， ，
， ，
第16页（共30页）当 与 重合时， ，
， ，
在 中， ；
故答案为 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分.
16．（8分）如图是一个长为 ，宽为 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在
矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母 ， 的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当 ， 时，求矩形中空白部分的面积．
【考点】列代数式；代数式求值
【分析】（1）空白区域面积 矩形面积 两个阴影平行四边形面积 中间重叠平行四边形面
积；
（2）将 ， 代入（1）中即可；
【解答】解：（1） ；
（2）当 ， 时， ；
17．（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒
第17页（共30页）知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫
士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份
测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
成绩 分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 5 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93 91
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 的学生为“良好”等次，你认为“良好”
等次的测评成绩至少定为 分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，
请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
【考点】用样本估计总体；众数；加权平均数；中位数
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）由 ，结合题意即可得出结论；
（3）由 ，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
出现次数最多的是90分，
众数是90分；
故答案为：5；3；90；
（2） ，
如果该校想确定七年级前 的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定
为91分；
故答案为：91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
，
第18页（共30页）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
18．（10分）如图，四边形 是平行四边形，延长 至点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求点 到点 的距离．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，等量代换得到 ，
，于是得到四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，根据已知条件得到 ，根据直角三角形的判定定理得到
， ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，
， ，
，
， ，
，
，
．
19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校
计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科
第19页（共30页）生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机
会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名
历史本科生的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为 、一名本科生为 ，历史专业的一名研究生为 、一名本
科生为 ，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历
史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【解答】解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ；
故答案为： ；
（2）设思政专业的一名研究生为 、一名本科生为 ，历史专业的一名研究生为 、一名本
科生为 ，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为 ．
20．（10分）某文具店最近有 ， 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周
款销售数量是15本， 款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周 款销售数量是
20本， 款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求 ， 两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本
款毕业纪念册．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）直接利用第一周 款销售数量是15本， 款销售数量是10本，销售总价是230
元；第二周 款销售数量是20本， 款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程
第20页（共30页）求出答案；
（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设 款毕业纪念册的销售为 元， 款毕业纪念册的销售为 元，根据题意可
得：
，
解得： ，
答： 款毕业纪念册的销售为10元， 款毕业纪念册的销售为8元；
（2）设能够买 本 款毕业纪念册，则购买 款毕业纪念册 本，根据题意可得：
，
解得： ，
则最多能够买24本 款毕业纪念册．
21．（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 为下
水管道口直径， 为可绕转轴 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出
城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径
， 为检修时阀门开启的位置，且 ．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 位置时，在点 处测得俯角
，若此时点 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果
保留小数点后一位）
， ， ， ， ，
，
第21页（共30页）【考点】解直角三角形的应用 仰角俯角问题；解直角三角形的应用 坡度坡角问题
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据余角的定义得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，
由三角形的外角的性质得到 ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 的取值范围为：
；
（2）如图， ，
，
，
，
，
，
，
，
答：此时下水道内水的深度约为 ．
22．（10分）如图，已知一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点，并与反比例函
数 的图象相切于点 ．
（1）切点 的坐标是 ；
（2）若点 为线段 的中点，将一次函数 的图象向左平移 个单位后，
点 和点 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 的图象上时，求 的值．
第22页（共30页）【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点 坐标，再求出点 和点 平移后的对应点的坐标，列出方程可求 和 的
值．
【解答】解：（1） 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相切于点
，
点 坐标为
故答案为： ；
（2） 一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点，
点
点 为线段 的中点，
点
点 和点 平移后的对应点坐标分别为 ，
23．（10分）如图，已知 是 的直径，点 是 上一点，连接 ，点 关于 的对称
点 恰好落在 上．
（1）求证： ；
（2）过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ．如果 ， ，求 的直
径．
第23页（共30页）【考点】切线的性质；轴对称的性质
【 分 析 】（ 1 ） 由 题 意 可 知 ， 根 据 同 弧 所 对 的 圆 心 角 相 等 得 到
， 再 根 据 同 弧 所 对 的 圆 心 角 和 圆 周 角 的 关 系 得 出
，利用同位角相等两直线平行，可得出 与 平行；
（2）由 为圆 的切线，利用切线的性质得到 垂直于 ，又 垂直于 ，利用平面
内垂直于同一条直线的两直线平行得到 与 平行，根据两直线平行内错角相等得到
，由 ，等量代换可得出 ，再由 ，利用
等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形 三内角相等，确定出三角形
为等边三角形，根据等边三角形的内角为 得到 为 ，由 平行于 ，利
用两直线平行同位角相等可得出 ，再由 ，得到三角形 为
等边三角形，可得出 为 ，利用平角的定义得到 也为 ，再加上 ，
可得出三角形 为等边三角形，得到内角 为 ，可求出 为 ，在直角三
角形 中，利用 所对的直角边等于斜边的一半可得出 为 的一半，而 等于圆
的半径 等于直径 的一半，可得出 为 的四分之一，即 ．
【解答】（1）证明： 关于 的对称点 恰好落在 上．
，
，
又 ，
，
第24页（共30页）；
（2）解：连接 ，
为圆 的切线，
，又 ，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
又 ，
，又 ，
为等边三角形，
，
，又 ，
也为等边三角形，
， ，
又 ，
，
在 中， ，
又 ，
，
．
第25页（共30页）24．（12分）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且
关于直线 对称，点 的坐标为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 ，若点 在 轴上时， 和 的夹角为 ，求线段 的长度；
（3）当 时，二次函数 的最小值为 ，求 的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）先根据题意得出点 的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点 在点 上方和下方两种情况，先求出 的度数，再利用三角函数求出 的
长，从而得出答案；
（3）分对称轴 在 到 范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解
可得．
【解答】解：（1） 点 与点 关于直线 对称，
点 的坐标为 ，
代入 ，得：
第26页（共30页），
解得 ，
所以二次函数的表达式为 ；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知 ，
则 ，
，
若点 在点 上方，则 ，
，
；
若点 在点 下方，则 ，
，
；
综上， 的长为 或 ；
（3）若 ，即 ，
第27页（共30页）则函数的最小值为 ，
解得 （负值舍去）；
若 ，即 ，
则函数的最小值为 ，
解得： （舍去）；
若 ，
则函数的最小值为 ，
解得 （负值舍去）；
综上， 的值为 或 ．
25．（12分）（1）数学理解：如图①， 是等腰直角三角形，过斜边 的中点 作正方形
，分别交 ， 于点 ， ，求 ， ， 之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角 内，找一点 ，过点 作正方形 ，分别交
， 于点 ， ，若 ，求 的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 ， ，交 于点 ， ，求 ，
， 的数量关系．
【考点】四边形综合题
【分析】数学理解：
（1）由等腰直角三角形的性质可得 ， ， ，由正方形的性质
可得 ， ，可求 ，即可得 ；
问题解决：
（2）延长 ，使 ，通过证明 ，可得 ，通过 ，
第28页（共30页）可得 ， ，由三角形内角和定理可求
的度数；
联系拓广：
（3）由正方形的性质可得 ， ，由平行线的性质可得 ，
，可得 ， ，即可求 ， ， 的数量关系．
【解答】解：
数学理解：
（1）
理由如下： 是等腰直角三角形
， ，
四边形 是正方形
，
问题解决：
（2）如图，延长 ，使 ，连接 ，
四边形 是正方形
，
第29页（共30页）， ，
， ， ，
，且 ，
同理可得：
，
联系拓广：
（3） 四边形 是正方形
，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/11 8:48:26；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
第30页（共30页）
