文档内容
2019年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2019•南京）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000
亿美元．用科学记数法表示13000是
A． B． C． D．
2．（2分）（2019•南京）计算 的结果是
A． B． C． D．
3．（2分）（2019•南京）面积为4的正方形的边长是
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
4．（2分）（2019•南京）实数 、 、 满足 且 ，它们在数轴上的对应点的位置可以
是
A． B．
C． D．
5．（2分）（2019•南京）下列整数中，与 最接近的是
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2分）（2019•南京）如图，△ 是由 经过平移得到的，△ 还可以看作是
经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次
旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
第1页（共25页）7．（2分）（2019•南京） 的相反数是 ， 的倒数是 ．
8．（2分）（2019•南京）计算 的结果是 ．
9．（2分）（2019•南京）分解因式 的结果是 ．
10．（2分）（2019•南京）已知 是关于 的方程 的一个根，则 ．
11．（2分）（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理
形式： ， ．
12．（2分）（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 的细木筷斜放
在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 ．
13．（2分）（2019•南京）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学
生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ．
14．（2分）（2019•南京）如图， 、 是 的切线， 、 为切点，点 、 在 上．若
，则 ．
第2页（共25页）15．（2分）（2019•南京）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ， 平分
．若 ， ，则 的长 ．
16．（2分）（2019•南京）在 中， ， ， ，则 的长的取值范围
是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）（2019•南京）化简：
18．（7分）（2019•南京）解方程： ．
19．（7分）（2019•南京）如图， 是 的边 的中点， ， ， 与
相交于点 ．求证： ．
20．（8分）（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．
第3页（共25页）（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21．（8分）（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求
每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（7分）（2019•南京）如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ，且 ．求证：
．
23．（8分）（2019•南京）已知一次函数 为常数， 和 ．
（1）当 时，若 ，求 的取值范围．
（2）当 时， ．结合图象，直接写出 的取值范围．
24．（8分）（2019•南京）如图，山顶有一塔 ，塔高 ．计划在塔的正下方沿直线 开通
穿山隧道 ．从与 点相距 的 处测得 、 的仰角分别为 、 ，从与 点相距
的 处测得 的仰角为 ．求隧道 的长度．
（参考数据： ， ．
第4页（共25页）25．（8分）（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 ，宽 ，
要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 ．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原
广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩
充后广场的长和宽应分别是多少米？
26．（9分）（2019•南京）如图①，在 中， ， ， ．求作菱形
，使点 在边 上，点 、 在边 上，点 在边 上．
小明的作法
1．如图②，在边 上取一点 ，过点 作 交 于点 ．
2．以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ．
3．在 上截取 ，连接 ，则四边形 为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形 是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 的位置变化而变化 请你继续探
索，直接写出菱形的个数及对应的 的长的取值范围．
27．（11分）（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角
拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 ，对两点 ，
和 ， ，用以下方式定义两点间距离： ．
第5页（共25页）【数学理解】
（1）①已知点 ，则 ．
②函数 的图象如图①所示， 是图象上一点， ，则点 的坐标
是 ．
（2）函数 的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 ，使 ．
（3）函数 的图象如图③所示， 是图象上一点，求 的最小值及对
应的点 的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 为起点，先沿 方向到某处，再
在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角
坐标系，画出示意图并简要说明理由）
第6页（共25页）2019 年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用
科学记数法表示13000是
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解：
故选： ．
2．（2分）计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据积的乘方法则解答即可．
【解答】解： ．
故选： ．
3．（2分）面积为4的正方形的边长是
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是 ，即为4的算术平方根；
故选： ．
4．（2分）实数 、 、 满足 且 ，它们在数轴上的对应点的位置可以是
A． B．
C． D．
第7页（共25页）【分析】根据不等式的性质，先判断 的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解答】解：因为 且 ，
所以 ．
选项 符合 ， 条件，故满足条件的对应点位置可以是 ．
选项 不满足 ，选项 、 不满足 ，故满足条件的对应点位置不可以是 、 、 ．
故选： ．
5．（2分）下列整数中，与 最接近的是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由于 ，可判断 与4最接近，从而可判断与 最接近的整数为6．
【解答】解： ，
，
与 最接近的是4，
与 最接近的是6．
故选： ．
6．（2分）如图，△ 是由 经过平移得到的，△ 还可以看作是 经过怎
样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次
轴对称．其中所有正确结论的序号是
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使 与△ 重合．
【解答】解：先将 绕着 的中点旋转 ，再将所得的三角形绕着 的中点旋转
，即可得到△ ；
先将 沿着 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 的垂直平分线翻折，即
可得到△ ；
故选： ．
第8页（共25页）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
7．（2分） 的相反数是 2 ， 的倒数是 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解： 的相反数是 2， 的倒数是 2，
故答案为：2，2．
8．（2分）计算 的结果是 0 ．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为0．
9．（2分）分解因式 的结果是 ．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故答案为： ．
10．（2分）已知 是关于 的方程 的一个根，则 1 ．
【分析】把 代入方程得到关于 的方程，然后解关于 的方程即可．
【解答】解：把 代入方程得 ，
解得 ．
故答案为1．
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
， ．
第9页（共25页）【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解： ，
（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为： ．
12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 的细木筷斜放在该杯子内，
木筷露在杯子外面的部分至少有 5 ．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： ，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为： ．
故答案为：5．
13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整
理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 720 0 ．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是
（人 ，
故答案为：7200．
14．（2分）如图， 、 是 的切线， 、 为切点，点 、 在 上．若 ，则
．
第10页（共25页）【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到
，由圆内接四边形的性质得到 ，于是
得到结论．
【解答】解：连接 ，
、 是 的切线，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．（2分）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ， 平分 ．若
， ，则 的长 ．
第11页（共25页）【分析】作 于 ，由角平分线的性质得出 ，设 ，则 ，
由线段垂直平分线得出 ， ，得出 ，得出 ，
， ， ，再由勾股定理得出方程，解方程即可得
出结果．
【解答】解：作 于 ，如图所示：
平分 ，
，
设 ，则 ，
是 的垂直平分线，
， ，
，
，
，
， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
；
故答案为： ．
第12页（共25页）16．（2分）在 中， ， ， ，则 的长的取值范围是
．
【分析】作 的外接圆，求出当 时， 是直径最长 ；当
时， 是等边三角形， ，而 ，即可得出
答案．
【解答】解：作 的外接圆，如图所示：
， ，
当 时， 是直径最长，
，
，
， ，
，
；
当 时， 是等边三角形， ，
，
长的取值范围是 ；
故答案为： ．
第13页（共25页）三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）化简：
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为 ，计算即可．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
18．（7分）解方程： ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母 化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检
验．
【解答】解：方程两边都乘以 去分母得，
，
即 ，
解得
检验：当 时， ，
是原方程的解，
故原分式方程的解是 ．
19．（7分）如图， 是 的边 的中点， ， ， 与 相交于点 ．
求证： ．
第14页（共25页）【分析】依据四边形 是平行四边形，即可得出 ，依据 ，即可得出
， ，即可判定 ．
【解答】证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
是 的中点，
，
，
，
， ，
．
20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．
（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
第15页（共25页）（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的
方差；
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用 来表示，计算公式是：
（可简单记忆为“方差等于差方的平均数” ．
【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
， ，
方差分别是
，
，
，
该市这5天的日最低气温波动大；
（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空
气质量改善了．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择
两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由
概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星
期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有
6个，
甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为 ；
第16页（共25页）（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星
期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ；
故答案为： ．
22．（7分）如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ，且 ．求证： ．
【分析】连接 ，由圆心角、弧、弦的关系得出 ，进而得出 ，根据等弧所对
的圆周角相等得出 ，根据等角对等边证得结论．
【解答】证明：连接 ，
，
，
，即 ，
，
．
第17页（共25页）23．（8分）已知一次函数 为常数， 和 ．
（1）当 时，若 ，求 的取值范围．
（2）当 时， ．结合图象，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）解不等式 即可；
（2）先计算出 对应的 的函数值，然后根据 时，一次函数 为常数，
的图象在直线 的上方确定 的范围．
【解答】解：（1） 时， ，
根据题意得 ，
解得 ；
（2）当 时， ，把 代入 得 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ．
24．（8分）如图，山顶有一塔 ，塔高 ．计划在塔的正下方沿直线 开通穿山隧道 ．
从与 点相距 的 处测得 、 的仰角分别为 、 ，从与 点相距 的 处测
得 的仰角为 ．求隧道 的长度．
（参考数据： ， ．
【分析】延长 交 于 ，利用正切的定义用 表示出 、 ，根据题意列式求出
，计算即可．
【解答】解：延长 交 于 ，
则 ，
第18页（共25页）在 中， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
由题意得， ，
解得， ，
， ，
，
，
，
，
答：隧道 的长度为 ．
25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 ，宽 ，要求扩充后的
矩形广场长与宽的比为 ．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区
域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长
和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为 ，宽为 ，根据矩形的面积公式和总价 单价 数量列出
方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为 ，宽为 ，
依题意得：
第19页（共25页）解得 ， （舍去）．
所以 ， ，
答：扩充后广场的长为 ，宽为 ．
26．（9分）如图①，在 中， ， ， ．求作菱形 ，使点 在
边 上，点 、 在边 上，点 在边 上．
小明的作法
1．如图②，在边 上取一点 ，过点 作 交 于点 ．
2．以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ．
3．在 上截取 ，连接 ，则四边形 为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形 是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 的位置变化而变化 请你继续探
索，直接写出菱形的个数及对应的 的长的取值范围．
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）求出几种特殊位置的 的值判断即可．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
（2）如图1中，当四边形 是正方形时，设正方形的边长为 ．
第20页（共25页）在 中， ， ， ，
，
则 ， ，
，
，
，
，
观察图象可知： 时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形 是菱形时，设菱形的边长为 ．
，
，
，
解得 ，
，
如图3中，当四边形 是菱形时，设菱形的边长为 ．
第21页（共25页），
，
，
，
，
，
观察图象可知：当 或 时，菱形的个数为0，当 或 时，
菱形的个数为1，当 时，菱形的个数为2．
27．（11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角
拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 ，对两点 ，
和 ， ，用以下方式定义两点间距离： ．
第22页（共25页）【数学理解】
（1）①已知点 ，则 3 ．
②函数 的图象如图①所示， 是图象上一点， ，则点 的坐标
是 ．
（2）函数 的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 ，使 ．
（3）函数 的图象如图③所示， 是图象上一点，求 的最小值及对
应的点 的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 为起点，先沿 方向到某处，再
在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角
坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出 ；②由两点间距离：
及点 是函数 的图象上的一点，可得出方程组，解方
程组即可求出点 的坐标；
（2）由条件知 ，根据题意得 ，整理得 ，由△ 可证得该函数的图
象上不存在点 ，使 ．
（3）根据条件可得 ，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 ，将函数 的图象沿
轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 ，过点 作
，垂足为 ，修建方案是：先沿 方向修建到 处，再沿 方向修建到 处，
第23页（共25页）可由 ， ， 证明结论即可．
【解答】解：（1）①由题意得： ；
②设 ，由定义两点间的距离可得： ，
，
，
，
解得： ，
，
故答案为：3， ；
（2）假设函数 的图象上存在点 使 ，
根据题意，得 ，
，
， ，
，
，
，
△ ，
方程 没有实数根，
该函数的图象上不存在点 ，使 ．
（3）设 ，
根据题意得， ，
，
又 ，
， ，
第24页（共25页）当 时， 有最小值3，此时点 的坐标是 ．
（4）如图，以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 ，将函数 的
图象沿 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为 ，过点 作 ，垂足为 ，修建方案是：先沿 方向修建到 处，再沿
方向修建到 处．
理由：设过点 的直线 与 轴相交于点 ．在景观湖边界所在曲线上任取一点 ，过点
作直线 ， 与 轴相交于点 ．
，
， ，
同理 ，
，
， ， ，
上述方案修建的道路最短．
第25页（共25页）
