文档内容
2019年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）（2019•连云港） 的绝对值是
A． B． C．2 D．
2．（3分）（2019•连云港）要使 有意义，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•连云港）计算下列代数式，结果为 的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•连云港）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是
A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3
6．（3分）（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走
日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构
成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
7．（3分）（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ，其中
第1页（共36页）．若新建墙 与 总长为 ，则该梯形储料场 的最大面积是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•连云港）如图，在矩形 中， ．将矩形 对折，得到折
痕 ；沿着 折叠，点 的对应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得
与 重合，折痕为 ，此时点 的对应点为 ．下列结论：① 是直角三角形；
②点 、 、 不在同一条直线上；③ ；④ ；⑤点 是 外接
圆的圆心，其中正确的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）（2019•连云港）64的立方根为 ．
10．（3分）（2019•连云港）计算 ．
11．（3分）（2019•连云港）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据
“46400000000”用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为 ．
13．（3分）（2019•连云港）如图，点 、 、 在 上， ， ，则 的半径
为 ．
第2页（共36页）14．（3分）（2019•连云港）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则 的值等于 ．
15．（3分）（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭
头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连
接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用
过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开
始，按顺时针方向），如点 的坐标可表示为 ，2， ，点 的坐标可表示为 ，1， ，按此
方法，则点 的坐标可表示为 ．
16．（3分）（2019•连云港）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心作 与
直线 相切，点 是 上一个动点，连接 交 于点 ，则 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2019•连云港）计算 ．
第3页（共36页）18．（6分）（2019•连云港）解不等式组
19．（6分）（2019•连云港）化简 ．
20．（8分）（2019•连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中
学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内， 小时（含2小时），
小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“ 小时”的有 人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“ 小时”对应的圆心角度数为 ；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人
数．
21．（10分）（2019•连云港）现有 、 、 三个不透明的盒子， 盒中装有红球、黄球、蓝球
各1个， 盒中装有红球、黄球各1个， 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相
同．现分别从 、 、 三个盒子中任意摸出一个球．
（1）从 盒中摸出红球的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
22．（10分）（2019•连云港）如图，在 中， ．将 沿着 方向平移得到
，其中点 在边 上， 与 相交于点 ．
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）连接 、 、 ，当点 在什么位置时，四边形 为矩形，并说明理由．
第4页（共36页）23．（10分）（2019•连云港）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可
获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 （吨 ，
生产甲、乙两种产品获得的总利润为 （万元）．
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要 原料0.5吨．受市场
影响，该厂能获得的 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品
各为多少吨时，能获得最大利润．
24．（10分）（2019•连云港）如图，海上观察哨所 位于观察哨所 正北方向，距离为25海里．
在某时刻，哨所 与哨所 同时发现一走私船，其位置 位于哨所 北偏东 的方向上，
位于哨所 南偏东 的方向上．
（1）求观察哨所 与走私船所在的位置 的距离；
（2）若观察哨所 发现走私船从 处以16海里 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私
艇沿北偏东 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 处成功拦截．（结果保
留根号）
（参考数据： ， ， ，
25．（10分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与函数
的图象相交于点 ，并与 轴交于点 ．点 是线段 上一点，
与 的面积比为 ．
（1） ， ；
第5页（共36页）（2）求点 的坐标；
（3）若将 绕点 逆时针旋转，得到△ ，其中点 落在 轴负半轴上，判断点
是否落在函数 的图象上，并说明理由．
26．（12分）（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点
，与抛物线 的一个交点为 ，且点 的横坐标为2，点 、 分
别是抛物线 、 上的动点．
（1）求抛物线 对应的函数表达式；
（2）若以点 、 、 、 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 的坐标；
（3）设点 为抛物线 上另一个动点，且 平分 ．若 ，求出点 的坐标．
27．（14分）（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形 中， 为边 上一点（不与点
、 重合），垂直于 的一条直线 分别交 、 、 于点 、 、 ．判断线段
、 、 之间的数量关系，并说明理由．
第6页（共36页）问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足 恰好为 的中点，连接 ，交 于点 ，连接 ，并延长交边
于点 ．求 的度数；
（2）如图3，当垂足 在正方形 的对角线 上时，连接 ，将 沿着 翻折，
点 落在点 处，若正方形 的边长为4， 的中点为 ，求 的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 中，点 、 分别为边 、 上的点，将正
方形 沿着 翻折，使得 的对应边 恰好经过点 ， 交 于点 ．分别
过点 、 作 ， ，垂足分别为 、 ．若 ，请直接写出 的长．
第7页（共36页）2019 年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分） 的绝对值是
A． B． C．2 D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为 ，
故选： ．
2．（3分）要使 有意义，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质可以得到 是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得 ，
．
故选： ．
3．（3分）计算下列代数式，结果为 的是
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项的法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解： 、 与 不是同类项，故不能合并同类项，故选项 不合题意；
、 ，故选项 不合题意；
、 与 不是同类项，故不能合并同类项，故选项 不合题意；
、 ，故选项 符合题意．
故选： ．
4．（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是
第8页（共36页）A． B． C． D．
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选： ．
5．（3分）一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是
A．3，2 B．3，3 C．4，2 D．4，3
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，
中位数为：3，众数为：2．
故选： ．
6．（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，
“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形
与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相
似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、 、
；
“车”、“炮”之间的距离为1，
“炮”②之间的距离为 ，“车”②之间的距离为 ，
，
第9页（共36页）马应该落在②的位置，
故选： ．
7．（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ，其中 ．若新建墙
与 总长为 ，则该梯形储料场 的最大面积是
A． B． C． D．
【 分 析 】 过 点 作 于 ， 则 四 边 形 为 矩 形 ， ，
，则 ， ，由直角三角形的，性质
得 出 ， 得 出 ，
，由梯形面积公式得出梯形 的面积 与 之间的
函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，
则四边形 为矩形， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
，
， ，
梯 形 面 积
当 时， ．
即 长为 时，使梯形储料场 的面积最大为 ；
第10页（共36页）故选： ．
8．（3分）如图，在矩形 中， ．将矩形 对折，得到折痕 ；沿着
折叠，点 的对应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得 与 重
合，折痕为 ，此时点 的对应点为 ．下列结论：① 是直角三角形；②点 、 、
不在同一条直线上；③ ；④ ；⑤点 是 外接圆的圆心，其中
正确的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 得 到 ， ， 于 是 得 到
，求得 是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得
到点 、 、 在同一条直线上，故②错误；设 ，则 ，得到
，根据勾股定理得到 ，根据射影定理得到
，得到 ，故③错误；求得 ，故④，根据平行线等分线
段定理得到 ，求得点 是 外接圆的圆心，故⑤正确．
【解答】解： 沿着 折叠，点 的对应点为 ，
第11页（共36页），
再沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，
，
，
，
是直角三角形；故①正确；
沿着 折叠，点 的对应点为 ，
，
再沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，
，
，
点 、 、 在同一条直线上，故②错误；
，
设 ，则 ，
将矩形 对折，得到折痕 ；
，
，
， ，
，
，
，
，
，
第12页（共36页），故③错误；
，
，
，
，故④，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
点 是 外接圆的圆心，故⑤正确；
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）64的立方根为 4 ．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
10．（3分）计算 ．
第13页（共36页）【分析】根据完全平方公式展开3项即可．
【解答】解： ．
故答案为：
11．（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科学
记数法可表示为 ．
【分析】利用科学记数法的表示即可．
【解答】解：
科学记数法表示：
故答案为：
12．（3分）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则该圆锥的侧面积为 ．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积 ．
故答案为 ．
13．（3分）如图，点 、 、 在 上， ， ，则 的半径为 6 ．
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是 的等腰三角形
是等边三角形求解．
【解答】解： ，又 ，
是等边三角形
，
故答案为6．
14．（3分）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值
第14页（共36页）等于 2 ．
【分析】根据“关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根”，结合根的
判别式公式，得到关于 和 的等式，整理后即可得到的答案．
【解答】解：根据题意得：
△ ，
整理得： ，
，
方程 是一元二次方程，
，
等式两边同时除以 得： ，
则 ，
故答案为：2．
15．（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各
等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就
建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行
（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方
向），如点 的坐标可表示为 ，2， ，点 的坐标可表示为 ，1， ，按此方法，则点 的
坐标可表示为 ， 4 ， ．
【分析】根据点 的坐标可表示为 ，2， ，点 的坐标可表示为 ，1， 得到经过点的三
条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结
论．
【解答】解：根据题意得，点 的坐标可表示为 ，4， ，
故答案为： ，4， ．
16．（3分）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心作 与直线 相切，点
第15页（共36页）是 上一个动点，连接 交 于点 ，则 的最大值是 3 ．
【分析】先判断出 最大时， 最大，再用相似三角形的性质求出 ， ， ，进而判
断出 最大时， 最大，而点 在 上时， 最大，即可 ，即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点 作 交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
，
最大时， 最大，
四边形 是矩形，
， ，
过点 作 于 ，交 于 ，并延长交 于 ，
是 的切线，
，
在 中， ，
， ，
，
，
，
第16页（共36页）， ，
， ，
，
，
，
， ，
在 中， ，
而 ，
最大时， 最大，
最大时， 最大，
，
即： 最大时， 最大，
延长 交 于 ，此时， 最大 ，
，
过点 作 交 的延长线于 ，
最大时，点 落在点 处，
即： 最大 ，
在 △ 中， ，
，
最大值为 ，
故答案为：3．
第17页（共36页）三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算 ．
【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式 ．
18．（6分）解不等式组
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
所以，不等式组的解集是 ．
19．（6分）化简 ．
【分析】先做括号里面，再把除法转化成乘法，计算得结果．
【解答】解：原式
．
20．（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，
根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内， 小时（含2小时）， 小时（含4小
第18页（共36页）时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．
（1）本次调查共随机抽取了 20 0 名中学生，其中课外阅读时长“ 小时”的有 人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“ 小时”对应的圆心角度数为 ；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人
数．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“ 小时”
的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“ 小时”对应的圆心
角度数；
（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了： （名 中学生，
其中课外阅读时长“ 小时”的有： （人 ，
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“ 小时”对应的圆心角度数为：
，
故答案为：144；
（3） （人 ，
答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
21．（10分）现有 、 、 三个不透明的盒子， 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个， 盒中
装有红球、黄球各1个， 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从 、
、 三个盒子中任意摸出一个球．
第19页（共36页）（1）从 盒中摸出红球的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【分析】（1）从 盒中摸出红球的结果有一个，由概率公式即可得出结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10
种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）从 盒中摸出红球的概率为 ；
故答案为： ；
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
摸出的三个球中至少有一个红球的概率为 ．
22．（10分）如图，在 中， ．将 沿着 方向平移得到 ，其中点
在边 上， 与 相交于点 ．
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）连接 、 、 ，当点 在什么位置时，四边形 为矩形，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，根据平移得出 ，求出
，再求出 即可；
（2）求出四边形 是平行四边形，再求出四边形 是矩形即可．
【解答】（1）证明： ，
第20页（共36页），
平移得到 ，
，
，
，
，
即 为等腰三角形；
（2）解：当 为 的中点时，四边形 是矩形，
理由是： ， 为 的中点，
， ，
平移得到 ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
23．（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万
元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品 （吨 ，生产甲、乙两种
产品获得的总利润为 （万元）．
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要 原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要 原料0.5吨．受市场
影响，该厂能获得的 原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品
各为多少吨时，能获得最大利润．
【分析】（1）利润 （元 生产甲产品的利润 生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润
生产1吨甲产品的利润0.3万元 甲产品的吨数 ，即 万元，生产乙产品的利润 生产1
吨乙产品的利润0.4万元 乙产品的吨数 ，即 万元．
第21页（共36页）（2）由（1）得 是 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量 的取值范围再确定当 取
何值时，利润 最大．
【解答】解：（1）
因此 与 之间的函数表达式为： ．
（2）由题意得：
又
随 的增大而减少
当 时， 最大，此时 ，
因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．
24．（10分）如图，海上观察哨所 位于观察哨所 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨
所 与哨所 同时发现一走私船，其位置 位于哨所 北偏东 的方向上，位于哨所 南
偏东 的方向上．
（1）求观察哨所 与走私船所在的位置 的距离；
（2）若观察哨所 发现走私船从 处以16海里 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私
艇沿北偏东 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 处成功拦截．（结果保
留根号）
（参考数据： ， ， ，
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 ，再解 ，利用正弦函数定义
得出 即可；
（2）过点 作 于点 ，易知， 、 、 在一条直线上．解 ，求出 、
．解 中，求出 、 ，得出 ．设缉私艇的速度为 海里 小时，根据走私
船行驶 所用的时间等于缉私艇行驶 所用的时间列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在 中， ．
第22页（共36页）在 中， ，
（海里）．
答：观察哨所 与走私船所在的位置 的距离为15海里；
（2）过点 作 于点 ，由题意易知， 、 、 在一条直线上．
在 中， ，
．
在 中， ，
，
，
．
设缉私艇的速度为 海里 小时，则有 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为 海里 小时时，恰好在 处成功拦截．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与函数 的图
象相交于点 ，并与 轴交于点 ．点 是线段 上一点， 与 的面积比
为 ．
第23页（共36页）（1） ， ；
（2）求点 的坐标；
（3）若将 绕点 逆时针旋转，得到△ ，其中点 落在 轴负半轴上，判断点
是否落在函数 的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将 代入 可求出 的值；将 代入 可求出 的值；
（2）过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ，由 与 的
面积比为 ，可推出 ，由点 的坐标可知 ，进一步求出 ，即为点
的纵坐标，把 代入 中，可求出点 坐标；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，由题意可知， ，由旋转
可知 ，可求出 ，在 △ 中，通过勾股定理求出 的长度，
即可写出点 的坐标，将其坐标代入 可知没有落在函数 的图象上．
【解答】解：（1）将 代入 ，
得， ，
，
将 代入 ，
得， ，
，
第24页（共36页）故答案为： ，5；
（2）如图1，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 ，
，
，
又 点 的坐标为 ，
，
，即点 的纵坐标为4，
把 代入 中，
得， ，
；
（3）由题意可知， ，
如图2，过点 作 轴，垂足为 ，
，
，
即 ，
，
在 △ 中，
，
的坐标为 ， ，
，
点 不在函数 的图象上．
第25页（共36页）26．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，与抛物
线 的一个交点为 ，且点 的横坐标为2，点 、 分别是抛物线 、
上的动点．
（1）求抛物线 对应的函数表达式；
（2）若以点 、 、 、 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 的坐标；
（3）设点 为抛物线 上另一个动点，且 平分 ．若 ，求出点 的坐标．
第26页（共36页）【分析】（1）先求出 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2）设点 的坐标为 ，分两种情况讨论： 为平行四边形的一条边， 为平
行四边形的一条对角线，用 表示出 点坐标，再把 点坐标代入抛物线
中，列出方程求得解便可；
（3）当点 在 轴左侧时，抛物线 不存在点 使得 平分 ，当点 在 轴右侧时，
不妨设点 在 的上方，点 在 的下方，过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、
，过点 作 于点 ，设点 坐标为 ， ，点 坐标为 ，
，证明 ，由相似比得到 ，进而得 的值，过点
作 轴于点 ，设点 坐标为 ，由 ，移出
的方程，求得 便可．
【解答】解：（1）将 代入 ，得 ，故点 的坐标为 ，
将 ， 代入 ，得
，解得 ，
抛物线 ；
（2）设点 的坐标为 ，
第一种情况： 为平行四边形的一条边，
①当点 在点 右侧时，则点 的坐标为 ，
将 代入 ，得
，
第27页（共36页）解得， 或 ，
因为 时，点 与 重合，不符合题意，所以舍去，
此时点 的坐标为 ；
②当点 在点 左侧时，则点 的坐标为 ，
将 代入 ，得
，得
，
解得， ，或 ，
此时点 的坐标为 或 ， ；
第二种情况：当 为平行四边形的一条对角线时，
由 的中点坐标为 ，得 的中点坐标为 ，
故点 的坐标为 ，
将 代入 ，得
，
解得， 或 ，
因为 时，点 与点 重合，不符合题意，所以舍去，
此时点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ， 或 ；
（3）当点 在 轴左侧时，抛物线 不存在点 使得 平分 ，
当点 在 轴右侧时，不妨设点 在 的上方，点 在 的下方，
过点 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，
过点 作 于点 ，则有 ，
由 平分 ，得 ，则 ，
第28页（共36页），
，
设点 坐标为 ， ，点 坐标为 ， ，
所以有 ，
整理得， ，
在 中，
过点 作 轴于点 ，设点 坐标为 ，
若 ，则需 ，
所以 ，
所以 ，
解得， ，
所以点 坐标为 ， 或 ， ．
27．（14分）问题情境：如图1，在正方形 中， 为边 上一点（不与点 、 重合），
垂直于 的一条直线 分别交 、 、 于点 、 、 ．判断线段 、 、
之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足 恰好为 的中点，连接 ，交 于点 ，连接 ，并延长交边
于点 ．求 的度数；
第29页（共36页）（2）如图3，当垂足 在正方形 的对角线 上时，连接 ，将 沿着 翻折，
点 落在点 处，若正方形 的边长为4， 的中点为 ，求 的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 中，点 、 分别为边 、 上的点，将正
方形 沿着 翻折，使得 的对应边 恰好经过点 ， 交 于点 ．分别
过点 、 作 ， ，垂足分别为 、 ．若 ，请直接写出 的长．
【分析】问题情境：过点 作 分别交 、 于点 、 ，证出四边形 为平
行四边形，得出 ，证明 得出 ，即可得出结论；
问题探究：（1）连接 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，证出 是等
腰直角三角形， ， ，证明 得出 ，得出
是等腰直角三角形，得出 ，即可得出结论；
（2）连接 交 于点 ，则 的直角顶点 在 上运动，设点 与点 重合时，则
点 与点 重合；设点 与点 重合时，则点 的落点为 ，由等腰直角三角形的性质得
出 ，当点 在线段 上运动时，过点 作 于点 ，过点
作 交 延长线于点 ，连接 ，证明 得出 ，证明
得出 ， ，由正方形的性质得出 ，易得出
，得出 ， ，得出 ，故 ，点 在线段
上运动；过点 作 ，垂足为 ，即可得出结果；
问题拓展：延长 交 于 ，交 的延长线于 ，延长 交 于 ，则 ，
，得出 ，由勾股定理得出 ，得出 ，证
第30页（共36页）明 ，得出 ， ，证明 ，得出
，由折叠的性质得： ， ， ，求出
， ，证明 ，得出 ， ，
证明 ，得出 ，得出 ．
【解答】问题情境：
解：线段 、 、 之间的数量关系为： ；理由如下：
四边形 是正方形，
， ， ，
过点 作 分别交 、 于点 、 ，如图1所示：
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
；
问题探究：
解：（1）连接 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，如图2所示：
四边形 是正方形，
四边形 为矩形，
， ， ，
第31页（共36页）是正方形 的对角线，
，
是等腰直角三角形， ， ，
是 的垂直平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即 ；
（2）连接 交 于点 ，如图3所示：
则 的直角顶点 在 上运动，
设点 与点 重合时，则点 与点 重合；设点 与点 重合时，则点 的落点为 ，
， ，
，
当点 在线段 上运动时，过点 作 于点 ，过点 作 交 延长线
于点 ，连接 ，
点 在 上，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
第32页（共36页），
，
，
，
，
，
， ，
， ，
由翻折性质得： ，
在 和 中， ，
，
， ，
是正方形 的对角线，
，
易得 ，
，
，
，故 ，
点 在线段 上运动；
过点 作 ，垂足为 ，
点 为 的中点，
，则 的最小值为 ；
问题拓展：
解：延长 交 于 ，交 的延长线于 ，延长 交 于 ，如图
则 ， ，
，
在 中， ，
，
第33页（共36页）， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
由折叠的性质得： ， ， ，
， ，
，
，
，
，
解得： ，
，
， ，
，
，
，
第34页（共36页），即 ，
解得： ，
．
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日期：2019/7/8 18:34:16；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
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