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2019年河南省平顶山市卫东区中考数学一模试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．﹣1的相反数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
2．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（ ）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
3．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
5．据调查，某班30位同学所穿鞋子的尺码如下表所示：则该班这30位同学所穿鞋子尺码的众数是（
）
码号/码 33 34 35 36 37
人数 3 6 8 8 5
A．8 B．35 C．36 D．35和36
6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中
记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，
问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（ ）A． B．
C． D．
7．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
8．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
9．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为
（0，3），∠OAB＝60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s的速度向
右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动
时间x（s）之间的函数关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． ＝ ．
12．将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物
线的顶点坐标是 ．
13．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回
袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是 ．
14．如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，交
▱
BA的延长线于点F，若 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
π
15．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出对角线BD，再将AD折叠到BD上，得到折痕DE，点A的对
应点是点F，若AB＝8，BC＝6，则AE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（2y+x）（2y﹣x）﹣2x2，其中x＝ +2，y＝ ﹣2．17．（9分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的
掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级
进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣
6.9分，D级：1分﹣5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
18．（9分）如图，在 O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连结AC，将△ACE沿
AC翻转得到△ACF，⊙直线FC与直线AB相交于点G．
（1）求证：FG是 O的切线；
⊙
（2）若B为OG的中点，CE＝ ，求 O的半径长；
⊙
（3） 求证：∠CAG＝∠BCG；
①
若 O的面积为4 ，GC＝2 ，求GB的长．
② ⊙ π
19．（9分）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组
织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北
方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
20．（9分）在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方的指挥部P设在S区．到公路a与公路b的距离
相等，并且到水井M与小树N的距离也相等，请你帮助侦查员在图上标出蓝方指挥部P的位置．
（不写作法，保留作图痕迹）
21．（10分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通
过代销点进行了为期30天的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将
记录情况绘成如图所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函
数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
（1）第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元．
（2）求线段DE所对应的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？
22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
①请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
②
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最
大值；
（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2019 年河南省平顶山市卫东区中考数学一模试卷（3 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣1的相反数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．
2．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．
【解答】解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．
3．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝6a2，不符合题意；
B、原式＝27a6，符合题意；
C、原式＝a2，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2；不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
5．【分析】根据众数的定义（所有数据中出现次数最多的数据是众数）即可求得．
【解答】解：在这一组数据中35与36出现次数最多的，
故众数是35或36．
故选：D．
【点评】此题考查了众数的知识．题目比较简单，注意众数可以不是一个．
6．【分析】根据题意可得等量关系：人数×8﹣3＝物品价值；人数×7+4＝物品价值，根据等量关系列出
方程组即可．【解答】解：设有x人，物品价值y元，由题意得：
，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的
等量关系．
7．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得
答案．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1 且a≠0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
8．【分析】延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三
角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．
【解答】解：延长ED交BC于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC的度数，
注意：两直线平行，同位角相等．
9．【分析】如图：作DE⊥x轴于点E，灵活运用三角函数解直角三角形来求点D的坐标．【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3．
又∵∠OAB＝60°，
∴OB＝OA•tan∠OAB＝3 ，∠ABO＝30°．
∴BD＝BC＝OA＝3．
∵根据折叠的性质知∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴DE＝ BD＝ ，BE＝
∴OE＝3 ，
∴E（ ， ）．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题．翻折前后对应角相等，对应边相
等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．
10．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．
【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝ ＝ x，（x≤3），故选项A、B、C错误，
当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），
点M到C的过程中，y＝ ＝ x﹣ ，（x＞5），故选项D正确，故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函
数的图象，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2 ﹣16+3﹣2 ＝﹣13，
故答案为：﹣13
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．【分析】先把y＝3x2﹣6x+4配方得到y＝3（x﹣1）2+1，则抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标为（1，
1），然后把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标为（1，1），
∴把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（4，3），
即新抛物线的顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系
数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然
后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次都摸到红球的概率是 ，故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的
事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
14．【分析】连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质
得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，利用∠B＝∠3易得∠1＝∠2＝45°，
则根据弧长公式可得 ＝ ，解得r＝4，然后根据扇形面积公式，利用S ＝S ﹣S
阴影部分 △ACD
π
进行计算即可．
扇形CAE
【解答】解：连结AC，如图，设半径为r，
∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠3，
而AB＝AC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2＝45°，
∵ 的长为 ，
π
∴ ＝ ，解得r＝4，
π
在Rt△ACD中，∵∠2＝45°，∴AC＝CD＝4，
∴S ＝S ﹣S扇形CAE＝ ×4×4﹣ ＝8﹣2 ，
阴影部分 △ACD
π
故答案为：8﹣2 ．
【点评】本题考查π了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和
扇形的面积公式．
15．【分析】先利用勾股定理求出BD，再求出DF、BF，设AE＝EF＝x，在Rt△BEF中，由EB2＝
EF2+BF2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝ ＝10，
∵△DEF是由△DEA翻折得到，
∴DF＝AD＝6，BF＝4，
设AE＝EF＝x，
在Rt△BEF中，∵EB2＝EF2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AE＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据
折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定
理列出方程求出答案．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得
解．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）﹣2x2
＝x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣2x2
＝4xy，
当x＝ +2，y＝ ﹣2时，
原式＝4×（ +2）×（ ﹣2）
＝4×（3﹣4）
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运
算法则及完全平方公式、平方差公式．
17．【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，
继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．
【解答】解：（1）∵总人数为18÷45%＝40人，
∴C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人，
则C对应的扇形的圆心角是360°× ＝117°，
故答案为：117；
（2）补全条形图如下：
（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，
所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，故答案为：B．
（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300× ＝30人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
18．【分析】（1）连接OC，由OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，根据折叠的性质得∠OAC＝∠FAC，∠F＝
∠AEC＝90°，则∠OCA＝∠FAC，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得∠OCG＝∠F＝90°，
然后根据切线的性质得直线FC与 O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形⊙，在Rt△OCE中，根据OC2＝OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3） 根据等角的余角相等证明即可；
①
利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得 ＝ ，由此构建方程即可解决问题；
②
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠OAC＝∠FAC，∠F＝∠AEC＝90°，
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与 O相切；
⊙
（2）解：连接BC．
∵点B是Rt△OCG斜边的中点，
∴CB＝ OG＝OB＝OC，
∴△OCB是等边三角形，且EC是OB上的高，在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+CE2，
即OC2＝ OC2+（ ）2，
∴OC＝2，即 O的半径为2．
⊙
（3） ∵OC＝OB，
∴∠C①BA＝∠OCB，
∵∠CAG+∠CBA＝90°，∠BCG+∠BCO＝90°，
∴∠CAG＝∠BCG．
∵4 ＝ •OB2，
②∴OB＝π2，π
由 可知：△GCB∽△GAC，
①
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
解得GB＝2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三
角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想思
考问题，属于中考压轴题．
19．【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD＝ x，在Rt△BCD中求得CD＝ x，由AC＝AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC＝ 可得答案．
【解答】解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD＝60°、∠DBC＝53°，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠BAD＝ x，
在Rt△BCD中，CD＝BDtan∠DBC＝ x× ＝ x，
由AC＝AD+CD可得x+ x＝13，
解得：x＝ ﹣3，
则BC＝ ＝ ＝ x＝ ×（4 ﹣3）＝20﹣5 ，
即BC两地的距离为（20﹣5 ）千米．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角
形的知识，利用三角函数的知识求解．
20．【分析】作公路a与公路b的交角AOB的平分线OC，连接MN，作线段MN的中垂直平分线EF，
两线的交点就是所求．
【解答】解：如图所示，作公路a与公路b的交角AOB的平分线OC，
①连接MN，作线段MN的中垂直平分线EF，
②EF和OC的交点P就是所求的点．
【点评】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的动手操作能力
和理解能力．
21．【分析】（1）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出第24天
的日销售量，再根据日销售利润＝单件利润×日销售量即可求出日销售利润；
（2）根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数
关系式；
（3）根据点（17，340）的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，联立两函数关系式
求出交点D的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5＝330（件），
330×（8﹣6）＝660（元）．
故答案为：330；660．
（2）线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450；
（3）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx中，
340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得 ，解得： ，
∴交点D的坐标为（18，360），
∵点D的坐标为（18，360），
∴试销售期间第18天的日销售量最大，最大日销售量是360件．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法
求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式．
22．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3） △AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
分三①种情形分别求解即可解决问题；
②【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝ ＝4 ，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝ ，
∴AC2＝AG•AH．
（3） △AGH的面积不变．
①
理由：∵S ＝ •AH•AG＝ AC2＝ ×（4 ）2＝16．
△AGH
∴△AGH的面积为16．
如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
②可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝ AB＝ ．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴ ＝ ＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝ x，
∴x+ x＝4，
∴m＝4（ ﹣1），
∴AE＝4﹣4（ ﹣1）＝8﹣4 ，
综上所述，满足条件的m的值为 或2或8﹣4 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC
的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关
系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA＝EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE为菱
形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，
根据平行四边形的性质得到EF＝AB＝4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点
的纵坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得： ，
解得： ．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把点B（3，0）代入y＝kx+3中，
得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∴点（1，0）在抛物线的图象上，
∴1＜m＜3．
∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，线段MN取最大值，最大值为 ．
（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
当以AB为对角线，如图1，
∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，
∴四边形AFBE为菱形，
∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，
∴F点坐标为（2，﹣1）；
当以AB为边时，如图2，
∵四边形AFBE为平行四边形，
∴EF＝AB＝2，即F E＝2，F E＝2，
2 1
∴F 的横坐标为0，F 的横坐标为4，
1 2
对于y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；
当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，
∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．
综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）
利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．
