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2019年江西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）
1．（3分）（2019•江西）2的相反数是
A．2 B． C． D．
2．（3分）（2019•江西）计算 的结果为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•江西）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，
则它的俯视图为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计
图，由图可知，下列说法错误的是
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是
第1页（共32页）5．（3分）（2019•江西）已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
下列说法正确的是
A．反比例函数 的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当 或 时，
D．正比例函数 与反比例函数 都随 的增大而增大
6．（3分）（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相
同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）（2019•江西）因式分解： ．
8．（3分）（2019•江西）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法： “方五，邪（通“斜”
七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已
知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定
理得对角线长为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 ．
9．（3分）（2019•江西）设 ， 是一元二次方程 的两根，则 ．
10．（3分）（2019•江西）如图，在 中，点 是 上的点， ，将
沿着 翻折得到 ，则 ．
第2页（共32页）11．（3分）（2019•江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反
映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中
米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过 ，其中通过 的速度是通过 速度
的1.2倍，求小明通过 时的速度．设小明通过 时的速度是 米 秒，根据题意列方程得：
．
12．（3分）（2019•江西）在平面直角坐标系中， ， ， 三点的坐标分别为 ， ，
，点 在 轴上，点 在直线 上，若 ， 于点 ，则点 的坐标为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（2019•江西）（1）计算： ；
（2）如图，四边形 中， ， ，对角线 ， 相交于点 ，且 ．
求证：四边形 是矩形．
14．（6分）（2019•江西）解不等式组： 并在数轴上表示它的解集．
15．（6分）（2019•江西）在 中， ，点 在以 为直径的半圆内．请仅用无刻
度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
第3页（共32页）（1）在图1中作弦 ，使 ；
（2）在图2中以 为边作一个 的圆周角．
16．（6分）（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中
国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母 ， ， 依次表示这三首歌曲）．比赛时，
将 ， ， 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌
面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取
一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同
歌曲的概率．
17．（6分）（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ，
，连接 ，以 为边向上作等边三角形 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求线段 所在直线的解析式．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）（2019•江西）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数
相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力
训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 参加英语听力训练人数
第4页（共32页）周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
（1）填空： ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周
一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
19．（8分）（2019•江西）如图1， 为半圆的直径，点 为圆心， 为半圆的切线，过半圆
上的点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）连接 ，若 ，求证： 是半圆的切线；
（2）如图2，当线段 与半圆交于点 时，连接 ， ，判断 和 的数量关系，
并证明你的结论．
20．（8分）（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定
支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，
第5页（共32页）投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ，
．（结果精确到 ．
（1）如图2， ， ．
①填空： ．
②求投影探头的端点 到桌面 的距离．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求
的大小．
（参考数据： ， ， ，
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为 的铅笔 斜靠在垂直于水平桌面 的直尺 的边沿上，一端 固定
在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔 绕端点 顺时针旋转， 与 交于点 ，当旋转至水平位置时，铅笔
的中点 与点 重合．
数学思考
（1）设 ，点 到 的距离 ．
①用含 的代数式表示： 的长是 ， 的长是 ；
② 与 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 ．
活动二
第6页（共32页）（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 ．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
22．（9分）（2019•江西）在图1，2，3中，已知 ， ，点 为线段 上的动
点，连接 ，以 为边向上作菱形 ，且 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时， ；
（2）如图2，连接 ．
①填空： （填“ ”，“ “，“ ” ；
②求证：点 在 的平分线上；
（3）如图3，连接 ， ，并延长 交 的延长线于点 ，当四边形 是平行四边
形时，求 的值．
六、（本大题共12分）
23．（12分）（2019•江西）特例感知
第7页（共32页）（1）如图1，对于抛物线 ， ， ，下列结论正确的
序号是 ；
①抛物线 ， ， 都经过点 ；
②抛物线 ， 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
③抛物线 ， ， 与直线 的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ， ， ， ， ，用含 的代数式表示顶点 的坐
标，并写出该顶点纵坐标 与横坐标 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ， ， ， ，
，其横坐标分别为 ， ， ， ， 为正整数），判断相邻两点之间的
距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线 分别交“系列平移抛物线”于点 ， ， ， ， ，连接 ，
，判断 ， 是否平行？并说明理由．
第8页（共32页）2019 年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2的相反数是
A．2 B． C． D．
【考点】相反数
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：2的相反数为： ．
故选： ．
2．（3分）计算 的结果为
A． B． C． D．
【考点】分式的乘除法
【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图
为
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体
第9页（共32页）【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选： ．
4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，
下列说法错误的是
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是
【考点】扇形统计图
【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【解答】解： ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为 ，超过 ，此选项正
确；
．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占 ，此选项错误；
． 每 天 阅 读 30 分 钟 至 1 小 时 的 居 民 家 庭 孩 子 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是
，此选项正确；
故选： ．
5．（3分）已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确
的是
A．反比例函数 的解析式是
第10页（共32页）B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当 或 时，
D．正比例函数 与反比例函数 都随 的增大而增大
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的
性质可判断求解．
【解答】解： 正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
正比例函数 ，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
， 选项错误
正比例函数 中， 随 的增大而增大，反比例函数 中，在每个象限内 随 的
增大而减小，
选项错误
当 或 时，
选项 正确
故选： ．
6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼
接后的图形恰好有3个菱形的方法共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【考点】菱形的判定；图形的剪拼
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．
【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．
第11页（共32页）故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解： ．
【考点】因式分解 运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法： “方五，邪（通“斜” 七．见方求
邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边
长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长
为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 1. 4 ．
【考点】勾股定理；正方形的性质；数学常识
【分析】根据估算方法可求解．
【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长
故答案为：1.4
9．（3分）设 ， 是一元二次方程 的两根，则 0 ．
【考点】根与系数的关系
第12页（共32页）【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解： 、 是方程 的两根，
， ，
．
故答案为：0．
10．（3分）如图，在 中，点 是 上的点， ，将 沿着 翻
折得到 ，则 2 0 ．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解答】解： ，将 沿着 翻折得到 ，
， ，
，
故答案为：20
11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的
文明程度．如图，某路口的斑马线路段 横穿双向行驶车道，其中 米，在
绿灯亮时，小明共用11秒通过 ，其中通过 的速度是通过 速度的1.2倍，求小明通
过 时的速度．设小明通过 时的速度是 米 秒，根据题意列方程得： ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设小明通过 时的速度是 米 秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：设小明通过 时的速度是 米 秒，可得： ，
第13页（共32页）故答案为： ，
12．（3分）在平面直角坐标系中， ， ， 三点的坐标分别为 ， ， ，点 在
轴上，点 在直线 上，若 ， 于点 ，则点 的坐标为 或 ，
或 ， ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先由已知得出 ， ，然后分类讨论 点的位置从而依次求出每种情况
下点 的坐标．
【解答】解： ， 两点的坐标分别为 ，
轴
点 在直线 上，
，
如图：
（Ⅰ）当点 在 处时，要使 ，即使 △
第14页（共32页）即
解得：
（Ⅱ）当点 在 处时，
，
的中点
点 为以 为圆心， 长为半径的圆与 轴的交点
设 ，则
即
解得：
， ， ，
综上所述：点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ；
（2）如图，四边形 中， ， ，对角线 ， 相交于点 ，且 ．
求证：四边形 是矩形．
【考点】零指数幂；实数的运算；矩形的判定；全等三角形的判定与性质
第15页（共32页）【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先求出四边形 是平行四边形，再求出 ，最后根据矩形的判定得出即可．
【解答】解：（1）
；
（2）证明： 四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是矩形．
14．（6分）解不等式组： 并在数轴上表示它的解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
故不等式组的解为： ，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
．
15．（6分）在 中， ，点 在以 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别
按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦 ，使 ；
（2）在图2中以 为边作一个 的圆周角．
第16页（共32页）【考点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；作图 复杂作图；圆周角定理
【分析】（1）分别延长 、 交半圆于 、 ，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到
，则可判断 ；
（2）在（1）基础上分别延长 、 ，它们相交于 ，则连接 交半圆于 ，然后证明
，从而根据圆周角定理可判断 ．
【解答】解：（1）如图1， 为所作；
（2）如图2， 为所作．
16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖
国》，《我和我的祖国》（分别用字母 ， ， 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将 ， ， 这
三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班
班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行
歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同
歌曲的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）因为有 ， ， 种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
第17页（共32页）故答案为 ．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 ．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，连接 ，
以 为边向上作等边三角形 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求线段 所在直线的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质
【分析】（1）由点 、点 ，易知线段 的长度， ，而 为等边三角形，得
轴，即可知 的长即为点 的纵坐标，即可求得点 的坐标
（2）由（1）知点 纵标，已知点 的坐标，利用待定系数法即可求线段 所在的直线的解析
式
【解答】解：（1）如图，过点 作 轴
点 坐标为 ， ，点 坐标为 ，
第18页（共32页）为等边三角形
点 的纵坐标为2
点 的坐标为 ，
（2）由（1）知点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，设直线 的解析式为：
则 ，解得
故直线 的函数解析式为
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从
这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根
据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 参加英语听力训练人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 30 30
八年级 20 24 26 30 30
第19页（共32页）合计 35 44 51 60 60
（1）填空： 2 5 ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 14.4
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周
一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【考点】方差；中位数；用样本估计总体；折线统计图
【分析】（1）由题意得： ；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、
八年级共480名 周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得： ；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共 60 名学生中，周一至周五训练人数的平均数为
，
第20页（共32页）该校七、八年级共 480 名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为
（人 ．
19．（8分）如图1， 为半圆的直径，点 为圆心， 为半圆的切线，过半圆上的点 作
交 于点 ，连接 ．
（1）连接 ，若 ，求证： 是半圆的切线；
（2）如图2，当线段 与半圆交于点 时，连接 ， ，判断 和 的数量关系，
并证明你的结论．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；平行线的性质
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，推出四边形 是平行四边形，得
到 ，等量代换得到 ，推出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的
性质得到 ，于是得到结论；
（2）如图2，连接 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，证得
，等量代换即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接 ，
为半圆的切线， 为半圆的直径，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
第21页（共32页），
，
是半圆的切线；
（2）解： ，
理由：如图2，连接 ，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂
直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头
始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．
（结果精确到 ．
（1）如图2， ， ．
①填空： 16 0 ．
②求投影探头的端点 到桌面 的距离．
（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求
的大小．
（参考数据： ， ， ，
第22页（共32页）【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）①过点 作 ，根据平行线的性质解答便可；
②过点 作 于点 ，解直角三角形求出 ，进而计算 使得结果；
（2）过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作
于点 ，求出 ，再解直角三角形求得 便可．
【解答】解：（1）①过点 作 ，如图1，则 ，
，
，
，
，
故答案为：160；
②过点 作 于点 ，如图2，
则 ，
投影探头的端点 到桌面 的距离为： ；
第23页（共32页）（2）过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作
于点 ，如图3，
则 ， ， ， ， ，
，
，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为 的铅笔 斜靠在垂直于水平桌面 的直尺 的边沿上，一端 固定
在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔 绕端点 顺时针旋转， 与 交于点 ，当旋转至水平位置时，铅笔
的中点 与点 重合．
数学思考
（1）设 ，点 到 的距离 ．
①用含 的代数式表示： 的长是 ， 的长是 ；
② 与 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 ．
第24页（共32页）活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 ．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
【考点】几何变换综合题
【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点 ， 即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①如图3中，由题意 ，
，
， ，
第25页（共32页）故答案为： ， ．
②作 于 ．
， ，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
（2）①当 时， ，当 时， ，
故答案为2，6．
②点 ，点 如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值 的取值范围为 ．
性质2：函数图象在第一象限， 随 的增大而减小．
22．（9分）在图1，2，3中，已知 ， ，点 为线段 上的动点，连接 ，
以 为边向上作菱形 ，且 ．
第26页（共32页）（1）如图1，当点 与点 重合时， 6 0 ；
（2）如图2，连接 ．
①填空： （填“ ”，“ “，“ ” ；
②求证：点 在 的平分线上；
（3）如图3，连接 ， ，并延长 交 的延长线于点 ，当四边形 是平行四边
形时，求 的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据菱形的性质计算；
（2）①证明 ，根据角的运算解答；
②作 于 ， 交 的延长线于 ，证明 ，根据全等三角形
的性质得到 ，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到 ，证明四边形 为菱形，根据菱形的性质计
算，得到答案．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形，
，
，
故答案为： ；
（2）① 四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形， ，
，
，
故答案为： ；
②作 于 ， 交 的延长线于 ，
则 ，
，又 ，
第27页（共32页），
， ，
为等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，又 ， ，
点 在 的平分线上；
（3） 四边形 是菱形， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
， ，
，又 ，
，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
四边形 为平行四边形， ，
平行四边形 为菱形，
，
，
．
第28页（共32页）六、（本大题共12分）
23．（12分）特例感知
（1）如图1，对于抛物线 ， ， ，下列结论正确的
序号是 ①②③ ；
①抛物线 ， ， 都经过点 ；
②抛物线 ， 的对称轴由抛物线 的对称轴依次向左平移 个单位得到；
③抛物线 ， ， 与直线 的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 ， ， ， ， ，用含 的代数式表示顶点 的坐
标，并写出该顶点纵坐标 与横坐标 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： ， ， ， ，
，其横坐标分别为 ， ， ， ， 为正整数），判断相邻两点之间的
距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线 分别交“系列平移抛物线”于点 ， ， ， ， ，连接 ，
，判断 ， 是否平行？并说明理由．
第29页（共32页）【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；平行线的判定；抛物线与 轴的交点
【分析】（1）①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，即可得 ；
② ， 的对称轴分别为 ， ， 的对称
轴 ，
③当 时，则 ，可得 或 ； ，可得 或 ；
，可得 或 ；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）① 的顶点为 ， ，可得 ；
②横坐标分别为 ， ， ， ， 为正整数），当 时，
，纵坐标分别为 ， ， ， ， ，相邻
两点间距离分别为 ；
③当 时， ，可求 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
；
【解答】解：（1）①当 时，分别代入抛物线 ， ， ，即可得 ；①正确；
② ， 的对称轴分别为 ， ，
第30页（共32页）的对称轴 ，
由 向左移动 得到 ，再向左移动 得到 ，
②正确；
③当 时，则 ，
或 ；
，
或 ；
，
或 ；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）① 的顶点为 ， ，
令 ， ，
；
② 横坐标分别为 ， ， ， ， 为正整数），
当 时， ，
纵坐标分别为 ， ， ， ， ，
相邻两点间距离分别为 ；
相邻两点之间的距离都相等；
③当 时， ，
或 ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
第31页（共32页），
， ， ， ，
，
；
第32页（共32页）
