文档内容
2019年河南省中考数学模试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2，9970000这个数用科学记数法可表示为（
）
A．9.97×105B．99.7×105C．9.97×106D．0.997×107
3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥
﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击 10次，
然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所
示，丁的成绩如图所示．
甲 乙 丙
平均数 7.9 7.9 8.0
方差 3.29 0.49 1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
1A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长
线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75°至
OA′B′C′的位置，若OB= ，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3， ） B．（3， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点
F，则S ：S 的值为（ ）
△DEF △AOB
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与
两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，则a、b的值分别为（ ）
A． ， B． ，﹣ C． ，﹣ D．﹣ ，
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 、D EEB 、AB CD 、DEE4B…按如图所示的
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3
方式放置，其中点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C…在x轴上，已知正方形
1 1 1 2 2 3 4 3
ABCD 的边长为l，∠BCO=60°，BC∥BC∥BC…，则正方形A B C D 的边长
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2017 2017 2017 2017
是（ ）
A．（ ）2016 B．（ ）2017 C．（ ）2016 D．（ ）2017
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： +（π﹣2）0+（﹣1）2017= ．
12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的
值是 ．
13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y= 上，第二象限的点B在反比例函数y=
3上，且OA⊥OB，tanA= ，则k的值为 ．
14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 上，CD⊥OA，垂足为点D，
当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，
得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．）
16．先化简，再求值： ÷ ，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．
17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织
课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数
据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为
1：5．
月信息消费额分组统计表
组别 消费额（元）
A 10≤x＜100
4B 100≤x＜200
C 20≤x＜300
D 300≤x＜400
E x≥400
请结合图表中相关数据解答下列问题：
（1）这次接受调查的有 户；
（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是 ；
（3）请你补全频数直方图；
（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？
18．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点
C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形．
19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的
点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点
A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
520．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和
篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310
元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96个，
要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
21．根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程
①构造函数，画出图象：
根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣
1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图
象如图1所示；
②数形结合，求得界点：
当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ；
③借助图象，写出解集：
由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为 ．
（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．
①构造函数，画出图象；
②数形结合，求得界点；
③借助图象，写出解集．
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于 x
的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
622．（1）问题发现：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过
点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关
系是 ．
（2）拓展探究：
如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成
立？请出判断判断予以证明；
（3）类比延伸：
如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成
立？请直接写出你的判断．
23．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的
交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形OCMA的面积为s．请写出
s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
78参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【考点】15：绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据
绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|=3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2，9970000这个数用科学记数法可表示为（
）
A．9.97×105B．99.7×105C．9.97×106D．0.997×107
【考点】科学计数法．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9970000=9.97×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
9【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视
图可得第二层正方体的个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2=8
个正方体组成，
故选B．
4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥
﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】观察图象，直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为
所求．
【解答】解：∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥﹣3x+b，
∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3，
在数轴上表示为：
故选B．
5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击 10次，
然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所
示，丁的成绩如图所示．
甲 乙 丙
平均数 7.9 7.9 8.0
方差 3.29 0.49 1.8
10根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．
【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为： ×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，
丁的成绩的方差为： ×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣
8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长
线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】M6：圆内接四边形的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，
根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
11∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
7．如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75°至
OA′B′C′的位置，若OB= ，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3， ） B．（3， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；L8：菱形的性质．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针
旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角
函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB= ∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2 ，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
12OF=OB′•cos45°=2 × = ，
∴B′F= ，
∴点B′的坐标为：（ ，﹣ ）．
故选D．
8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点
F，则S ：S 的值为（ ）
△DEF △AOB
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可知BO=DO，又因为E为OD的中点，所以DE：BE=1：3，
根据相似三角形的性质可求出S ：S ．然后根据 = ，即可得到结论．
△DEF △BAE
【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE= DB，
∴DE：EB=1：3，
又∵AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
13∴ =（ ）2= ，
∴S = S ，
△DEF △BAE
∵ = ，
∴S = S ，
△AOB △BAE
∴S ：S = =1：6，
△DEF △AOB
故选C．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与
两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ，则a、b的值分别为（ ）
A． ， B． ，﹣ C． ，﹣ D．﹣ ，
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点
坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算
14即可得解．
【解答】解：如图 ，
∵y=ax2+bx= x2+bx= （x+ ）2﹣ ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），对称轴为直线x=﹣ ，
当x=﹣ 时，y= ，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（ + ）×（﹣ ）= ．
解得b=﹣ ，
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 、D EEB 、AB CD 、DEE4B…按如图所示的
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3
方式放置，其中点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C…在x轴上，已知正方形
1 1 1 2 2 3 4 3
ABCD 的边长为l，∠BCO=60°，BC∥BC∥BC…，则正方形A B C D 的边长
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2017 2017 2017 2017
是（ ）
15A．（ ）2016 B．（ ）2017 C．（ ）2016 D．（ ）2017
【考点】D2：规律型：点的坐标．
【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律
即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为1，∠BCO=60°，BC∥BC∥BC，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3
∴DE=BE，DE=BE，∠DCE=∠CBE=∠CBE=30°，
1 1 2 2 2 3 3 4 1 1 1 2 2 2 3 3 4
∴DE=CDsin30°= ，
1 1 1 1
则BC= = =（ ）1，
2 2
同理可得：BC= =（ ）2，
3 3
故正方形ABCD 的边长是：（ ）n﹣1，
n n n n
则正方形A B C D 的边长为：（ ）2016，
2017 2017 2017 2017
故选：C．
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： +（π﹣2）0+（﹣1）2017= ﹣ 2 ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的定义分别化简进而求出答案．
【解答】原式=﹣2+1﹣1
=﹣2．
故答案为：﹣2．
12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的
值是 a= 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b2﹣4ac，套入数据即
可得出△=（a﹣2）2≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x 、x ，利用根与
1 2
16系数的关系可得出x•x= ，再根据x、x 均为正整数，a为整数，即可得出结论．
1 2 1 2
【解答】解：∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，
∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，
当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴a≠2且a≠0．
设方程的两个根分别为x、x，
1 2
∴x•x= ，
1 2
∵x、x 均为正整数，
1 2
∴ 为正整数，
∵a为整数，a≠2且a≠0，
∴a=1，
故答案为：a=1．
13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y= 上，第二象限的点B在反比例函数y=
上，且OA⊥OB，tanA= ，则k的值为 ﹣ ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似
比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO=∠ACO=90°，
17则∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴ =（ ）2=（tanA）2= ，
又∵S = ×2=1，
△AOC
∴S = ，
△OBD
∴k=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在 上，CD⊥OA，垂足为点D，
当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为 2π ﹣ 4 ．
【考点】MO：扇形面积的计算；H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理．
【分析】由OC=4，点C在 上，CD⊥OA，求得DC= = ，运用S =
△OCD
OD• ，求得OD=2 时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积
18﹣△OCD的面积求解．
【解答】解：∵OC=4，点C在 上，CD⊥OA，
∴DC= =
∴S = OD•
△OCD
∴ = OD2•（16﹣OD2）=﹣ OD4+4OD2=﹣ （OD2﹣8）2+16
∴当OD2=8，即OD=2 时△OCD的面积最大，
∴DC= = =2 ，
∴∠COA=45°，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积= ﹣ ×2 ×2 =2π﹣
4，
故答案为：2π﹣4．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，
得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为 或 1 5 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】如图1，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，B′E=BE，根据勾股定理得到BE2=（3﹣
BE）2+12，
于是得到BE= ，如图2，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，求得AB=BF=5，根据勾股定理
得到CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12，即可得到结论．
【解答】解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴ AB′ =AB=5 ， B′ E=BE ， ∴ CE=3﹣ BE ， ∵ AD=3 ， ∴ DB′ =4 ， ∴ B′ C=1 ，
19∵B′E2=CE2+B′C2，
∴BE2=（3﹣BE）2+12，
∴BE= ，
如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴AB′=AB=5，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AE垂直平分BB′，
∴AB=BF=5，
∴CF=4，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴ ，
即 = ，
∴CE=12，∴BE=15，
综上所述：BE的长为： 或15，
故答案为： 或15．
20三、解答题（本题共8小题，共75分．）
16．先化简，再求值： ÷ ，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．
【考点】6D：分式的化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简 ÷ ，然后应用
因数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，
求出算式 ÷ 的值是多少即可．
【解答】解： ÷
=
=
∵x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
解得x=﹣3，x=1，
1 2
∵m是方程x2+2x﹣3=0的根，
∴m=﹣3，m=1，
1 2
∵m+3≠0，
∴m≠﹣3，
∴m=1，
所以原式=
21=
=
17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织
课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数
据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为
1：5．
月信息消费额分组统计表
组别 消费额（元）
A 10≤x＜100
B 100≤x＜200
C 20≤x＜300
D 300≤x＜400
E x≥400
请结合图表中相关数据解答下列问题：
（1）这次接受调查的有 5 0 户；
（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是 28.8° ；
（3）请你补全频数直方图；
（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？
【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数
（率）分布直方图．
【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据
此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数；
（2）用“E”组百分比乘以360°可得；
22（3）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；
（4）利用总数2000乘以C、D、E的百分比即可．
【解答】解：（1）A组的频数是：10× =2；
∴这次接受调查的有（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）=50（户），
故答案为：50；
（2）“E”所对应的圆心角的度数是360°×8%=28.8°，
故答案为：28.8°；
（3）C组的频数是：50×40%=20，如图，
（4）2000×（28%+8%+40%）=1520（户），
答：估计月信息消费额不少于200元的约有1520户．
18．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点
C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 4 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 60° 时，四边形BPDO是菱形．
23【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP= AB，由SAS可证△CDP≌△POB；
（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形 BPDO是平行四边形，
再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP∥AB，
∴DP= AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO= AB，
∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
∴△CDP≌△POB（SAS）；
（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，
（4÷2）×（4÷2）
=2×2
=4；
②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∵四边形BPDO是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
24∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA的度数为60°．
故答案为：4；60°．
19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的
点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点
A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角
问题．
【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；
（2）过 D 作 DF 垂直于 AB，交 AB 于点 F，可得出三角形 BDF 为等腰直角三角形，设
BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出
关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE= DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
25∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC= = = = 米，
BD= BF= x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2= +16，
解得：x=4+4 ，
则AB=（6+4 ）米．
20．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和
篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310
元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96个，
要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个
足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整
26数解，从而求解．
【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得 ，
解得 ，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
（2）方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30 ．
∵a为正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
21．根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程
①构造函数，画出图象：
根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣
1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图
象如图1所示；
②数形结合，求得界点：
27当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 x = 0 ， x = ﹣ 2 ；
1 2
③借助图象，写出解集：
由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为 ﹣ 2 ≤ x ≤ 0 ．
（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．
①构造函数，画出图象；
②数形结合，求得界点；
③借助图象，写出解集．
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于 x
的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．
【分析】（1）直接解方程进而利用函数图象得出不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集；
（2）首先画出y=x2﹣2x+1的函数图象，再利用当y=4时，方程x2﹣2x+1=4的解，得出不
等式x2﹣2x+1＜4的解集；
（3）利用ax2+bx+c=0的解集，利用函数图象分析得出答案．
【解答】解：（1）②方程﹣2x2﹣4x=0的解为：x=0，x=﹣2；
1 2
③不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为：﹣2≤x≤0；
（2）①构造函数，画出图象，如图2，：
构造函数y=x2﹣2x+1，抛物线的对称轴x=1，
且开口向上，顶点坐标（1，0），
关于对称轴x=1对称的一对点（0，1），（2，1），
用三点法画出图象如图2所示：
28；
②数形结合，求得界点：
当y=4时，方程x2﹣2x+1=4的解为：x=﹣1，x=3；
1 2
③借助图象，写出解集：
由图2知，不等式x2﹣2x+1＜4的解集是：﹣1＜x＜3；
（3）解：①当b2﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）
的解集是x＞ 或x＜ ．
当b2﹣4ac=0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是：x≠﹣ ；
当b2﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是全体实数．
22．（1）问题发现：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过
点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是 FG=C E ，位置
关系是 F G ∥ C E ．
（2）拓展探究：
如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成
立？请出判断判断予以证明；
（3）类比延伸：
如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成
立？请直接写出你的判断．
29【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形
后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；
（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用
等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；
（3）证明△CBF≌△DCE，即可证明四边形CEGF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图1所示：
则GH∥BF，∠GHE=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE与△CED中， ，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
30∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
故答案为：FG=CE，FG∥CE；
（2）FG=CE，FG∥CE仍然成立；理由如下：
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图2所示：
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE与△CED中， ，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四边形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
（3）FG=CE，FG∥CE仍然成立．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
31在△CBF与△DCE中， ，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．
23．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的
交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为 m，设四边形OCMA的面积为s．请写出
s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用抛物线的对称性可得到点D的总表，然后将A、C、D的坐标代入抛物线
的解析式可求得a、b、c的值，从而可得到二次函数的解析式；
（2）设M（m， x2﹣ x﹣3），|y|=﹣ m2+ m+3，由S=S +S 可得到S与m的函数
M △ACM △OAM
关系式，然后利用配方法可求得S的最大值；
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，则点P的纵坐标为﹣3，将y=﹣3代入抛物线
的解析式可求得点P的横坐标；当AB为对角线时，AB与CP互相平分，则点P的纵坐标为
3，把y=3代入抛物线的解析式可求得点P的横坐标．
【解答】解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x=l，
∴D（﹣2，0）．
又∵C（0，﹣3）
∴
解得．a= ，b=﹣ ，c=﹣3，
∴二次函数解析式为：y= x2﹣ x﹣3．
（2）如图1所示：
33设M（m， x2﹣ x﹣3），|y|=﹣ m2+ m+3，
M
∵S=S +S
△ACM △OAM
∴S= ×OC×m+ ×OA×|y|= ×3×m+ ×4×（﹣ m2+ m+3）=﹣ m2+3m+6=﹣ （m﹣
M
2）2+9，
当m=2时，s最大是9．
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，
∴PC∥x轴．
∴点P的纵坐标为﹣3．
将y=﹣3代入得： x2﹣ x﹣3=﹣3，解得：x=0或x=2．
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
当AB为对角线时．
∵ABCP为平行四边形，
∴AB与CP互相平分，
∴点P的纵坐标为3．
把y=3代入得： x2﹣ x﹣3=3，整理得：x2﹣2x﹣16=0，解得：x=1+ 或x=1﹣ ．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）使得以A，B、C，P
四点为顶点的四边形为平行四边形．
34
