文档内容
2019 年湖北省荆门市中考数学模拟试卷
一．选择题（满分36分，每小题3分）
1．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．x2•x4＝x6
C． D．（2x2）3＝6x6
3．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记
数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
4．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
6．若x＝ ﹣4，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等 实数根
C．无实数根 D．不能确定8．若关于x的不等式组 有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
9．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小
丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉
快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．小丽从家到达公园共用时间20分钟
B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟
D．便利店离小丽家的距离为1000米
10．已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数
根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD
于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于 PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA
的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
12．如图，☉O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是☉O上任意一点（点P与点
A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆
周转过90 时，点Q走过的路径长为（ ）[
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13．因式分解：9a2﹣12a+4＝_________．
14 ．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位
数是_________．
15．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝ （m≠0）的图象的交点是点A.点B，
若y1＞y2，则x的取值范围是__________．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣1 3 5 5 …
则 的值为_______-．
17．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所
在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为_______．
三．解答题（共7小题，满分69分）
18．（8分）（1）计算 ×cos45°﹣（ ）﹣1+20180；
（2）解方程组
19．（9分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅
尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆
心角为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽
取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1 个女生的概
率．
20．（10分）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上的一点．
（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC＝ ，BF＝1，连接CF，则CF的长度为_________．
21．（10分）已知a＞0，符号[a]表示大于或等于a的最小正整数，如：[2，1]＝3，[4，8]＝5，
[6]＝6，
（1）填空：[7 ]＝ ______，若[a]＝4，则a的取值范围______．
（2）某地运输公司规定出租车的收费标准是：3公里以内（包括3公里）收费5元；超出的部分，
每公里加收2元（不足1公里按1公里计算）．现在y表示乘客应付的乘车费（单位：元），用a
表示所行驶的路程（单位：公里），则乘车费可按如下的公式计算：
①当0＜a≤3时，y＝5；②当a＞3时，y＝5+2×[a﹣3]．
某乘客乘车后付费15元，求该乘客所行驶的路程a（公里）的取值范围．
22．（10分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤
退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶400米到达C处后，因
前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成
功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果精确到个
位）？
23．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC 相交于点D，过点D作
DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BE＝4，∠E＝30°，求由 、线段BE和线段DE所围成图形（ 阴影部分）的面积，
（3）若⊙O的半径r＝5，sinA＝ ，求线段EF的长．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右
侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一
点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．参考答案
一．选择题
1．解：∵a2＝4，b2＝9，
∴a＝±2，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3，
a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣ 2﹣3＝﹣5．
故选：B．
2．解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故选项A错误；
∵x2•x4＝x6，故选项B正确；
∵ ＝3，故选项C错误；
∵（2x2）3＝8x6，故选项D错误；
故选：B．
3．解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
4．解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
5．解：延长ED交BC于F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC＝75°，
∴∠MFC＝∠B＝75°，
∵∠CDE＝145°，
∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°，
故选：C．
6．解：∵36＜37＜49，
∴6＜ ＜7，∴2＜ ﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
7．解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．解：解不等式2x＞3x﹣3，得：x＜3，
解不等式3x﹣a＞5，得：x＞ ，
∵不等式组有实数解，
∴ ＜3 ，
解得：a＜4，
故选：A．
9．解：A.小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；
B.公园离小丽家的距离为2000米，正确；
C.小丽在便利店时间为15﹣10＝5分钟，错误；
D.便利店离小丽家的距离为1000米，正确；
故选：C．
10．解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
因为2+2＝4，
所以三角形三边为4.4.2，
所以△ABC的周长为10．
故选：C．
11．解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠E，∠BCE＝∠AEC，
∴BE＝BC＝3，∵AB＝2，
∴AE＝BE﹣AB＝1，
故选：B．
12．解：如图连接OP．
∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q也是OP的中点，
则OQ＝1，
点Q走过的路径长＝ ＝ ．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
13．解：9a2 ﹣12a+4＝（3a﹣2）2．
14．解：设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，
由题意得， ，
解得： ，
故这个两位数为95．
故答案为；95．
15．解：y1＞y2的自变量x的取值范围，从图上看就是一次函数图象在反比例函数图象上方
时，横坐标x的取值范围，
从图上看当x＞1或﹣3＜x＜0时一次函数图象在反比例函数图象上方，
所以x＞1或﹣3＜x＜0时，y1＞y2．
故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．16．解：∵x＝1.x＝2时的函数值都是﹣1相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ＝ ，
即 ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
17．解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故答案为：75°．
三．解答题（共7小题，满分69分）
18．解：（1）原式＝
＝3﹣3+1
＝1．
（2）由①+②×3 ，得：10x＝20，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得：6+y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为 ．
19．解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），扇形统计图中 “基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°× ＝90°，
故答案为：60，90．
（2）了解的人数有：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），补图如下：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为 ＝ ．
20．（1）解：旋转后的图形如图所示．
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠BDF，
∴∠BDF+∠DBF＝90°，
∴∠DFB＝90°，∴AF⊥BE．
（3）作CM⊥BE于M，CN⊥AF于N．
∵∠ANC＝∠BMC＝90°，∠CAN＝∠CBM，AC＝BC，
∴△ACN≌△BCM（AAS），
∴CN＝CM，
∵∠CMF＝∠MFN＝∠FNC＝90°，
∴四边形CMFN是矩形，
∵CM＝CN，
∴四边形CMFN是正方形，设CN＝CM＝MF＝FN＝a，
在Rt△BCM中，∵BC2＝CM2+BM2，
∴3＝a2+（a+1）2，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a＝ 或 （舍弃），
∴CF＝ CM＝ a＝ ．
故答案为 ．
21．解：（1）：[7 ]＝8；
若[a]＝4，则x的取值范围是：3＜x≤4，
故答案为：8.3＜x≤4．
（2）根据题意可知5+2×[a﹣3]＝15．
则[a﹣3]＝5，
∴4＜a﹣3≤5，
解得：7＜a≤8．22．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的
平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，红蓝双方相距AB＝DF+CE．
在Rt△BCE中，
∵BC＝400米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC•sin60°＝400× ＝200 米．
在Rt△CDF中，
∵∠F＝90°，CD＝400米，∠DCF＝45°，
∴DF＝CD•sin45°＝400× ＝200 米，
∴AB＝DF+CE＝200 +200 ≈629米．
答：红蓝双方最初相距629米．
23．解：（1）如图，连接BD.OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，
在Rt△ODE中，OE＝4+x，∠E＝30°，
∴ ＝ ，
解得 ：x＝4，
∴DE＝4 ，S△ODE＝ ×4×4 ＝8 ，
S扇形ODB＝ ＝ ，
则S阴影＝S△ODE﹣S扇形ODB＝8 ﹣ ；
（3）在Rt△ABD中，BD＝ABsinA＝10× ＝2 ，
∵DE⊥BC，
∴Rt△DFB∽Rt△DCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BF＝2，
∵OD∥BC，
∴△EFB∽△EDO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EB＝ ，
∴EF＝ ＝ ．
24．解：（1）对于抛物线y＝ x2+3x﹣8，
令y＝0，得到 x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，
∴B（﹣8，0），A（2，0），
令x＝0，得到y＝﹣8，
∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m， m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝ •FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m
＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∵抛物线的对称轴x＝﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有 ，
解得 ，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
∴P（﹣3，﹣10），
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．
（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），
∴BF＝ ＝4 ，
①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B.F、Q三点一线应该舍去）．
②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4 ），Q3（0，4 ）．
③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），
则有82+m2＝42+（m+12）2，
解得m＝﹣4，
∴Q4（0，﹣4），
∴Q点坐标为（0，0）或（0，4 ）或（0，﹣4 ）或（0，﹣4）．
