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2019年四川省巴中市平昌县中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在 ， ， ，sin30°，tan30°，（﹣ ）0， ， 这八个数中，整数和无理数分别有（
）
A．3个，2个 B．2个，2个 C．2个，3个 D．3个，3个
2．下列运算正确的是（ ）
A． 0＝1 B． ＝
π
C．（2A2）3＝6A6 D．（a+b）2＝a2+b2
3．一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边
形，正四边形，正六边形，则另外一个为（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
4．小明在参加区运动会前刻苦进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他
的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
5．下列x的值不是不等式﹣2x+4＜0的解，答案是（ ）
A．﹣2 B．3 C．3.5 D．10
6．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）
A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOB
C．4∠AIB﹣∠AOB＝360° D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°
7．已知AB是圆O的直径，AC是弦，若AB＝4，AC＝2 ，则sin∠C等于（ ）A． B． C． D．
8．如图，已知直线MN：y＝kx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一
点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（ ）
A．75° B．165° C．75°或45° D．75°或165°
9．如图，点A为反比例函数y＝﹣ 图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积
为（ ）
A．4 B．﹣2 C．2 D．无法确定
10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：
abc＜0； 2a﹣b＝0； 8a+c＞0； 若（﹣5，y ），（3，y ）是抛物线上两点，则y ＝y ，其中正
1 2 1 2
①确的有（ ② ） ③ ④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．64的立方根为 ．
12．函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
13．已知x2+y2＝10，xy＝3，则x+y＝ ．
14．若 ，则（b﹣a）2015＝ ．
15．如图，直线y ＝x+b与y ＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1
1 2
的解集 ．
16．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝
⊙ ⊙
17．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为 ，面积为
．
18．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，
那么这个恒星的面积等于 ．19．在实数范围内分解因式：x2y﹣3y＝ ．
20．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，
连接AG，那么∠AGD的底数是 度．
三．解答题（共11小题，满分90分）
21．（6分）计算 sin45°+3tan30°﹣（ ﹣1）0
π
22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0… ．
（1）对于任意的实数m，判断方程 的根的情况，并①说明理由．
（2）若x＝﹣1是这个方程的一个根①，求m的值和方程 的另一根．
①
23．（7分）先化简， ，然后从﹣1≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x
的值代入求值．
24．（8分）在 ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝
EH． ▱
25．（8分）“宜居襄阳”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注．我市某空气质量监测站点检测
了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了
如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）统计图共统计了 天的空气质量情况；
（2）请将条形统计图补充完整；空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 ；
（3）从小源所在环保兴趣小组4名同学（2名男同学，2名女同学）中，随机选取两名同学去该空气
质量监测站点参观，则恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是 ．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以
点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A OB ．
1 1
（1）画出△A OB ；
1 1
（2）直接写出点A 和点B 的坐标；
1 1
（3）求线段OB 的长度．
1
27．（8分）甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价．已知该商品
现价为每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，
若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如
何调整？28．（8分）如图，以AB为直径的 O经过点C，过点C作 O的切线交AB的延长线于点P，D是 O
⊙ ⊙ ⊙
上于点，且 ＝ ，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接AC．
（1）求∠E的度数；
（2）若 O的直径为5，sinP＝ ，求AE的长．
⊙
29．（10分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）是反比例函数 （x＞0）与一次函数y＝ax+b的交
点．求：
（1）反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．
30．（10分）如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测
得电线杆顶端A的仰角 ＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°＝0.3746，
cos22°＝0.9272，tan22°＝α 0.4040，cot22°＝2.4751．
31．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝ x2﹣x交于A、B两点．（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点P在抛物线上，当k＝﹣ 时，解决下列问题：
在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；
①连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．
②2019 年四川省巴中市平昌县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】利用无理数是无限不循环小数，得出无理数的个数，利用整数的概念得出整数的个数即可．
【解答】解：整数有 ＝7， ＝1，﹣ ＝﹣3，三个；
无理数有tan30°＝ ， ＝2 ， 三个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数、有理数的定义，无理数、有理数的辨别一直是学生易混淆的难点，
关键是根据无理数、整数的定义解答．
2．【分析】直接利用实数运算法则以及零指数幂的性质和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、 0＝1，正确，符合题意；
π
B、 + ，无法计算，故此选项错误；
C、（2A2）3＝8A6，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数运算以及零指数幂的性质和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题
关键．
3．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．
若能，则说明才可能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，
又∵360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴另一个为正四边形，
故选：B．
【点评】本题考查平面密铺的知识，难度一般，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及
能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．
4．【分析】根据众数、平均数、频数、方差的概念分析．
【解答】解：众数、平均数是反映一组数据的集中趋势，而频数是数据出现的次数，只有方差是反映
数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．故选：B．
【点评】此题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表
明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比
较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．【分析】求出不等式的解集，即可作出判断．
【解答】解：不等式﹣2x+4＜0，
解得：x＞2，
则﹣2不是不等式的解．
故选：A．
【点评】此题考查了不等式的解集，求出不等式的解集是解本题的关键．
6．【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角
的关系．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝ ∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝ ∠CAB，∠IBA＝ ∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣ （∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣ （180°﹣∠C）
＝90°+ ∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+ ∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．
7．【分析】如图，连接BC．求出∠A，再证明∠A＝∠ACO即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cosA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴sin∠OCA＝sin30°＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
常考题型．
8．【分析】分两种情况考虑： C点在x轴正半轴； C点在x轴负半轴．分别计算出∠MBO、∠OBC
度数，两个角的和差即为①所求度数． ②
【解答】解：由已知可得∠MBC＝120°．
如图，分两种情况考虑：
当点C在x轴正半轴上时，
①∠C
1
BO＝45°，∠MBC
1
＝120°﹣45°＝75°；
当点C在x轴负半轴上时，
②∠MBC
2
＝120°+45°＝165°．故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质以及分类讨论思想．
9．【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角
形面积S是个定值，即S＝ |k|．即可求解．
【解答】解：△ABO的面积是： ×|﹣4|＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂
线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一
定要正确理解k的几何意义．
10．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解： 由对称轴可知： ＜0，
①
∴ab＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，
∴abc＜0，故 正确；
①
由图象可知： ＝﹣1，
②
∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故 正确；
（﹣3，0）关②于直线x＝﹣1的对称点为（1，0），
③∴令x＝1，y＝a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵a＞0，
∴8a+c＝5a＞0，故 正确；
（﹣5，y
1
）关于直④线x＝﹣1的对称点（3，y
1
），
④∴若（﹣5，y ），（3，y ）是抛物线上两点，则y ＝y ，
1 2 1 2
故 正确；
故④选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等
题型．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：64的立方根是4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
12．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母
不等于0．
【解答】解：根据题意知3﹣2x≠0，
解得：x≠ ，
故答案为：x≠ ．
【点评】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能
为0．
13．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由完全平方公式可得：（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∵x2+y2＝10，xy＝3
∴（x+y）2＝16
∴x+y＝±4，故答案为：±4
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
14．【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵ +|2a﹣b+1|＝0，
∴ ，
+ 得：3a＝﹣6，即a＝﹣2，
①把a＝②﹣2代入 得：b＝﹣3，
则原式＝（﹣3①+2）2015＝（﹣1）2015＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消
元法．
15．【分析】观察函数图象得到，当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象都在函数y＝kx﹣1图象的上方，于是
可得到关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集．
【解答】解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴
上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出∠DCB＝∠A＝32°，再根据直径所对的圆周角为90°，求
出∠ABD的度数．
【解答】解：∵∠DCB＝32°，
∴∠A＝32°，
∵AB为 O直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
在Rt△ABD中，
∠ABD＝90°﹣32°＝58°．
故答案为：58°
【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°是解题的关键．
17．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据
菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．
【解答】解：根据已知可得，
菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝ ＝5 ，
∴BD＝2BO＝10 （cm），
则S ＝ ×AC×BD＝ ×10×10 ＝50 （cm2）；
菱形ABCD
故答案为：10cm，50 cm2．
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以
相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积＝ ×两条对角线的乘积．
18．【分析】恒星的面积＝边长为4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图．
2+2＝4，
恒星的面积＝4×4﹣4 ＝16﹣4 ．
故答案为16﹣4 ． π π
π【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为4的正方形面积﹣半径为2
的圆的面积．
19．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣3）＝y（x+ ）（x﹣ ），
故答案为：y（x+ ）（x﹣ ）
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
【点评】本题考查等边三角形的性质及正方形的性质的运用．三．解答题（共11小题，满分90分）
21．【分析】将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值，掌握零指数幂的规
定及实数的运算顺序．
22．【分析】（1）计算判别式得到△＝m2+12，由于m2≥0，则△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情
况；
（2）设方程另一根为x ，根据根与系数的关系先利用两根之积求出x ，然后利用两根之和求出m．
2 2
【解答】解：（1）△＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实根；
（2）设方程另一根为x ，
2
∴﹣1•x ＝﹣3，解得x ＝3，
2 2
∵﹣1+3＝m，
∴m＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
23．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算
可得．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]÷
＝ •＝﹣ ，
∵x≠±1且x≠0，
∴在﹣1≤x≤2中符合条件的x的值为x＝2，
则原式＝﹣ ＝﹣2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
24．【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证△EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线
合一即可证明CH＝EH．
【解答】证明：∵在 ABCD中，BE∥CD，
∴∠E＝∠2， ▱
∵CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∴BE＝BC，
又∵BH⊥BC，
∴CH＝EH（三线合一）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，证题的关
键是得到△EBC是等腰三角形．
25．【分析】（1）由良有70天，占70%，即可求得统计图共统计了几天的空气质量情况；
（2）由条形统计图中，可得空气质量为“良”的天数为100×20%＝20（天），空气质量为“优”所
在扇形的圆心角度数是：20%×360°＝72°，
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选到一名男同学和一
名女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵良有70天，占70%，
∴统计图共统计了的空气质量情况的天数为：70÷70%＝100（天）；
（2）如图：条形统计图中，空气质量为“优”的天数为100×20%＝20（天），
空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是：20%×360°＝72°，
（3）画树状图得：∵共有12种等可能情况，其中符合一男一女的有8种，
∴恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是 ＝ ．
故答案为：（1）100，（2）72°，（3） ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法
或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
26．【分析】（1）分别作出点A和点B绕点O逆时针旋转90°所得对应点，再与点O首尾顺次连接即可
得；
（2）由所得图形可得点的坐标；
（3）利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）画出△A OB ，如图．
1 1（2）点A （0，1），点B （﹣2，2）．
1 1
（3）OB ＝OB＝ ＝2 ．
1
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变
换后的对应点．
27．【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方
程求解．
（2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量．
【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：
40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（舍去）；
1 2
故这个降价率为10%；
（2）设降价y元，
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000
解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：在现价的基础上，再降低10元．
【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，
平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
28．【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA．∠OAC＝∠CAD．推出
OC∥AE．根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP．根据切线的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC．∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵BC＝CD，
∴∠OAC＝∠CAD．
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AE．
∴∠E＝∠OCP．
∵PE是的切线，C为切点，
∴∠OCP＝90°．
∴∠E＝90°；
（2）在Rt△ABD中，OC＝2.5，sin∠P＝ ＝ ，
∴OP＝ ，
在Rt△APE中，AP＝ +2.5＝ ，sin∠P＝ ＝ ，
∴AE＝4．
【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．【分析】（1）根据反比例函数的特点k＝xy为定值，列出方程，求出m的值，便可求出反比例函数的
解析式；根据m的值求出A、B两点的坐标，用待定实数法便可求出一次函数的解析式．
（2）根据函数图象可直接解答．
【解答】解：（1）由题意可知，m（m+1）＝（m+3）（m﹣1）．
解，得m＝3．（2分）
∴A（3，4），B（6，2）；∴k＝4×3＝12，
∴ ．
∵A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x+6．（5分）
（2）根据图象得x的取值范围：0＜x＜3或x＞6．（7分）
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数
的解析式，比较简单．
30．【分析】根据CE和 的正切值可以求得AE的长度，根据AB＝AE+EB即可求得AB的长度，即可
解题． α
【解答】解：在中Rt△ACE，
∴AE＝CE•tan ，
＝BD•tan ， α
＝25×tan2α2°，
≈10.10米，
∴AB＝AE+EB＝AE+CD≈10.10+1.20≈11.3（米）．
答：电线杆的高度约为11.3米．
【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．
31．【分析】（1）变形为不定方程k（x﹣4）＝y﹣4，然后根据k为任意不为0的实数得到x﹣4＝0，y﹣4
＝0，然后求出x、y即可得到定点的坐标；（2）通过解方程组 得A（6，3）、B（﹣4，8）；
如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x， x2﹣x），则Q（x，﹣ x+6），则PQ＝（﹣ x+6）
①
﹣（ x2﹣x），利用三角形面积公式得到S ＝﹣ （x﹣1）2+ ＝20，然后解方程求出x即可得
△PAB
到点P的坐标；
设P（x， x2﹣x），如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB＝90°，根据三角形相似的判定，
②
由于∠AOB＝∠PCO，则当 ＝ 时，△CPO∽△OAB，即 ＝ ；当 ＝ 时，
△CPO∽△OBA，即 ＝ ，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的
坐标．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣4k+4＝k（x﹣4）+4，
即k（x﹣4）＝y﹣4，
而k为任意不为0的实数，
∴x﹣4＝0，y﹣4＝0，解得x＝4，y＝4，
∴直线过定点（4，4）；
（2）当k＝﹣ 时，直线解析式为y＝﹣ x+6，解方程组 得 或 ，则A（6，3）、B（﹣4，8）；
如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，
①
设P（x， x2﹣x），则Q（x，﹣ x+6），
∴PQ＝（﹣ x+6）﹣（ x2﹣x）＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∴S ＝ （6+4）×PQ＝﹣ （x﹣1）2+ ＝20，
△PAB
解得x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；
设P（x， x2﹣x），如图2，
②
由题意得：AO＝3 ，BO＝4 ，AB＝5 ，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝∠PCO，
∴当 ＝ 时，△CPO∽△OAB，
即 ＝ ，
整理得4| x2﹣x|＝3|x|，
解方程4（ x2﹣x）＝3x得x ＝0（舍去），x ＝7，此时P点坐标为（7， ）；
1 2解方程4（ x2﹣x）＝﹣3x得x ＝0（舍去），x ＝1，此时P点坐标为（1，﹣ ）；
1 2
当 ＝ 时，△CPO∽△OBA，
即 ＝ ，
整理得3| x2﹣x|＝4|x|，
解方程3（ x2﹣x）＝4x得x ＝0（舍去），x ＝ ，此时P点坐标为（ ， ）；
1 2
解方程3（ x2﹣x）＝﹣4x得x ＝0（舍去），x ＝﹣ ，此时P点坐标为（﹣ ， ）
1 2
综上所述，点P的坐标为：（7， ）或（1，﹣ ）或（﹣ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定方法；会利用待定系数法求抛物线解析式，通过解方程组求两函数图象的交点坐标，会解一元二次
方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问题．
