文档内容
2019年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题．（单选题，本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（﹣5）2的平方根是（ ）
A．﹣5 B．±5 C．5 D．25
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确
的有（ ）
abc＞0； 方程ax2+bx+c＝0的两个根是x ＝﹣1，x ＝3；
1 2
①2a+b＝0；② 当x＞0时，y随x的增大而减小．
③ ④
A． B． C． D．
①② ②③ ①④ ②④
3．（3分）不等式 的整数解的个数是（ ）
A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
4．（3分）如图：AD∥BC，AB＝AC，∠ABC＝52°，则∠DAC的度数为（ ）
A．52° B．62° C．64° D．42°
5．（3分）如果两组数据x ，x 、……x ；y ，y ……y 的平均数分别为 和 ，那么新的一组数据
1 2 n 1 2 n
2x +y ，2x +y ……2x +y 的平均数是（ ）
1 1 2 2 n n
A．2 B．2 C．2 + D．
6．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则C的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
7．（3分）如图：将 ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点B（ ，﹣1）和C
▱（2，1）所分别对应的D点和A点的坐标是（ ）
A．（﹣ ，1）和（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）和（﹣ ，﹣1）
C．（﹣2，1）和（ ，1） D．（﹣1，﹣2）和（﹣1， ）
8．（3分）已知 O的直径AB＝8cm，点C在 O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4cm B．4 cm C．5cm D．2.5cm
9．（3分）已知： 为锐角，且 ＝1，则tan 的值等于（ ）
α α
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 ．
12．（3分）单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，则m+n＝ ．
13．（3分）已知1+3＝41+3+5＝91+3+5+7＝161+3+5+7+9＝25，则1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝
（其中n为自然数）
14．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝2 ，tan∠BCD＝ ，
则AB＝ ．15．（3分）如图：点A在反比例函数y＝ 的图象上，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面
积为4，则k的值为 ．
16．（3分）抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为 ．
17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 cm．
18．（3分）从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率为
．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分）
19．（8分）先化简再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝2．
20．（8分）已知：如图， ABCD中，AF＝CE，EF与对角线BD相交点O，求证：OB＝OD．
▱
21．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人
每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运
800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于
2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
22．（8分）某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见表：抽取灯泡数a 40 100 150 500 1000 1500
优等品数b 36 92 145 474 950 1427
优等品频率ba
（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）；
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）．
23．（8分）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用
竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．
（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？
24．（8分）如图，已知AB是 O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交 O于点E，
且使∠PCA＝∠ABC． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若∠P＝60°，⊙PC＝2，求PE的长．
25．（8分）一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，
且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，
如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；
tan37°≈0.75）26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左
侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点
P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否
为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．2019 年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（5 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题．（单选题，本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（﹣5）2的平方根是（ ）
A．﹣5 B．±5 C．5 D．25
【分析】根据平方根的定义进行计算即可得解．
【解答】解：∵（﹣5）2＝（±5）2，
∴（﹣5）2的平方根是±5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是0；负数没有平方根．
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确
的有（ ）
abc＞0； 方程ax2+bx+c＝0的两个根是x ＝﹣1，x ＝3；
1 2
①2a+b＝0；② 当x＞0时，y随x的增大而减小．
③ ④
A． B． C． D．
【分析①】②由函数图象可得抛②物线③开口向下，得到a＜①0，④又对称轴在y轴右侧②，④可得b＞0，根
据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论 错误；由抛物
线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x＝1，利用对称性得到抛物线与x轴①另一个交点为
（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣1和3，结论 正确；由抛物线的对
称轴为x＝1，利用对称轴公式得到2a+b＝0，结论 正确；由抛物②线的对称轴为直线x＝
1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左③边y随x的增大而增大，故x大于0小
于1时，y随x的增大而增大，结论 错误．
【解答】解：∵抛物线开口向下，∴④a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣ ＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故 错误；
∵抛物线与x轴①的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x ＝﹣1，x ＝3，故 正确；
1 2
②
∵对称轴为直线x＝1，∴﹣ ＝1，即2a+b＝0，故 正确；
③
∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故 错误；
故选：B． ④
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位
置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决
定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增
大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减
小．此外抛物线解析式中y＝0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．（3分）不等式 的整数解的个数是（ ）
A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可
得出答案．
【解答】解： ，
解不等式 得：x＞﹣0.5，
解不等式①得：x≤2，
则不等式②组的解集为﹣0.5＜x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能
根据不等式的解集求出不等式组的解集．4．（3分）如图：AD∥BC，AB＝AC，∠ABC＝52°，则∠DAC的度数为（ ）
A．52° B．62° C．64° D．42°
【分析】根据等腰三角形的性质可求出底角∠ACB的度数，然后根据两直线平行，内错角
相等解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝52°，
∴∠ACB＝52°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝52°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质，运用了等腰三角形的性质、平行线的性质．
5．（3分）如果两组数据x ，x 、……x ；y ，y ……y 的平均数分别为 和 ，那么新的一组数据
1 2 n 1 2 n
2x +y ，2x +y ……2x +y 的平均数是（ ）
1 1 2 2 n n
A．2 B．2 C．2 + D．
【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：由已知，（x +x +…+x ）＝n ，
1 2 n
（y +y +…+y ）＝n ，
1 2 n
新的一组数据2x +y ，2x +y ……2x +y 的平均数为
1 1 2 2 n n
（2x +y ，2x +y ……2x +y ）÷n
1 1 2 2 n n
＝[2（x
1
+x
2
+…+x
n
）+（y
1
+y
2
+…+y n）]÷n
＝（ ）÷n
＝2 +
故选：C．
【点评】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指
在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
6．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则C的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】将经过的点的坐标代入抛物线求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），
∴2×22﹣4×2+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标适合解析式
是解题的关键．
7．（3分）如图：将 ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点B（ ，﹣1）和C
▱
（2，1）所分别对应的D点和A点的坐标是（ ）
A．（﹣ ，1）和（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）和（﹣ ，﹣1）
C．（﹣2，1）和（ ，1） D．（﹣1，﹣2）和（﹣1， ）
【分析】由四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，即可得出B、C与D、A
分别关于原点对称，进而可求解．
【解答】解：∵B、C与D、A分别关于原点对称，点B与点C的坐标分别是（ ，﹣1），C（2，
1），
∴可得D点的坐标为（﹣ ，1）；点A的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查坐标与图形的结合问题，即对称问题，熟练掌握平行四边形的性质
及对称的而性质，能够求解一些简单的问题．
8．（3分）已知 O的直径AB＝8cm，点C在 O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（ ）
⊙ ⊙A．4cm B．4 cm C．5cm D．2.5cm
【分析】先证明△OBC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再解直角三角形得AC．
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8× ＝4 ．
故选：B．
【点评】本题是考查圆的基本性质的一个题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角
形的性质与判定，解直角三角形，关键是证明∠ABC＝60°．
9．（3分）已知： 为锐角，且 ＝1，则tan 的值等于（ ）
α α
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
【分析】根据同角三角函数关系tan ＝ 进行解答．
α
【解答】解：由 ＝1，得 ＝1．
所以 ＝1．
解得tan ＝2.5．
故选：Dα．
【点评】考查了同角三角函数关系，熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴ ，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标
的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；
第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为 （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ）（ x + ）（ x ﹣ ） ．
【分析】原式利用十字相乘法，以及平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣4）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+ ）（x﹣ ），
故答案为：（x+2）（x﹣2）（x+ ）（x﹣ ）
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分
解的方法是解本题的关键．
12．（3分）单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，则m+n＝ 3 ．
【分析】直接利用合并同类项法则得出关于m，n的方程组进而得出答案．
【解答】解：∵单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，
∴ ，
解得： ，
则m+n＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确求出m，n的值是解题关键．
13．（3分）已知1+3＝41+3+5＝91+3+5+7＝161+3+5+7+9＝25，则1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝
（ n + 1 ） 2 （其中n为自然数）
【分析】观察题中已知：是从1开始的奇数求和，结果为自然数的平方，若算式的最后一个
为2n+1，结果恰是（n+1）2，由此可以求解．
【解答】解：∵1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；1+3+5+7＝16＝42；
1+3+5+7+9＝25＝52
…
∴1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2．
故答案为：（n+1）2．
【点评】此题主要考查数的规律探索与运用，观察已知找到存在的规律，并准确应用是解
题的关键．
14．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝2 ，tan∠BCD＝ ，
则AB＝ 3 ．
【分析】由等角的余角相等可得出∠A＝∠BCD，在Rt△ABC中，由tanA＝ 可求出BC
的长，再利用勾股定理可求出AB的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90，
∴∠A＝∠BCD．
在Rt△ABC中，tanA＝ ，
∴BC＝AC•tanA＝ ，
∴AB＝ ＝3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了解直角三角形、三角形内角和定理以及勾股定理，利用tanA＝ 求出
BC的长是解题的关键．15．（3分）如图：点A在反比例函数y＝ 的图象上，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面
积为4，则k的值为 8 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角
三角形面积S是个定值，即S＝ |k|．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝ 图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB ＝ |k|＝4；
又∵函数图象位于一、三象限，
∴k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，
所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类
题一定要正确理解k的几何意义．
16．（3分）抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为 y ＝ 2（ x ﹣
2 ） 2 +1 ．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新
抛物线的解析式．
【解答】解：∵y＝2x2+1，
∴抛物线y＝2x2+，1的顶点坐标是（0，1），
∴将抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（2，1），
则平移后新抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2+1．
故答案是：y＝2（x﹣2）2+1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为 2 cm．
【分析】根据弧长公式可得结论． π
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为 ＝2 ，
π
故答案为：2
【点评】本题π主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
18．（3分）从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率为
．
【分析】根据概率公式计算可得．
【解答】解：从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率
为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可
能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分）
19．（8分）先化简再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
＝
＝
＝
＝﹣ ，当x＝2时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）已知：如图， ABCD中，AF＝CE，EF与对角线BD相交点O，求证：OB＝OD．
▱
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由“AAS”可证△DOF≌△BOE，即
可得OB＝DO．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∵AF＝CE，AD＝BC
∴DF＝BE，且∠DOF＝∠BOE，∠ADB＝∠DBC
∴△DOF≌△BOE（AAS）
∴OB＝OD
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DOF≌△BOE
是本题的关键．
21．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人
每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运
800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于
2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克
材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的
时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千
克材料，根据题意，得 ＝ ，
解得x＝120．
经检验，x＝120是所列方程的解．
当x＝120时，x+30＝150．
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；
（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥ ．
∵a是整数，
∴a≥14．
答：至少购进A型机器人14台．
【点评】本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题
意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
22．（8分）某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见表：
抽取灯泡数a 40 100 150 500 1000 1500
优等品数b 36 92 145 474 950 1427
优等品频率ba
（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）；
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）．
【分析】（1）根据优等品的频数除以数据的总个数即可求得优等品的频率；
（2）根据表格中的数据可以得到优等品的概率；
【解答】解：（1）表中优等品的频率从左到右依次是：0.900 0.920 0.967 0.948
0.950 0.951．
（2）根据求出的优等品的频率，可以知道，随着抽取的灯泡数的增多，优等品的频率逐渐
稳定在0.95左右，由此可以估计这批灯泡优等品的概率是0.95
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用概率的知
识解答．
23．（8分）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用
竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？
【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场
的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．
【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，
依题意，得：（33﹣2x）x＝130，
解得：x ＝6.5，x ＝10，
1 2
∴33﹣2x＝20或13．
答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．
（2）∵10≤a＜18，
∴33﹣2x＝13，
∴养鸡场的长为13米宽为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
24．（8分）如图，已知AB是 O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交 O于点E，
且使∠PCA＝∠ABC． ⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
（2）若∠P＝60°，⊙PC＝2，求PE的长．
【分析】（1）连接OC，由AB是 O的直径，得到∠ACB＝90°，求得∠BCO+∠ACO＝90°，
根据等腰三角形的性质得到∠B⊙＝∠BCO，等量代换得到∠BCO＝∠ACP，求得∠OCP＝
90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PC是 O的切线；
（2）∵⊙∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，
∴OC＝2 ，OP＝2PC＝4，
∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2 ．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解
题的关键．
25．（8分）一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，
且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，
如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；
tan37°≈0.75）【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由
三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意知∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝ ．
∴ ≈0.34，
∴CD＝27.2（海里）
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝ ．
∴ ≈0.75，
∴BD＝20.4（海里）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度
是解决问题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左
侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点
P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否
为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，得
A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C点坐标代入函数解析式，得
a（0+3）（0﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
则PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝ ×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴ ＝ ，
∴EG＝ ＝ ＝2（t+3），
∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关
键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．
