文档内容
2019年浙江省杭州市萧山区中学中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．从1978年12月18日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经40周年了，我国GDP（国内生
产总值）从1978年的1495亿美元到2017年已经达到了122400亿美元，全球排名第二，将122400
用科学记数法表示为（ ）
A．12.24×104 B．1.224×105 C．0.1224×106 D．1.224×106
3．若2m＝5，4n＝3，则43n﹣m的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
4．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关
系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（ ）
A．赛跑中，兔子共休息了50分钟
B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C．兔子比乌龟早到达终点10分钟
D．乌龟追上兔子用了20分钟
5．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误
的是（ ）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
6．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、
AC上），设∠BAE＝ ，∠DCE＝ ．下列各式： + ， ﹣ ， ﹣ ， 360°﹣ ﹣ ，∠AEC
α β ①α β ②α β ③β α ④ α β的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．把抛①物②线③y＝﹣2x2向上平移①1②个④单位，再向右平移①1③个④单位，得到的抛①物线②是③（④ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
8．现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40 厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片
所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长
约为（ ）厘米．（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米， ≈1.41， ≈1.73）
A．64 B．67 C．70 D．73
9．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝
▱
AB，连接OE．下列结论： S ＝AD•BD； DB平分∠CDE； AO＝DE； S ＝
ABCD △ADE
▱
5S ，其中正确的个数有（① ） ② ③ ④
△OFE
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x ，4）、B（x +x ，n）、C（x ，4），则n的值为
1 1 2 2．
12．某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学
成绩的中位数是 ．
13．如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝ （k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数
y＝ （k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为8．则k的值为 ．
14．如图1为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，
则tan∠BPD＝ ，如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，如图2，那么tan∠BPD
＝ ．
15．如图，动点O从边长为6的等边△ABC的顶点A出发，沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，
速度为1个单位长度每秒．以O为圆心、 为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时
是点O出发后第 秒．
16．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A'O'B'处，则顶点O经过的路线总长为 ．
三．解答题（共8小题，满分20分）
17．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝ ．
18．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
3x+（13﹣x）＞17．
19．如图，已知△ABC．
（1）AC的长等于 ；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A B C ，则A点对应点A 的坐标是 ．
1 1 1 1
（4）点A到A′所画过痕迹的长 ．
20．济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个
班（用A，B，C，D表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 ．
（3）请估计全校共征集作品的什数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在
获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两
名学生性别相同的概率．
21．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，
两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直经作 O交BC与D点，过点D作 O的切线EF，交AB
于点E，交AC的延长线于点F． ⊙ ⊙
（1）求证：FE⊥AB．
（2）当AE＝6，AF＝10时，求BE的长．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x ，y ），（x ，y ）在抛物线上，若x ＜x ＜1，比较y ，y 的大小；
1 1 2 2 1 2 1 2
（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶
点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019 年浙江省杭州市萧山区中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为
函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得
出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，
n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：122400＝1.224×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：∵2m＝5，4n＝3，
∴43n﹣m＝（4n）3÷4m
＝（4n）3÷（2m）2
＝ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
4．【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
赛跑中，兔子共休息了50﹣10＝40分钟，故选项A错误，
乌龟在这次比赛中的平均速度是500÷50＝10米/分钟，故选项B错误，
乌龟比兔子先到达60﹣50＝10分钟，故选项C错误，乌龟追上兔子用了20分钟，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．【分析】由中位数、众数、平均数及方差的意义逐一判断可得．
【解答】解：A．前一组数据的中位数是200，正确，此选项不符合题意；
B．前一组数据的众数是200，正确，此选项不符合题意；
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，正确，此选项不符合题意；
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查方差、中位数、众数、平均数，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差
的意义．
6．【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行
计算求解即可．
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝ ，
1
∵∠AOC＝∠BAE +∠AE C， β
1 1
∴∠AE C＝ ﹣ ．
1
（2）如图，β过Eα 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE ＝ ，∠2＝∠DCE ＝ ，
2 2 2
∴∠AE C＝ + ． α β
2
（3）如图，α由βAB∥CD，可得∠BOE ＝∠DCE ＝ ，
3 3
∵∠BAE ＝∠BOE +∠AE C， β
3 3 3
∴∠AE C＝ ﹣ ．
3
（4）如图，α由AβB∥CD，可得∠BAE +∠AE C+∠DCE ＝360°，
4 4 4
∴∠AE C＝360°﹣ ﹣ ．
4
∴∠AEC的度数可能α 为β ﹣ ， + ， ﹣ ，360°﹣ ﹣ ．
（5）（6）当点E在CDβ的下α 方α时β，同α理β可得，∠AαECβ＝ ﹣ 或 ﹣ ．
故选：D． α β β α【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，
内错角相等．
7．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可
得抛物线解析式．
【解答】解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣
2（x﹣1）2+1，
故选：B．
【点评】考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改
变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
8．【分析】设出与小圆的半径，利用扇形的弧长等于圆的周长得到小圆的半径，扇形的半径与小圆半
径相加，再加上 倍的小圆半径即可得正方形的对角线长，除以 就是正方形的边长．
【解答】解：设小圆半径为r，则：2 r＝ ，
π
解得：r＝10 ，
∴正方形的对角线长为：40 +10 +10 × ＝50 +20，
∴正方形的边长为：50+10 ≈64，
故选：A．
【点评】本题用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意扇形的半径与
小圆半径相加，再加上 倍的小圆半径即为得正方形的对角线长，对角线除以 即为正方形的边长．
9．【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S ＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE30°，
ABCD
▱
可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；
依据OE是△ABD的中位线，即可得到OE∥AD，OE＝ AD，进而得到△OEF∽△ADF，依据
S ＝4S ，S ＝2S ，即可得到S ＝6S ．
△ADF △OEF △AEF △OEF △ADE △OFE
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝ AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝ ∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S ＝AD•BD，故 正确；
ABCD
∵∠▱CDE＝60°，∠BDE①＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故 正确；
∵Rt△AOD中，AO＞A②D，
∴AO＞DE，故 错误；
∵O是BD的中点③，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，OE＝ AD，
∴△OEF∽△ADF，
∴S ＝4S ，且AF＝2OF，
△ADF △OEF
∴S ＝2S ，
△AEF △OEF∴S ＝6S ，故 错误；
△ADE △OFE
故选：B． ④
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边
形的面积公式以及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的
关键．
10．【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的
一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x ＝11，x ＝﹣10（不合题意，舍去）．
1 2
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x +x ＝﹣2，代入二次函数解析式即可得出结论．
1 2
【解答】解：∵A（x ，4）、C（x ，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
1 2
∴2（x+1）2+3＝4，
∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x +x ＝﹣2，
1 2
∵B（x +x ，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
1 2
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x +x ＝﹣2是解本题的
1 2
关键．
12．【分析】直接根据中位数的定义求解．
【解答】解：将这6位同学的成绩重新排列为75、75、84、86、92、99，所以这六位同学成绩的中位数是 ＝85，
故答案为：85．
【点评】本题考查了中位数的概念．找中位数时需要对这一组数据按照从大到小或从小到大的顺序
进行排序．
13．【分析】连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB＝OC，那么S ＝S ＝ S ＝4．求出
△OAB △OAC △ABC
直线y＝x+2与y轴交点D的坐标．设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（﹣b，﹣b﹣2），根据S ＝4，
△OAB
得出a﹣b＝4 ．根据S ＝4，得出﹣a﹣b＝2 ， 与 联立，求出a、b的值，即可求解．
△OAC
【解答】解：如①图，连接OA． ② ① ②
由题意，可得OB＝OC，
∴S ＝S ＝ S ＝4．
△OAB △OAC △ABC
设直线y＝x+2与y轴交于点D，则D（0，2），
设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（﹣b，﹣b﹣2），
∴S ＝ ×2×（a﹣b）＝4，
△OAB
∴a﹣b＝4 ．
过A点作AM①⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，
则S ＝S ＝ k，
△OAM △OCN
∴S ＝S +S ﹣S ＝S ＝4，
△OAC △OAM 梯形AMNC △OCN 梯形AMNC
∴ （﹣b﹣2+a+2）（﹣b﹣a）＝4，
将 代入，得
∴①﹣a﹣b＝2 ，
+ ，得﹣2b②＝6，b＝﹣3，
①﹣② ，得2a＝2，a＝1，
①∴A（②1，3），∴k＝1×3＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点
的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反
比例函数的对称性得出OB＝OC是解题的突破口．
14．【分析】（1）作BH⊥DP于H点，设小正方形的边长为1，根据勾股定理可计算出CD＝ ，AB＝
，再根据三角形面积公式可计算出DH＝ ，由BC∥AD得到△APD∽△BPC，利用相似比
得到PD＝2PC，所以PD＝ CD＝ ，接着在Rt△PHC中，根据勾股定理计算出PH＝ ，
最后利用正切的定义求解．
（2）类比（1）的解题过程，即可解答．
【解答】解：作DH⊥BP于H点，如图，
设小正方形的边长为1，则AD＝2，
在Rt△BCD中，CD＝ ，
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ，∵ DH•AB＝ AD•BD，
∴DH＝ ，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△BPC，
∴ ，
即DP＝2PC，
∴PD＝ CD＝ ，
在Rt△PHD中，PH＝ ＝ ，
∴tan∠BPD＝ ＝3．
如果是n个边长为1的正方形组成的n×1格点图，那么tan∠BPD＝ ．
故答案为：3， ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确
作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
15．【分析】若以O为圆心，以 为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在
AC上，且和BC边相切的情况．作O′D⊥BC于D，则O′D＝ ，利用解直角三角形的知识，进
一步求得O′C＝2，从而求得OA的长，进一步求得运动时间．
【解答】解：根据题意，则作O′D⊥BC于D，则O′D＝ ，
在直角三角形O′CD中，∠C＝60°，O′D＝ ，
∴O′C＝2，
∴O′A＝6﹣2＝4，
∴以O为圆心、 为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直线和圆相切时数量之间的关系的应用，能够正确分析出以O为圆心、 为半
径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置是解此题的关键，此题是一道中档题目，
难度适中．
16．【分析】仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，
再求出其和即可．
【解答】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O
点绕不动点B转过了90°；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所
以O与转动点的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长＝BA’＝AB的
弧长
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°
所以，O点经过的路线总长S＝ + + ＝ ．
π π π π
故答案为 ．
π
【点评】本题关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长．三．解答题（共8小题，满分20分）
17．【分析】原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x
与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，
当x＝5，y＝ 时，原式＝50﹣7＝43．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空
心”的原则将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：3x+13﹣x＞17，
2x＞4，
∴x＞2；
把不等式的解集在数轴上表示为：
．
【点评】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数
与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
19．【分析】（1）根据勾股定理求解可得；
（2）△ABC向右平移2个单位，则点A′向右平移两个单位，据此写出点A′的坐标；
（3）画出旋转图形后，直接写出A点对应点A 的坐标；
1
（4）由平移的定义可得．
【解答】解：（1）AC的长为 ＝ ，
故答案为： ；
（2）∵点A坐标为（﹣1，2），
∴向右平移2个单位后得到（1，2），
故答案为：（1，2）；（3）如图所示：
由图可知点A 的坐标为（﹣3，﹣2）；
1
（4）点A到A′所画过痕迹的长为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24（件），C班作品的件数为：24﹣4﹣
6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24件，
C班有24﹣（4+6+4）＝10件，
补全条形图如图所示，扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°× ＝150°；
故答案为：150°；
（3）∵平均每个班 ＝6件，
∴估计全校共征集作品6×30＝180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
21．【分析】如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原
来的单价和为100元”可得出方程为x+y＝100根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，
两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为x（1﹣10%）+y（1+40%）＝
100（1+20%）．【解答】解：设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得
，
解得： ．
答：甲种商品原来的单价是40元，乙种商品原来的单价是60元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目
中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
22．【分析】（1）连接OD，由EF为 O的切线，利用切线的性质得到OD与EF垂直，利用同圆的半径
相等和等边对等角得到OD∥A⊙B，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；
（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，先根据勾股定理求EF＝8，根据三角函数tan∠F＝
＝ ＝ ，设OD＝3x，DF＝4x，则OF＝5x，表示AG＝ ，根据AE＝6，列方程3x+ ＝6，
可得x的值，计算BE的长．
【解答】证明：（1）如图1，连接OD，…（1分）
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
又∵AB＝AC，
∴∠OCD＝∠B，
∴∠ODC＝∠B，
∴OD∥AB，…
∵ED是 O的切线，OD是 O的半径，
∴OD⊥E⊙F， ⊙
∴AB⊥EF；…
（2）如图2，连接OD，过O作OG⊥AB于G，
Rt△AEF中，∵AE＝6，AF＝10，
∴EF＝8，…（5分）tan∠F＝ ＝ ＝ ，
设OD＝3x，DF＝4x，则OF＝5x，
∴OA＝OC＝3x，FC＝2x，
∵OG∥EF，
∴∠AOG＝∠F，
∴sin∠AOG＝sin∠F＝ ，
∴ ＝ ，
∴AG＝ ，…（8分）
∵四边形EDOG为矩形，
∴EG＝OD＝3x，
∵AE＝6，
∴3x+ ＝6，
x＝ ，
∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝6x﹣6＝6× ﹣6＝ ．…【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三
角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
23．【分析】（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线x＝1，然后根据函
数图象的增减性进行解题；
（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是（3，2），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关
系式．
【解答】解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x＝1．与x轴的交点坐标（0，
0）（2，0）．
（2）抛物线的对称轴是直线x＝1．
根据图示知，当x＜1时，y随x的增大而减小，
所以，当x ＜x ＜1时，y ＞y ；
1 2 1 2
（3）∵对称轴是直线x＝1，点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标是（3，2）．
设直线AC的关系式为y＝kx+b（k≠0）．则
，
解得 ．
∴直线AC的函数关系式是：y＝2x﹣4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，
需要熟悉二次函数图象的对称性．
24．【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数
的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之
间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∴CD＝ ＝ ，
BC＝ ＝3 ，
BD＝ ＝2 ，
∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
若以CD为底边，则P D＝P C，
1 1
①设P 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P C2＝x2+（3﹣y）2，P D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
1 1 1
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P 点（x，y）在抛物线上，
1
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x ＝ ，x ＝ ＜1，应舍去，
1 2
∴x＝ ，
∴y＝4﹣x＝ ，
即点P 坐标为（ ， ）．
1
若以CD为一腰，
②∵点P
2
在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P
2
与点C关于直线x＝1对称，
此时点P 坐标为（2，3）．
2
∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）．【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三
角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
