文档内容
2019年四川省巴中市恩阳区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
2．下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣4 B．（a2）3＝a5 C．a•a3＝a4 D．2a﹣a＝2
3．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（ ）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
4．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在底边BC为2 ，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，
则△ACE的周长为（ ）
A．2+ B．2+2 C．4 D．3
7．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S 2＝1.8，S 2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
甲 乙
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE．
CF＝BN； ∠ACB＝90°； FN∥AB； AD2＝DF•DC．则下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A． B． C． D．
①②④ ②③④ ①②③④ ①③
9．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
⊙
A．4 B．2 C． D．
π π π
10．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（ ）
A．.直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．分解因式：4m2﹣16n2＝ ．
12．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝
度．
13．要使代数式 有意义，x的取值范围是 ．14．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ．
15．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S ＝12，则S ﹣
△ABC △ADF
S ＝ ．
△BEF
16．如图，点D是等边三角形ABC内一点，△ABD绕点A逆时针旋转△ACE的位置，则∠AED＝
．
17．函数y＝k（x﹣1）的图象向左平移一个单位后与反比例函数y＝ 的图象的交点为A、B，若A点坐
标为（1，2），则B点的坐标为 ．
18．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝ ．
19．如图，直线 ，点A 坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，
1 1 1
OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长
1 2 2 2 2
为半径画弧交x轴于点A ，…，按此做法进行下去，点A 的坐标为 ，点A ．
3 4 n
20．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，且OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为1的 C，圆心C
⊙从点（0，1）开始沿y轴向下运动，当 C与直线l相切时， C运动的距离是
⊙ ⊙
三．解答题（共11小题，满分90分）
21．（6分）计算： ﹣|1﹣ |﹣sin30°+2﹣1．
22．（6分）如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆，（1）求剩下
铁皮的面积（用含a，b的式子表示）；
（2）当a＝4，b＝1时，求剩下铁皮的面积是多少？（ 取3.14）
π
23．（6分）对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．
（1）求2※5与2※（﹣5）的值；
（2）如果关于x的方程x※（a※x）＝﹣ 有两个相等的实数根，求实数a的值．
24．（6分）已知，如图，菱形ABCD中，E、F分别是CD、CB上的点，且CE＝CF；
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）若菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，∠EAF＝60°，求菱形ABCD的面积．
25．（10分）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平
的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9
是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒
数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一
轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手
打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
26．（6分）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．
（1）按下列要求画图：
过点A画BC的平行线DF；
①过点C画BC的垂线MN；
②将△ABC绕A点顺时针旋转90°．
③（2）计算△ABC的面积．
27．（10分）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10
件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A
型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，
且A型号衣服不多于28件．（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并
简述购货方案．
28．（10分）如图，已知反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，
n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
29．（8分）如图，河的两岸l 与l 相互平行，A、B是l 上的两点，C、D是l 上的两点，某人在点A处测
1 2 1 2
得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进60米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB
＝60°，求河的宽度．
30．（10分）如图，△ABD是 O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是 O外一点且∠DBC＝
∠A，连接OE延长与圆相交⊙于点F，与BC相交于点C． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为6，BC＝8，求弦BD的长．
⊙31．（12分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH
沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．2019 年四川省巴中市恩阳区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】由条件可知a是绝对值等于本身的数，可知a为0或正数，可得出答案．
【解答】解：∵|a|＝a，
∴a为绝对值等于本身的数，
∴a≥0，
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有0和正数（即非负数）是解题的
关键．
2．【分析】根据 ＝|a|；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母
的指数不变分别进行分析即可．
【解答】解：A、 ＝4，故原题计算错误；
B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；
C、a•a3＝a4，故原题计算正确；
D、2a﹣a＝a，故原题计算错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，关键是掌握各知识点，记住计算
法则．
3．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．
【解答】解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故选：B．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后
与原图重合．
5．【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据小于等于或大于等于用实心圆点在数轴
上表示解答．
【解答】解：不等式组 的解集为：1≤x≤3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类
题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
6．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，可得AE+EC＝BC＝2 ，即可得到结论
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴AE+CE＝BC＝2 ，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2 ，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查运用性质进行推
理的能力．
7．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S 2＝1.8，S 2＝0.7，
甲 乙
∴S 2＞S 2，
甲 乙
∴成绩比较稳定的是乙；
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．【分析】根据已知条件可证△ADC∽△CDB，得出∠ACB＝90°．根据等量关系及等腰三角形的性质
得到CF＝BN．根据同位角相等，证明FN∥AB．证明△ADF∽△CDA，根据相似三角形的性质得出
AD2＝DF•DC．
【解答】解： ∵AE平分∠CAB
∴∠CAE＝∠D①AF，
∴△CAE∽△DAF，
∴∠AFD＝∠AEC，
∴∠CFE＝∠AEC，
∴CF＝CE，
∵CN＝BE，
∴CE＝BN，
∴CF＝BN，故本选项正确；
∵CD⊥AB，
②∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵CD2＝AD•DB，
∴ ，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACB＝90°，故本选项正确；
∵∠EAB＝∠B，
③∴EA＝EB，
易知：∠ACF＝∠ABC＝∠EAB＝∠EAC，
∴FA＝FC，
易证：CF＝CE，
∴CF＝AF＝CE，
∵FA＝FC＝BN，EA＝EB，
∴EF＝CE，∴
∵∠FEN＝∠AEB，
∴△EFN∽△EAB，
∴∠EFN＝∠EAB，
∴FN∥AB，故本选项正确；
易证△ADF∽△CDA，
④∴AD2＝DF•DC，故本选项正确；
故选：C．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识点．
9．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝ ；然后由圆周角定理知∠COE＝60°．然后通过解直角三角
形求得线段OC，求出扇形COB面积，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，CD＝2 ，
⊙
∴CE＝ CD＝ ，∠CEO＝90°，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝2∠CDB＝60°，
∴OC＝ ＝2，
∴阴影部分的面积S＝S ＝ ＝ ，
扇形COB
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积＝扇形COB的面积是解此题的关键．
10．【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是直线x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【分析】设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，根据角平分线的性质得到∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA
＝y，根据外角的性质得到∠1＝∠F+∠ABF＝42°+y，∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，由平行线的性质
得到∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，于是得到方程2y+∠E＝2（42°+y），即可得到结论．
【解答】解：设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，
∵∠EBA、∠EPC的角平分线交于点F
∴∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，
∵∠1＝∠F+∠ABF＝40°+y，
∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，
∴∠2＝2∠1，
∴2y+∠E＝2（40°+y），
∴∠E＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角
的和，正确设未知数是关键．
13．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可
【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分
母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度
数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个
数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需
要熟练掌握．
15．【分析】本题需先分别求出S ，S 再根据S ﹣S ＝S ﹣S 即可求出结果．
△ABD △ABE △ADF △BEF △ABD △ABE
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ AC，
∵S ＝12，
△ABC
∴S ＝ S ＝ ×12＝6．
△ABD △ABC
∵EC＝2BE，S ＝12，
△ABC
∴S ＝ S ＝ ×12＝4，
△ABE △ABC
∵S ﹣S ＝（S +S ）﹣（S +S ）＝S ﹣S ，
△ABD △ABE △ADF △ABF △ABF △BEF △ADF △BEF
即S ﹣S ＝S ﹣S ＝6﹣4＝2．
△ADF △BEF △ABD △ABE
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形
的面积，然后求出差．
16．【分析】先利用等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到AE＝AD，
∠EAD＝∠CAB＝60°，则可判断△AED为等边三角形，然后利用等边三角形的性质
可得到∠AED的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD绕点A逆时针旋转△ACE的位置，
∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠AED＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
17．【分析】应先得到一次函数平移后的函数解析式，进而判断与反比例函数的交点．
【解答】解：y＝k（x﹣1）的图象向左平移一个单位为y＝kx，为正比例函数，
∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，A点坐标为（1，2），
∴另一交点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】用到的知识点为：一次函数y＝kx+b平移规律：“左加右减”，即向左（右）移几个单位就加
（减）几个单位；正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称．
18．【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a﹣7＝0，最后可
将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．
【解答】解：∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴a+b＝﹣2，
∵a是原方程的根，
∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，
∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结
合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
19．【分析】由直线解析式求出B 点的坐标，解直角三角形得出∠B OA ＝30°，由此可发现，OA ＝OB
1 1 1 2 1＝OA ÷cos30°＝ OA ，同理OA ＝ OA ＝（ ）2OA ，OA ＝ OA ＝（ ）3OA ，…，由此
1 1 3 2 1 4 3 1
得出一般规律．
【解答】解：由A 坐标为（1，0），可知OA ＝1，
1 1
把x＝1代入直线y＝ x中，得y＝ ，即A B ＝ ，
1 1
tan∠B OA ＝ ＝ ，所以，∠B OA ＝30°，
1 1 1 1
则OA ＝OB ＝OA ÷cos30°＝ OA ＝ ，
2 1 1 1
OA ＝ OA ＝（ ）2，OA ＝ OA ＝（ ）3，
3 2 4 3
故点A 的坐标为（ ，0），点A （（ ）n﹣1，0）．
4 n
故答案为：（ ，0），（（ ）n﹣1，0）．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是由直线解析式求出直线与x轴正方向的夹角为
30°，再依次求OA ，OA ，OA ，…的长，得出一般规律．
2 3 4
20．【分析】设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，利用勾股定理即可
解决问题；
【解答】解：设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，
在Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，
∴BC′＝2EC′＝2，
∵BC＝5，
∴CC′＝3，同法可得CC″＝7，
故答案为3或7．【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问
题，注意一题多解．
三．解答题（共11小题，满分90分）
21．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法
则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3 ﹣ +1﹣ + ＝2 +1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【分析】根据长方形与圆形的面积即可求出阴影部分的面积，然后代入a、b的值即可求出答案．
【解答】解：（1）长方形的面积为：a×2b＝2ab，
两个半圆的面积为： ×b2＝ b2，
∴阴影部分面积为：π2ab﹣ πb2
（2）当a＝4，b＝1时， π
∴2ab﹣ b2＝2×4×1﹣3.14×1＝4.86
【点评】π本题考查列代数式，涉及代入求值，有理数运算等知识．
23．【分析】（1）根据新运算“※”的运算公式进行运算即可得出结论；
（2）根据新运算“※”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）2※5＝2×5+5＝15；
2※（﹣5）＝2×（﹣5）+（﹣5）＝﹣15．
（2）x※（a※x）＝x※[（a+1）x]＝x（x+1）（a+1）＝﹣ ，
整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0．
∵关于x的方程x※（a※x）＝﹣ 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴a＝0．
【点评】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运
算“※”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a的一元一次不等式
及一元二次方程．
24．【分析】（1）根据SAS即可判断出△ABE≌△ADF．
（2）连接AC，则可将菱形分成两个全等的等边三角形，从而根据AB＝4可求出面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE与△ADF中，
∵ ，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）连接AC，
∵∠C＝120°，
∴可得△ABC和△ACD为两个全等的等边三角形，
又∵AB＝4，S ＝S ＝4 ，
△ABC △A，DC
∴S ＝ ．
菱形ABCD
【点评】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是根据题意条件
得出证明结论需要的条件．
25．【分析】根据题意列表得出A、B、C、D四个队与第4名以后的球队进行比赛所有得分结果，由表格
中体现的所有情况，选出符合题意C队获胜的情况的情况总数，从而估算出C队获胜的概率．
【解答】解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P ＝ ＝ ．
（C队获胜）
【点评】本题考察了限定组合求概率的方法，较为复杂．
26．【分析】（1）利用BC为小方格正方形的对角线，画DF∥BC，MN⊥BC，利用网格特点和旋转的性
质画出B、C旋转后的对应点B′、C′，从而得到△AB′C′；
（2）利用三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，DF、MN、△AB′C′为所作；
（2）△ABC的面积＝ ×2×1＝1．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线
段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接
得出旋转后的图形．
27．【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价＝1810，A种型号衣服
12件×进价+B种型号衣服8件×进价＝1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B
型件数≥699，A型号衣服件数≤28．【解答】解：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则： ，
解之得 ．
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m+4）件，
可得： ，
解之得 ，
∵m为正整数，
∴m＝10、11、12，2m+4＝24、26、28．
答：有三种进货方案：
（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及方程组．
28．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝ ，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的
坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝ ，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝ ＝﹣1；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S ＝S +S ＝ ×3×1+ ×3×4＝7.5；
△AOB △AOC △BOC
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的
面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思
想．
29．【分析】根据题意中的数据和锐角三角函数可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
tan∠DAB＝ ，tan ，∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，AE＝60米，
∴ ＝60，
解得，DB＝30 米，即河的宽度是30 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
30．【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝DE，OE⊥BD， ＝ ，由圆周角定理得
出∠BOE＝∠A，证出∠OBE+∠DBC＝90°，得出∠OBC＝90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD， ＝ ，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是 O的切线；
（2）解⊙：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝ ＝10，
∵△OBC的面积＝ OC•BE＝ OB•BC，
∴BE＝ ＝ ＝4.8，
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD的长为9.6．【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟
练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
31．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化
为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关
于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画
图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个
公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不
同的公共点时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+ ）2﹣ ，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣ ，﹣ ）；
（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），
∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，
∴y＝2x﹣2，
则 ，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，
∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，解得x＝1或x＝ ﹣2，
∴N点坐标为（ ﹣2， ﹣6），
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＝﹣ ，
∴E（﹣ ，﹣3），
∵M（1，0），N（ ﹣2， ﹣6），
设△DMN的面积为S，
∴S＝S +S ＝ |（ ﹣2）﹣1|•|﹣ ﹣（﹣3）|＝ ，
△DEN △DEM
（3）当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+ ）2+ ，
有 ，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x，
解得：x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，x2﹣x﹣2+t＝0，
△＝1﹣4（t﹣2）＝0，
t＝ ，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝﹣2x+t，
t＝2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜ ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形
的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，
得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
