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2019年广东省佛山市顺德区中考数学二模试卷
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）16的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．8
2．（3分）2018年广东省经济保持平稳健康发展，经国家统计局核定，实现地区生产总值
（GDP）97300000000元．将数据97300000000用月科学记数法表示为（ ）
A．9.73×1010 B．973×1011 C．9.73×1012 D．0.973×1013
3．（3分）下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．圆 C．平行四边形 D．角
4．（3分）计算正确的是（ ）
A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4•2a＝6a5
5．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个绿球和若干个红球，这些球除颜色外无其它差别．
从这个口袋中随机摸出一个球，摸到绿球的概率为 ，则红球的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（3分）若一个多边形的外角和是其内角和的 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
8．（3分）如图，数轴上的实数a、b满足|a|﹣|a﹣b|＝2a，则 是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以点C为圆心、5为半径作圆C，则圆C与直
线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
第1页（共26页）对称轴是直线x＝﹣1；
①c＝3；
②ab＞0；
③当x＜1时，y＞0；
④方程ax2+bx+c＝0的根是x
1
＝﹣3和x
2
＝1
⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（6个题，每题4分，共24分）
11．（4分）数据﹣5，﹣3，﹣3，0，1，3的众数是 ．
12．（4分）如图所示的不等式组的解集是 ．
13．（4分）分解因式：a3﹣25a＝ ．
14．（4分）如图， O的两条直径分别为AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，则∠BOD＝
°． ⊙
15．（4分）如图，点P在反比例函数y＝ 的图象上，PM⊥x轴于M．若△PMO的面积为1，则
k为 ．
第2页（共26页）16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，则CD
的长为 ．
三、解答题（一）（3个题，每题6分，共18分）
17．（6分）计算： tan60°+（﹣1）2019．
18．（6分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
19．（6分）A城市到B城市铁路里程是300千米，若旅客从A城市到B城市可选择高铁和动
车两种交通工具，高铁速度是动车速度的1.5倍，时间相差30分钟，求高铁的速度．
四、解答题（二）（3个题，每题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．
（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、
BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．
21．（7分）学生利用微课学习已经越来越多，某学校调查了若干名学生利用微课学习语文、
数学、英语、物理、历史的情况，根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中信息解决下列问题：
（1）抽取了 名学生进行调查；
（2）将条形统计图补充完整；
第3页（共26页）（3）估计学生利用微课学习哪科的人数最多？若该校有2000名学生，估计有多少人利用
微课学习该学科．
22．（7分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB的中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使得
点B落到点F的位置．
（1）求证：AF∥CE；
（2）求AF的长度．
五、解答题（三）（3个题，每题9分，共27分）
23．（9分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出上述二次函数的图象；
（2）如图，二次函数的图象与x轴的其中一个交点是B，与y轴的交点是C，直线BC与反
比例函数的图象交于点D．且BC＝3CD，求反比例函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，x轴上的点P的横坐标是多少时，△BCP与△OCD相似．
24．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，AB为 O的直径，过点C作∠BCD＝∠BAC交AB
的延长线于点⊙D，过点O作直径EF∥BC，交⊙AC于点G．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为2，∠BCD＝30°；
⊙
第4页（共26页）连接AE、DE，求证：四边形ACDE是菱形；
①当点P是线段AD上的一动点时，求PF+PG的最小值．
②
25．（9分）如图，直线y＝﹣ x+2交坐标轴于A、B两点，直线AC⊥AB交x轴于点C，抛物线
恰好过点A、B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点M在线段AB上方的曲线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，是否存在点F使得以A、C、E、F为顶点
的四边形是平行四边形？若存在求出点F坐标；若不存在，说明理由．
第5页（共26页）2019 年广东省佛山市顺德区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）16的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．8
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：16的算术平方根为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
2．（3分）2018年广东省经济保持平稳健康发展，经国家统计局核定，实现地区生产总值
（GDP）97300000000元．将数据97300000000用月科学记数法表示为（ ）
A．9.73×1010 B．973×1011 C．9.73×1012 D．0.973×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据973 0000 0000用月科学记数法表示为9.73×1010．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．圆 C．平行四边形 D．角
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
第6页（共26页）重合．
4．（3分）计算正确的是（ ）
A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3
C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4•2a＝6a5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣2019）0＝1，故此选项错误；
B、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
C、（﹣a2b3）4＝a8b12，故此选项错误；
D、3a4•2a＝6a5，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．
5．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个绿球和若干个红球，这些球除颜色外无其它差别．
从这个口袋中随机摸出一个球，摸到绿球的概率为 ，则红球的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设红球有x个，根据随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可
能出现的结果数，列方程求出x的值即可得．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意，得： ＝ ，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
∴红球的个数为6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事
件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．（3分）若一个多边形的外角和是其内角和的 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和等
于360°列方程求解即可．
第7页（共26页）【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得， ×（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝6，
答：这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键．
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、△＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B、△＝16+4＝20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、△＝16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、△＝25﹣4×3×2＝25﹣24＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根
与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
②当△＜0时，方程无实数根．
③
8．（3分）如图，数轴上的实数a、b满足|a|﹣|a﹣b|＝2a，则 是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，所以a﹣b＜0，据此化简|a|﹣|a﹣b|，求出 是多少即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
∵|a|﹣|a﹣b|＝2a，
∴﹣a﹣（b﹣a）＝2a，
∴﹣b＝2a
第8页（共26页）∴ ＝﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌
握．
9．（3分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．以点C为圆心、5为半径作圆C，则圆C与直
线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【分析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径r进行比较；
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据勾股定理求得BC＝8．
∵AB＝10，AC＝6，
∴由勾股定理求得BC＝8．
S△ABC ＝ AC×BC＝ ×6×8＝24，
∴AB上的高为：24×2÷10＝4.8，
即圆心到直线的距离是4.8．
∵4.8＜5，
∴ O与AB的位置关系是相交．
故⊙选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d
与圆半径大小关系完成判定．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ）
对称轴是直线x＝﹣1；
①c＝3；
②ab＞0；
③当x＜1时，y＞0；
④方程ax2+bx+c＝0的根是x
1
＝﹣3和x
2
＝1
⑤
第9页（共26页）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解： 由抛物线图象得对称轴是直线x＝﹣1，选项 正确；
根据抛物线①与y轴的交点可得c＝3；选项 正确； ①
② ②
由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；对称轴 ，则b＜0，ab＞0，选项 正确；
③ ③
由图象与x轴的交点（﹣3，0）知x＜﹣3时，y＜0，选项 错误；
④由图象得抛物线与x轴交点的横坐标为1，﹣3，则方程ax2 ④+bx+c＝0的根是x
1
＝﹣3和
⑤x ＝1，选项 正确．
2
故选：C． ⑤
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号
由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的
关键．
二、填空题（6个题，每题4分，共24分）
11．（4分）数据﹣5，﹣3，﹣3，0，1，3的众数是 ﹣ 3 ．
【分析】根据众数的概念直接求解即可．
【解答】解：数据﹣3出现了2次，出现的次数最多，
所以众数是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】考查了众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止
一个．
12．（4分）如图所示的不等式组的解集是 ﹣ 2 ＜ x ≤ 1 ．
【分析】根据不等式组解集是所有不等式解集的公共部分求解可得．
第10页（共26页）【解答】解：由数轴可知﹣2＜x≤1是公共部分，即如图所示的不等式组的解集是﹣2＜
x≤1．
故答案是：﹣2＜x≤1．
【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解
集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在
表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
13．（4分）分解因式：a3﹣25a＝ a （ a + 5 ）（ a ﹣ 5 ） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣25）
＝a（a+5）（a﹣5）．
故答案为：a（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先
提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（4分）如图， O的两条直径分别为AB、CD，弦CE∥AB，∠COE＝40°，则∠BOD＝
110 °． ⊙
【分析】先利用半径相等得到∠ECO＝∠OEC，再利用三角形内角和定理计算出∠OCE的
度数，接着根据平行线的性质得∠AOD＝∠OCE，然后利用邻补角求∠BOD的度数．
【解答】解：∵OC＝OE，
∴∠ECO＝∠OEC，
∴∠OCE＝ （180°﹣∠COE）＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∵CE∥AB，
∴∠AOD＝∠OCE＝70°，
第11页（共26页）∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，
故答案为110．
【点评】本题考查了圆周角定理以及平行线的知识，解题的关键求出∠OCE的度数，此题
难度不大．
15．（4分）如图，点P在反比例函数y＝ 的图象上，PM⊥x轴于M．若△PMO的面积为1，则
k为 ﹣ 2 ．
【分析】此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△PMO的面积为点P向两条坐标轴
作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S＝ ，再结合反比例函数所在的象限确定
出k的值．
【解答】解：由题意知：S△PMO ＝ |k|＝1，
所以|k|＝2，即k＝±2．
又反比例函数是第二象限的图象，k＜0，
所以k＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，
做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝45°，∠B＝120°，AB＝5，BC＝10，则CD
的长为 1 0 ﹣ 5 ．
第12页（共26页）【分析】如图，作DE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．易证四边形
CDEF是矩形，推出CF＝DE，CD＝EF，解直角三角形求出BF，CF即可解决问题．
【解答】解：如图，作DE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．
∵DE⊥EF，CF⊥EF，
∴DE∥CF，∵CD∥EF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠F＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF，
在Rt△BCF中，∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴BF＝ BC＝5，CF＝DE＝5 ，
在Rt△ADE中，
∵∠A＝45°，
∴AE＝DE＝5 ，
∴BE＝5 ﹣5，
∴CD＝EF﹣5﹣（5 ﹣5）＝10﹣5 ，
故答案为10﹣5 ．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）（3个题，每题6分，共18分）
17．（6分）计算： tan60°+（﹣1）2019．
第13页（共26页）【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出
答案．
【解答】解：原式＝ +3 ﹣ ﹣1
＝2 ﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝ +1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）A城市到B城市铁路里程是300千米，若旅客从A城市到B城市可选择高铁和动
车两种交通工具，高铁速度是动车速度的1.5倍，时间相差30分钟，求高铁的速度．
【分析】设动车速度为x公里/小时，则高铁速度为1.5x公里/小时，根据时间＝路程÷速度
结合乘坐高铁比动车节省30分钟（ 小时），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后
即可得出结论．
【解答】解：设动车速度为x公里/小时，则高铁速度为1.5x公里/小时，
依题意，得： ﹣ ＝ ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的根，且符合题意，
∴1.5x＝300．
答：高铁速度为300公里/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、解答题（二）（3个题，每题7分，共21分）
20．（7分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．
（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、
第14页（共26页）BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于M，作∠ACB的平分线CK，交MN于点
D，点D即为所求．
（2）作DF⊥BC于F，连接AD，BD．利用角平分线的性质定理求出DF即可解决问题．
【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于M，作∠ACB的平分线CK，交MN
于点D，点D即为所求．
（2）作DF⊥BC于F，连接AD，BD．
∵AC+CD+AD＝18，AC＝DA，AC＝8，
∴CD＝5，CE＝4，
∴DE＝ ＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DF＝DE＝3，
∴S△BCD ＝ ×BC×DF＝ ×10∴3＝15
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（7分）学生利用微课学习已经越来越多，某学校调查了若干名学生利用微课学习语文、
数学、英语、物理、历史的情况，根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中信息解决下列问题：
（1）抽取了 10 0 名学生进行调查；
（2）将条形统计图补充完整；
第15页（共26页）（3）估计学生利用微课学习哪科的人数最多？若该校有2000名学生，估计有多少人利用
微课学习该学科．
【分析】（1）由语文学科的人数及其所占百分比可得答案；
（2）根据各学科人数之和等于总人数求得英语学科的人数即可补全图形；
（3）用总人数乘以对应学科占总人数的比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为5÷5%＝100（人），
故答案为：100；
（2）英语对应的人数为100﹣（5+20+30+25）＝20，
补全图形如下：
（3）估计学生利用微课学习数学学科的人数最多，估计利用微课学习数学学科的人数为
2000× ＝600（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．求概率．
22．（7分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB的中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使得
点B落到点F的位置．
（1）求证：AF∥CE；
（2）求AF的长度．
第16页（共26页）【分析】（1）由折叠的性质可得∠BEC＝∠FEC，EF＝AE，由等腰三角形的性质和三角形
外角的性质可得∠EAF＝∠BEC，可证AF∥CE；
（2）过点E作EG⊥AF于点F，由勾股定理可得CE＝ ，可证△BCE∽△GEA，
，可求AG的长，由等腰三角形的性质可求AF的长度．
【解答】证明：（1）∵折叠
∴∠BEC＝∠FEC，EF＝AE，
∵点E为AB的中点，
∴BE＝AE
∴EF＝AE
∴∠EAF＝∠EFA
∵∠BEF＝∠EAF+∠EFA＝∠BEC+∠FEC
∴2∠EAF＝2∠BEC
∴∠EAF＝∠BEC
∴CE∥AF
（2）过点E作EG⊥AF于点F，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°
∵BC＝3，AE＝BE＝ AB＝2
∴CE＝ ＝
∵∠BEC＝∠EAF，∠B＝∠EGA＝90°
第17页（共26页）∴△BCE∽△GEA
∴
∴AG＝
∵AE＝EF，EG⊥AF
∴AF＝2AG＝
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的判定，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾
股定理，证明△BCE∽△GEA是本题的关键．
五、解答题（三）（3个题，每题9分，共27分）
23．（9分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出上述二次函数的图象；
（2）如图，二次函数的图象与x轴的其中一个交点是B，与y轴的交点是C，直线BC与反
比例函数的图象交于点D．且BC＝3CD，求反比例函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，x轴上的点P的横坐标是多少时，△BCP与△OCD相似．
【分析】（1）列表、描点、连线即可得；
（2）作DE⊥y轴于E，证△DEC∽△BOC得 ＝ ＝ ，依据BC＝3CD知DE＝CE＝
1，从而得出D（﹣1，﹣4），再利用待定系数法求解可得；
（3）先根据题意得出∠OCD＝∠CBP＝135°，再分 ＝ 和 ＝ 两种情况，分别求
出BP的长即可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y＝x2﹣ … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
2x﹣3
描点，连线如图：
第18页（共26页）（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
过点D作DE⊥y轴于E，
∴∠DEC＝∠BOC＝90°，
∵∠DCE＝∠BCO，
∴△DEC∽△BOC，
∴ ＝ ＝ ，
∵BC＝3CD，
∴DE＝CE＝1，
∴OE＝4，
∴D（﹣1，﹣4），
设反比例函数解析式为y＝ ，
则﹣4＝ ，解得k＝4，
∴反比例函数解析式为y＝ ；
（3）由题意知，必有∠OCD＝∠CBP＝135°，
当 ＝ 时， ＝ ，
①
解得BP＝9，
∴此时点P坐标为（12，0）；
当 ＝ 时， ＝ ，
②
第19页（共26页）解得BP＝2，
∴P（5，0）；
综上，当P的横坐标为5或12时，△BCP与△OCD相似．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握函数图象的画法、待定系数法求
函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点．
24．（9分）如图， O是△ABC的外接圆，AB为 O的直径，过点C作∠BCD＝∠BAC交AB
的延长线于点⊙D，过点O作直径EF∥BC，交⊙AC于点G．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为2，∠BCD＝30°；
连接A⊙E、DE，求证：四边形ACDE是菱形；
①当点P是线段AD上的一动点时，求PF+PG的最小值．
②
【分析】（1）连接OC，由AB是 O的直径知∠BAC+∠ABC＝90°，由OC＝OB知∠ABC＝
∠OCB，根据∠BCD＝∠CAB⊙得∠OCB+∠BCD＝90°，据此可得答案；
（2） 连接AE、ED、BE，先证△OCB，△OEB是等边三角形得BC＝OB＝BE，再证
Rt△A①BC≌Rt△ABE，△DBC≌△DBE得AC＝CD＝AE＝DE，据此可得答案；
作F关于直线AB的对称点H，H在 O上，连接GH交AB于点P，此时线段GH最短，
②则PF+PG最小，连接OH，过H作H⊙I⊥EF，先由F与H关于直线AB对称知∠GOH＝
120°，∠HOE＝60°，再求得OG＝OAcos60°＝1，OI＝OHcos60°＝1，HI＝ ，
根据勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠CAB，
第20页（共26页）∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2） 连接AE、ED、BE，
∵∠B①CD＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝60°，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°，
∴AC＝DC，
∵EF∥BC，
∴∠AOF＝∠OBC＝60°，
∴∠EOB＝∠AOF＝60°，
∵OE＝BC＝OC，
∴△OCB，△OEB是等边三角形，
∴BC＝OB＝BE，
∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AB＝AB，BC＝BE，
∴Rt△ABC≌Rt△ABE（HL），
∴AC＝AE，∠ABC＝∠ABE，
∴∠BDC＝∠DBE，
又∵BC＝BE，BD＝BD，
∴△DBC≌△DBE（SAS），
∴DC＝DE，
∴AC＝CD＝AE＝DE，
∴四边形ACDE是菱形；
作F关于直线AB的对称点H，H在 O上，连接GH交AB于点P，
②此时线段GH最短，则PF+PG最小，连⊙接OH，过H作HI⊥EF，
由 知∠AOF＝60°，
① 第21页（共26页）∵F与H关于直线AB对称，
∴∠AOH＝∠AOF＝60°，
∴∠GOH＝120°，∠HOE＝60°，
在Rt△AGO中，OA＝2，
∴OG＝OAcos60°＝2× ＝1，
在Rt△HIO中，OH＝2，
∴OI＝OHcos60°＝2× ＝1，HI＝ ，
∴GH＝ ＝ ，
∴PF+PG的最小值为 ．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握切线的判定与性质、圆周角定理、全等三
角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点．
25．（9分）如图，直线y＝﹣ x+2交坐标轴于A、B两点，直线AC⊥AB交x轴于点C，抛物线
恰好过点A、B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点M在线段AB上方的曲线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，是否存在点F使得以A、C、E、F为顶点
的四边形是平行四边形？若存在求出点F坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由直线 y＝﹣ x+2 易确定 A、B 两点坐标，又由 AC⊥AB 则易证明
△ACO∽△BOC，利用相似比可确定C点坐标，再利用待定系数法直接求解即可．
（2）用待定系数法设出M点坐标和D点坐标，已表示出MD的长度为﹣ a2+4a，再利用
割补法表示△AMB的面积，将得到的表达式转化为二次函数顶点式求解即可．
（3）利用平行四边形的性质分别作AC∥EF，AE∥CF两种情况的图形使E在抛物线对称
第22页（共26页）轴上，F在抛物线上，利用待定系数法及图形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+2交x轴于A、B两点
∴A（0，2）、B（4，0）
由AC⊥AB得，△AOC∽△BOA．
∴ ＝ ＝ ＝ ．
∴OC＝1．
又∵C在x轴负半轴上
∴C（﹣1，0）．
设抛物线解析式y＝ax2+bx+c．
把A（0，2），B（4，0），C（﹣1，0）代入上式得，
，解得，
∴抛物线解析式为，y＝﹣ x2+ x+2．
（2）如图1，
过点M作MN⊥x轴，交直线AB与点D．
设M点横坐标为a，则M（a，﹣﹣ a2+ a+2），D（a，﹣ a+2）
∴MD＝﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）＝﹣ a2+4a
第23页（共26页）∴S△ABM ＝ MD•BO＝ （﹣ a2+2a）•4＝﹣a2+4a
∴S四边形AOBM ＝﹣a2+4a+ ×2×4＝﹣（a﹣2）2+8
故当a＝2时，S四边形AOBM 的面积最大，为8．
（3）存在．
如图2﹣1，
当AC∥EF，F在对称轴左侧时，可以看作把△AOC沿水平向右平移至OA与对称轴重合
时，再将其向上平移，恰好使点A与点E重合，点C与点F重合．
此时四边形ACFE为平行四边形．
∴FD＝OC＝1．
∴点F的横坐标为，x＝ ．
当x＝ 时，y＝﹣ ×（ ）2+ × +2＝ ．
即此时F（ ， ）．
如图2﹣2，
第24页（共26页）当AC∥EF，F在对称轴右侧时，把△EFG绕点G旋转180°恰好与抛物线相交于F，则四
边形ACEF为平行四边形．
此时易得F点纵坐标为，y＝ ．
当y＝ 时，﹣ x2+ x+2＝0．
解得，x＝ （舍去）或x＝ ．
此时F（ ， ）．
如图2﹣3，
第25页（共26页）以线段AC为对角线作 AECF，过A作AG垂直于对称轴直线于点G．过点F作FD⊥x轴
交于点D． ▱
∴AG＝1.5
又∵△AGE≌△CDF
∴CD＝1.5
∴D点坐标为（﹣2.5，0）
∴当x＝﹣2.5时，y＝﹣ ×（﹣ ）2+ ×（﹣ ）+2＝﹣
∴此时F（﹣ ，﹣ ）．
综上所述，满足题意的F点坐标有，（ ， ），（ ， ），（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题一方面考查了利用待定系数法求解函数解析式的基本思路，第二考查了通过
解析式设点的坐标，利用数形结合的思想求解满足题意图形时点的坐标的能力．
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日期：2019/4/26 9:03:52；用户：初中数学；邮箱：yls9192@xyh.com；学号：27811373
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