文档内容
2019年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．9的平方根是（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．3a3+2a2＝5a6 B．
C．a4•a2＝a8 D．（ab2）3＝ab6
3．已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
4．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（ ）
A．110° B．120° C．125° D．135°
5．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．18分，17分 B．20分，17分 C．20分，19分 D．20分，20分
7．要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比
赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝30 B．x（x+1）＝30 C． ＝30 D． ＝30
8．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点
A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200 米 C．220 米 D． 米
9．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝
60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）
A．（2，2 ） B．（ ， ） C．（2， ） D．（ ， ）
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相
切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（
）A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．﹣1 的绝对值是 ，倒数是 ．
12．若代数式 有意义，则m的取值范围是 ．
13．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度
数是 ．
14．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0的一个根是0，则m的值是 ．
15．已知 O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离为 ．
16．如图，⊙在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y
轴的垂线l于点B，过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ，以A B．BA为邻边作 ABA C ；过点A
1 1 1 1 1 1
作y轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ，以A B▱．B A 为邻边作
1 1 2 2 1 1 1
A B A C ；…；按此作法继续下去，则 的坐标是 ．
1 1 2 2 n
▱ ∁三．解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解方程组
（1）
（2） ．
18．（9分）已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE＝AD，AF⊥DE于F．
求证：AB＝AF．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）．把△ABC绕
原点顺时针旋转90°，得到△A B C ．再把△A B C 向左平移2个单位，向下平移5个单位得到
1 1 1 1 1 1
△A B C ．
2 2 2
（1）画出△A B C 和△A B C ．
1 1 1 2 2 2
（2）直接写出点B 、B 坐标．
1 2
（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P 、P ，请直接
1 2
写出点P 、P 的坐标．
1 220．（10分）已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜
色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，
颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球．
21．（12分）2018年我市的脐橙喜获丰收，脐橙一上市，水果店的陈老板用2400元购进一批脐橙，很
快售完；陈老板又用6000元购进第二批脐橙，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多
了20元．
（1）第一批脐橙每件进价多少元？
（2）陈老板以每件120元的价格销售第二批脐橙，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要
使第二批脐橙的销售总利润不少于480元，剩余的脐橙每件售价最低打几折？（利润＝售价﹣进
价）
22．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O交AC边于点D，E是边BC的中点，
连接DE、OD， ⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）连接OC交DE于F⊙，若OF＝FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若 ，求 O的半径．
⊙
23．（12分）已知反比例函数y＝ 的图象的一支位于第一象限，点A（x ，y ），B（x ，y ）都在该函数
1 1 2 2
的图象上．
（1）m的取值范围是 ，函数图象的另一支位于第一象限，若x ＞x ，y ＞y ，则点B在第
1 2 1 2
象限；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点C与点A关于x轴对称，
若△OAC的面积为6，求m的值．
24．（14分）如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点， O经过点D，分别交AB、AC于E、F
（1）求∠EDF的度数； ⊙
（2）若AD＝6 ，求△AEF的周长；
（3）设EF、AD相较于N，若AE＝3，EF＝7，求DN的长．25．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
求四边形ACFD的面积；
①点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接
②AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．2019 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
2．【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一
判断即可．
【解答】解：A、3a3与2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、2 + ＝3 ，故本选项正确；
C、a4•a2＝a6，故本选项错误；
D、（ab2）3＝a3b6，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根
式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
3．【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即﹣1
及其右边的部分．
【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集
合．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集
的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时
“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根据
DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，即可得出∠FBE+∠FDE＝135°，最后根据四
边形内角和进行计算即可．【解答】解：如图所示，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，
∴∠FBE+∠FDE＝ （∠ABE+∠CDE）＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴四边形BEDF中，∠BFD＝360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED＝360°﹣135°﹣90°＝135°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同
旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．
5．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不
止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为
中位数．
【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，
所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念
掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根
据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找
中间两个数的平均数．7．【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：队
的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的
等量关系．
8．【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出
AD的长，据此即可求出AB的长．
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝ ＝100 米，
∴AB＝AD+BD＝100+100 ＝100（1+ ）米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角
形并解直角三角形．
9．【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D
＝2，根据勾股定理得DC＝2 ，故OD＝4﹣2 ，即B′点的坐标为（2， ）．
【解答】解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4
∴∠B′CD＝30°，B′D＝2
根据勾股定理得DC＝2
∴OD＝4﹣2 ，即B′点的坐标为（2， ）
故选：C．【点评】主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，
灵活运用勾股定理．
10．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出 O的
半径为0.5a，则BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割线定理可得BF2＝BH•BG，利用方程即可求出⊙BH，
然后又因OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性质即可求出BH＝BD，最终由CD＝BC+BD，即
可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、
BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D
∴连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF＝ O的半径，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°
∴OECF是正方形 ⊙
∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC＝ ×AC×OE+ ×BC×OF
∴OE＝OF＝ a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a
∵由切割线定理可得BF2＝BH•BG
∴ a2＝BH（BH+a）
∴BH＝ 或BH＝ （舍去）
∵OE∥DB，OE＝OH
∴△OEH∽△BDH
∴∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝a+ ．
故选：B．
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，乘积是1的两数互为倒数可得答
案．
【解答】解：﹣1 的绝对值是1 ，倒数是﹣ ，
故答案为：1 ；﹣ ．
【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，关键是掌握倒数定义和绝对值定义．
12．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m+1≥0，根据分式有意义的条件可得m﹣1≠0，再解即
可．
【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，
解得：m≥﹣1，且m≠1，
故答案为：m≥﹣1，且m≠1．
【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0；二
次根式的被开方数是非负数．
13．【分析】先根据旋转的性质得∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，则根据等腰三角形的性质和三角形
内角和定理可计算出∠A＝ （180°﹣∠A）＝70°
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+x+（m2﹣9）＝0，
得m2﹣9＝0，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0．
15．【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧及
AB与CD在圆心O的异侧两种情况讨论，如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、
OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，根据垂径定理及勾股定理可求出OF及OE的长，再用OE
﹣OF即可求出答案；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，根据垂
径定理及勾股定理可求出OF及OE的长，再用OE+OF即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AF＝4cm，CE＝3cm，
∴OA＝OC＝5cm，
∴OE＝ ＝ ＝4cm，同理，OF＝ ＝ ＝3cm，
∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1cm；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，反向延长OE交AB
于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AF＝4cm，CE＝3cm，
∴OA＝OC＝5cm，
∴OE＝ ＝ ＝4cm，
同理，OF＝ ＝ ＝3cm，
∴EF＝OE+OF＝4+3＝7cm．
故答案为：1cm或7cm．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
16．【分析】先求出直线l的解析式为y＝ x，设B点坐标为（x，1），根据直线l经过点B，求出B点坐
标为（ ，1），解Rt△A AB，得出AA ＝3，OA ＝4，由平行四边形的性质得出A C ＝AB＝ ，则
1 1 1 1 1
C 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）；根据直线l经过点B ，求出B 点坐标为（4 ，4），解
1 1 1
Rt△A A B ，得出A A ＝12，OA ＝16，由平行四边形的性质得出A C ＝A B ＝4 ，则C 点的坐
2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）；同理，可得C 点的坐标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）；
3
进而得出规律，求得 的坐标是（﹣ ×4n﹣1，4n）．
n
∁
【解答】解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y＝ x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y＝ x，
得1＝ x，解得x＝ ，
∴B点坐标为（ ，1），AB＝ ．
在Rt△A AB中，∠AA B＝90°﹣60°＝30°，∠A AB＝90°，
1 1 1
∴AA ＝ AB＝3，OA ＝OA+AA ＝1+3＝4，
1 1 1
∵ ABA C 中，A C ＝AB＝ ，
1 1 1 1
▱
∴C 点的坐标为（﹣ ，4），即（﹣ ×40，41）；
1
由 x＝4，解得x＝4 ，
∴B 点坐标为（4 ，4），A B ＝4 ．
1 1 1
在Rt△A A B 中，∠A A B ＝30°，∠A A B ＝90°，
2 1 1 1 2 1 2 1 1
∴A A ＝ A B ＝12，OA ＝OA +A A ＝4+12＝16，
1 2 1 1 2 1 1 2
∵ A B A C 中，A C ＝A B ＝4 ，
1 1 2 2 2 2 1 1
▱∴C 点的坐标为（﹣4 ，16），即（﹣ ×41，42）；
2
同理，可得C 点的坐标为（﹣16 ，64），即（﹣ ×42，43）；
3
以此类推，则 的坐标是（﹣ ×4n﹣1，4n）．
n
∁
故答案为（﹣ ×4n﹣1，4n）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出C 、
1
C 、C 点的坐标，从而发现规律是解题的关键．
2 3
三．解答题（共9小题，满分102分）
17．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
﹣ 得：8y＝﹣8，
②解得：①y＝﹣1，
把y＝﹣1代入 得：x＝1，
①
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
﹣ 得：4y＝26，
① ②解得：y＝ ，
把y＝ 代入 得：x＝ ，
①
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消
元法．
18．【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而得到AF＝DC，因为DC＝AB，
所以AF＝AB．
【解答】证明：∵AF⊥DE．
∴∠AFE＝90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．
∴∠ADF＝∠DEC．
∴∠AFE＝∠C＝90°．
∵AD＝DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF＝DC．
∵DC＝AB．
∴AF＝AB．
【点评】此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．
19．【分析】（1）根据△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A B C ，△A B C 向左平移2个单位，再向
1 1 1 1 1 1
下平移5个单位得到△A B C ．
2 2 2
（2）根据图形得出对应点的坐标即可；
（3）根据旋转和平移后的点P的位置，即可得出点P 、P 的坐标．
1 2
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 和△A B C 即为所求：
1 1 1 2 2 2（2）点B 坐标为（2，4）、B 坐标为（0，﹣1）；
1 2
（3）由题意知点P 坐标为（b，﹣a），点P 的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）．
1 2
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基
本要素有两个：平移方向、平移距离．决定旋转后图形位置的因素为：旋转角度、旋转方向、旋转中
心．
20．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为 列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；
（2）列表如下：
白 白 红 红 红 红 红
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；
（3）设有x个红球被换成了黄球．
根据题意，得： ，
解得：x＝3，
即袋中有3个红球被换成了黄球．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】（1）设第一批脐橙每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+20）元，再根据等量关系：第二
批脐橙所购件数是第一批的2倍；
（2）设剩余的脐橙每件售价打y折，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于640元，
可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批脐橙每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+20）元，
根据题意，得： ×2＝ ，
解得 x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解且符合题意．
答：第一批脐橙每件进价为80元．
（2）设剩余的脐橙每件售价打y折，
根据题意，得：（120﹣100）× ×60%+（120× ﹣100）× ×（1﹣60%）≥480，
解得：y≥7.5．
答：剩余的脐橙每件售价最少打7.5折．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根
据利润作为不等关系列出不等式求解．
22．【分析】（1）求出∠CDB＝90°，推出DE＝BE，得到∠EDB＝∠EBD，∠ODB＝∠OBD，推出∠ODE
＝90°即可；
（2）连接OE，证正方形DEBO，推出OB＝BE，推出∠EOB＝45°，根据平行线的性质推出∠A＝45°
即可；
（3）设AD＝x，CD＝2x，证△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出AB即可．
【解答】解：如右图所示，连接BD，
（1）∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠OAD＝∠CBD，
∴∠ODA＝∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB＝90°，
∴∠EBD+∠ODB＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴DE是 O的切线．
⊙
（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，
∴EF是三角形OBC的中位线，
∴EF∥AB，
DE⊥BC，
OB＝OD，四边形OBED是正方形，
连接OE，
OE是△ABC的中位线，OE∥AC，∠A＝∠EOB＝45度，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．
（3）设AD＝x，CD＝2x，
∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
x＝2 ，
AC＝6 ，
由勾股定理得：AB＝ ＝6，
∴圆的半径是3．
答： O的半径是3．
⊙
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行
线的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正方形
的性质和判定的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
23．【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原
点对称的；（2）由对称性得到△OAC的面积为5．设A（x、 ），则利用三角形的面积公式得到关于m的方
程，借助于方程来求m的值．
【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣
3＞0，则m＞3；
故答案是：m＞3，三；
（2）∵点A在第一象限，且与点C关于x轴对称
∴AC⊥x轴，AC＝2y＝2× ，
∴S ＝ AC•x＝ ×2× •x＝m﹣3，
△OAC
∵△OAC的面积为6，
∴m﹣3＝6，
解得m＝9．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题
意得到△OAC的面积是解题的关键．
24．【分析】（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．想办法求出∠EOF的度数即可
解决问题；
（2）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．利用全等三角形的性质证明EK＝EM，
FM＝FL，即可推出△AEF的周长＝2AL．即可解决问题；
（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．想办法求出AD，
AN即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．∵AD是正△ABC的高，
∴∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，
∴∠AIO＝∠AJO＝90°，
∴∠IOJ＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝120°，OI＝OJ，
∵OE＝OF，
∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL），
∴∠IOE＝∠JOF，
∴∠EOF＝∠EOJ+∠FOJ＝∠EOJ+∠IOE＝∠IOJ＝120°，
∴∠EDF＝ ∠EOF＝60°．
（2）如图1中，作DK⊥AB于K，DL⊥AC于L，DM⊥EF于M，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B＝60°，BD＝CD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠B，
∵∠EDC＝∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，
∴∠BED＝∠CDF，
∵GD是圆O的直径，
∴∠ADC＝90°，∠GFD＝90°，
∴∠FGD+∠FDG＝90°，∠FDC+∠FDG＝90°，
∴∠FDC＝∠FGD＝∠DEF，
∵DK⊥EB，DM⊥EF，∴∠EKD＝∠EMD＝90°，DK＝DM，
∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL），
∴∴EK＝EM，
同法可证：DK＝DL，
∴DM＝CL，
∵DM⊥FE，DL⊥FC，
∴∠FMD＝∠FLD＝90°，
∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL），
∴FM＝FL，
∵AD＝AD，DK＝DF，
∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL），
∴AK＝AL，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EK+AF+FL＝2AL，
∵AD＝6 ，
∴AL＝AD•cos30°＝9，
∴△AEF的周长＝18．
（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．
在Rt△AEM中，∵AE＝3，∠EAM＝60°，
∴AM＝ AE＝ ，EM＝ ，
在Rt△EFM中，EF＝ ＝ ＝ ，
∴AF＝AM+MF＝8，∵△AEF的周长＝18，
由（2）可知2AL＝18，
∴AJ＝9，AD＝ ＝6 ，
∴AP＝ AF＝4，FP＝4 ，
∵NQ∥FP，
∵△EQN∽△EPF，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠BAD＝30°，
∴AQ＝√3NQ，设EQ＝x，则QN＝4 x，AQ＝12x，
∴AE＝11x＝3，
∴x＝ ，
∴AN＝2NQ＝ ，
∴DN＝AD﹣AN＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2） 连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可
求得①△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积； 由题意可知点A处不可能是直角，
则有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，当∠ADQ＝90°时，可先求得②直线AD解析式，则可求出直线DQ
解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k x+b ，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y＝k x+b ，同理可表
1 1 2 2示出k ，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
2
【解答】解：
（1）由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2） ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（①1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD＝2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S ＝S +S ＝ ×2×3+ ×2×（4﹣3）＝4；
四边形ACFD △ACD △FCD
∵点P在线段AB上，
②∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，
i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y＝x+1，
∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′＝5，
∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y＝k x+b ，
1 1
把A、Q坐标代入可得 ，解得k ＝﹣（t﹣3），
1
设直线DQ解析式为y＝k x+b ，同理可求得k ＝﹣t，
2 2 2∵AQ⊥DQ，
∴k k ＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝ ，
1 2
当t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ，
当t＝ 时，﹣t2+2t+3＝ ，
∴Q点坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角
形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2） 中注意把四边形转化
为两个三角形，在 利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识①点较多，综合性较强，
难度适中． ②
